一類時滯脈沖廣義Nicholson果蠅模型的正周期解?

張若軍， 楊春雨， 劉　芳

(中國海洋大學數學科學學院，山東 青島　266100)

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一類時滯脈沖廣義Nicholson果蠅模型的正周期解?

張若軍， 楊春雨， 劉芳

(中國海洋大學數學科學學院，山東 青島266100)

摘要：研究了一類時滯脈沖廣義Nicholson果蠅模型的正周期解問題，利用錐拉伸與錐壓縮不動點定理、Laypunov方法及不等式技巧得到了這類模型正周期解存在唯一的充分條件，并通過一個實例和仿真說明了結論的有效性，推廣和改進了已有文獻的結果。

關鍵詞：Nicholson果蠅模型；正周期解；時滯；脈沖；錐拉伸與錐壓縮不動點定理

引用格式：張若軍，楊春雨，劉芳.一類時滯脈沖廣義Nicholson果蠅模型的正周期解[J].中國海洋大學學報(自然科學版), 2016, 46(7):136-140.

Zhang Ruo-Jun, Yang Chun-Yu, Liu Fang. Positive periodic solution for a class of delay impulsive generalized nicholson’s blowflies models[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(7):136-140.

0　引言

1980年，Gurney等學者[1]為描述Nicholson果蠅的生物動力學行為，提出了如下數學模型

N′(t)=-δN(t)+pN(t-τ)e-αN(t-τ)，

(1)

時滯在Nicholson果蠅模型中不可避免，但若進一步考慮到天氣、人為因素、食物鏈等外界環境發生瞬時突變的可能性，就必須考慮時滯脈沖Nicholson果蠅模型，這方面的研究成果較少。近年來，脈沖微分方程理論發展迅速，出現了幾部較為全面的專著[8-10]。李萬同等[11]研究了如下一類具有線性脈沖的時滯廣義Nicholson果蠅模型正周期解的存在性和全局吸引性

(2)

其中m是一個正常數，δ(t)，α(t)及p(t)是以ω>0為周期的正值連續函數。在m≠0的時滯情形下，作者通過Schauder不動點定理、Lyapunov函數和不等式技巧等方法給出了(2)正周期解的存在性和全局吸引性的條件。

本文將考察一類具有線性脈沖的時滯廣義Nicholson果蠅模型的正周期解的存在性與唯一性問題，所采用的研究方法與得到的結論均與文獻[11]不同。

1　預備知識

考慮如下時滯脈沖廣義Nicholson果蠅模型：

(3)

具有初值條件

(4)

對于方程(3)和(4)，本文提出如下假設：

注1.2根據問題的生物學背景，這里僅考慮方程(3)和(4)的正解，并簡稱方程(3)和(4)為初值問題(3)。

(5)

及初值條件

(6)

2　主要結果

類似文獻[12]的證明方法，容易獲得下面的結論。

注 2.1由引理2.1，考慮帶有脈沖的初值問題(3)的正ω-周期解，只需要考慮不帶脈沖的初值問題(5)的正ω-周期解。

引理 2.2[13](錐拉伸與錐壓縮不動點定理)

為應用引理2.2，令

令P={x∈X:x(t)≥0,t∈[0,ω]}，則P是X中的一個錐。定義算子如下：

(Tx)(t)=

(7)

0

(8)

易驗證初值問題(5)有一個正ω-周期解當且僅

對?φ(t)∈C([-τ,0],(0,+∞)),?t>0，由常數變易法知，(5)的解有如下形式：

(9)

(10)

(11)

(12)

及

證明由(12)式，?x∈P,t≥0,

(14)

由(8)式,有

(15)

從而

(16)

則初值問題(3)(或初值問題(5))存在唯一一個正ω-周期解。

證明由引理2.1，只需證明初值問題(5)的正ω-周期解的唯一性。

(17)

(18)

(19)

可以斷言，?M>0,s.t.

(20)

否則，?T>0,s.t.

(21)

我們首先證明不等式

(22)

事實上，由微分中值定理，有

由(19)及(22)式，則(21)式蘊含著

(23)

由(23)式及z(t)的周期性，我們有

注2.2由定理2.1，定理2.2可以看出本文提供的保證有脈沖與無脈沖的時滯廣義Nicholson果蠅模型(3)和(5)存在唯一正ω-周期解的條件易于驗證，與已有文獻[11]相比，不僅采用的證明方法不同，且所得到的保證所給系統正周期解存在唯一的條件更加寬松。

3　例子及仿真

例考慮如下具有脈沖的時滯廣義Nicholson果蠅模型

圖1　模型(24)解的仿真

參考文獻：

[1]Gurney W S C, Blythe S P, Nisbet R M. Nicholson′s blowflies revisited [J]. Nature, 1980, 287: 17-21.

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[3]Cooke K, Van den Driessche P, Zou X. Interaction of maturation delay and nonlinear birth in population and epidemic models [J]. J Math Biol, 1999, 39(4): 332-352.

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[5]Chen Y M. Periodic solutions of delayed periodic Nicholson’s blowflies models [J]. Can Appl Math Q, 2003, 11(1): 23-28.

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Shi B, et al. The Introduction and Application of Functional Analysi s[M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2006.

AMS Subject Classifications:34K13； 92B05

責任編輯陳呈超

基金項目：? 國家自然科學基金項目(11171315)；山東省自然科學基金項目(ZR2011AZ001，ZR2011AM003)資助

收稿日期：2014-05-20;

修訂日期：2014-09-16

作者簡介：張若軍(1970-)，女，副教授。E-mail:zhangru1626@sina.com

中圖法分類號:O175

文獻標志碼:A

文章編號：1672-5174(2016)07-136-05

DOI:10.16441/j.cnki.hdxb.20140175

Positive Periodic Solution for a Class of Delay Impulsive Generalized Nicholson’s Blowflies Models

ZHANG Ruo-Jun, YANG Chun-Yu, LIU Fang

( School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:In this paper, the positive periodic solution for a class of delay impulsive generalized Nicholson’s blowflies models is considered. By using the cone expansion and compression fixed point theorem, Lyapunov functions and inequality technique, some criteria ensuring the existence and uniqueness of positive periodic solution for the given model are derived. Moreover, an example and its simulation are given to show the efficiency of the results. The main results improve and generate the results of the previous literature.

Key words:Nicholson’s blowflies model; positive periodic solution; delay; pulse; cone expansion and compression fixed point theorem

Supported by(National Natural Science Foundation of China (Grant No.11171315), and the Natural Scientific Research Fund of Shandong Province of PR China (Grant No. ZR2011AZ001, ZR2011AM003).