二元函數各種極限之間的關系

柴志遠（福建省漳浦龍成中學）

二元函數各種極限之間的關系

柴志遠
（福建省漳浦龍成中學）

一、引言

在討論研究多元函數的有關理論和概念時，重要是研究二元函數，因為二元函數所討論的一切結論都能相應的推廣到n（n＞2）元函數上去，二元函數的極限是反映函數在某一領域的重要屬性的一個基本概念，它刻畫了當自變量趨向于某一個定值時，函數值的變化趨勢，是高等數學中一個極其重要的問題，本文就是主要討論二元函數極限問題，重要研究二元函數各種極限之間的關系.

二、預備知識

三、二元函數各種極限之間的關系

二元函數各種極限之間的關系錯綜復雜，往往由一種極限的存在不能推出另一種極限存在.

1.二重極限與弱二重極限的關系

定理1：若（強）二重極限存在，則弱二重極限存在；若弱二重極限存在，則（強）二重極限不一定存在.

2.兩個累次極限之間的關系

（1）一個存在不能斷定另一個存在，或者兩個都不存在.

（2）兩個累次極限都存在，但不相等.

3.二重極限與累次極限的關系

二重極限與累次極限之間的關系是一個比較復雜的問題.

結論1：由二重極限存在，不能保證累次極限的存在；由兩個累次極限的存在，即使相等，也不能保證二重極限的存在.

那么在重極限和累次極限之間是否毫無關系可尋呢？并非如此，有下面的定理：

由這個定理可得兩個推論：

結論2：由二重極限和兩個累次極限存在，可以得出三者相等；若兩個累次極限都存在，但不相等，則二重極限不存在.

4.二重極限與方向極限之間的關系

由二重極限與方向極限的定義可知，方向極限是二重極限的特殊情形，即二重極限存在方向極限必存在，但其逆并不成立.即使f（x，y）在點（x0，y0）處沿任何方向（cosα，cosβ）都有等于A的極限，也不能保證二重極限存在.

結論3：二重極限存在是方向極限存在的充分條件，但并非必要條件.而方向極限存在又是二重極限存在的必要條件，那么方向極限不存在，或沿任何兩個不同方向的方向極限存在而不相等，則可得出二重極限不存在.

5.累次極限與方向極限的關系

一般的說，二者沒有什么關系，特別注意，累次極限絕不是方向極限的特例，即是說f（x，y）在點（x0，y0）處沿任何方向有等于A的極限，而累次極限也可能不存在.

結論4：兩個累次極限存在相等，也不能保證方向極限的存在，當二重極限，累次極限都存在，方向極限必存在，而且三者相等.

二元函數的極限是反映函數在某一領域內的

重要屬性的一個基本概念，比起一元函數的極限無論從計算還是證明都具有更大的難度，尤其是二元函數各種極限之間的關系錯綜復雜，本文總結了兩個二重極限之間的關系、兩個累次極限之間的關系、二重極限與累次極限之間的關系、二重極限與數列極限之間的關系、二重極限與方向極限之間的關系、以及累次極限與方向極限之間的關系，這對于我們更深入研究二元函數具有十分重要的意義．

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·編輯李琴芳