遞推數列的通項公式求法

邱家榮（云南省呈貢區第一中學）

遞推數列的通項公式求法

邱家榮
（云南省呈貢區第一中學）

以各種類型的遞推數列為模型，類比、化歸到等差數列、等比數列，然后求出遞推數列的通項公式，以期提高學生適應高考的能力，提升學生解題的思維品質。

遞推數列；等差數列；等比數列

在最近幾年全國各地的高考試題中，絕大多數數列考題都考查了遞推數列通項公式的求解。遞推數列通項公式的求解，主要運用轉化思想把問題化歸為兩個基本數列——等差數列、等比數列的問題來求解。把數學運用于實踐，有意識地從這兩個方面培養學生的學習能力和解題能力。

1.型如an+1=an+f（n）的通項求法：將已知化為an+1-an=f（n）用累加求解。

注：當f（n）為常數d時，型如一就為等差數列。

例1.已知數列｛an｝滿足a1=2，an+1=an+2n+3（n∈N*），求an．

分析：由遞推關系an+1=an+2n+3?an+1-an=2n+3有：

故：an=n2+2n-1（n∈N*）

例2.已知數列｛an｝滿足a1=3且an+1=2n+1an，求an

例3.已知數列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），求數列｛an｝的通項公式；

分析：轉化成兩種基本數列利用兩法求解。

解：∵an+1=2an+1（n∈N*），

∴an+1+1=2（an+1），

∴｛an+1｝是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數列，

∴an+1=2n

即an=2n-1（n∈N*）

（1）派生一，型如：an+1=can+An+B（其中A，B，c為常數）的通項求法：將已知化為an+1+λ1（n+1）+λ2=c（an+λ1n+λ2）可得｛an+λ1n+λ2｝是等比數列。

例4.已知a1=2且an+1=4an+6n-5求｛an｝的通項公式。

解：因an+1=4an+6n-5可化為an+1+2（n+1）-1=4（an+2n-1）

則｛an+2n-1｝是首項為a1+2-1=3，公比為4的等比數列，

所以an+2n-1=3·4n-1

即an=3·4n-1-2n+1

（2）派生二，型如：an+1=man+An2+Bn+C（其中m、A、B、C為常數）的通項求法：將已知化為an+1+λ1（n+1）2+λ2（n+1）+λ3=m（an+ λ1n2+λ2n+λ3）可得｛an+λ1n2+λ2n+λ3｝是等比數列。

例5.已知a1=2且an+1=3an+2n2-6n+7求｛an｝的通項公式。

解：因an+1=3an+2n2-6n+7可化為：

an+1+（n+1）2-2（n+1）+3=3（an+n2-2n+3）

得｛an+n2-2n+3｝是首項為a1+12-2+3=4，公比為3的等比數列。

則an+n2-2n+3=4·3n-1

即an=4·3n-1-n2+2n-3

（3）派生三，型如：an+1=can+dn（其中c、d為不相等的常數）的通項求法：將已知化為an+1+λdn+1=c（an+λdn）可得｛an+λdn｝是等比數列。

例6.已知數列｛an｝的首項為a1=1且an+1=2an+3n，求通項an。

解：因an+1=2an+3n可化為an+1-3n+1=2（an-3n）

得｛an-3n｝是首項為a1-3=-2公比為2的等比數列

則an-3n=-2·2n-1。

即an=3n-2n

例7.已知，數列｛an｝的首項a1=2且an+1=2an+3·2n，求通項an。

即an=（3n-1）2n-1

6.型如：an+1=c（其中c＞0，an＞0）的通項求法：將已知兩邊取對數轉化為lgan+1=2lgan+lgc用第3種形式求解。

［練習］

3．已知數列｛an｝中，a1=1，a2=3且an+2=3an+1-2an，則an=_______；

6.設數列｛an｝首項為1，an+1-an=2an+1an，求數列｛an｝的通項公式。

7.設數列｛a｝n首項為2，an+1=100，求數列｛an｝的通項公式。

［1］黃愛民.十類遞推數列的通項公式的求法［J］.高中生，2006（10）：12-13.

［2］吳懷芳.求數列通項的幾種常見類型［J］.試題與研究，2005（9）.

［3］陳云烽.遞推數列通項的求解［J］.中學數學教學參考，2007（6）.

·編輯李琴芳