高中數(shù)學中思想方法的應用
——高中數(shù)學中的函數(shù)與方程思想

陳燕青（江蘇省盱眙中學）

高中數(shù)學中思想方法的應用
——高中數(shù)學中的函數(shù)與方程思想

陳燕青
（江蘇省盱眙中學）

函數(shù)屬于高中數(shù)學中的重要概念與思想，而且它所包含的內(nèi)容也相當廣泛，其概念與思想滲透到高中數(shù)學的各個部分，所以函數(shù)思想對高中生的數(shù)學學習具有重要的意義與作用.因此，主要針對此，對函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學教學中的運用進行分析，借助案例分析的形式，研究函數(shù)思想的合理運用，并為高中的數(shù)學教育做出一定的貢獻，希望能夠促進高中數(shù)學教學的積極發(fā)展.

高中數(shù)學；函數(shù)與方程思想；直線

認知主義學習理論將數(shù)學看成是對知識、規(guī)律逐漸發(fā)現(xiàn)與理解的過程，這就要求學習者在數(shù)學學習中不斷摸索，了解數(shù)學的精神，掌握其思想方法，尤其是與生活息息相關(guān)的函數(shù)與方程思想.建構(gòu)主義認為，知識是主動建構(gòu)的，不是被動接受的，知識在每個學習者頭腦中都不是客觀存在的，而是由每個學習者主動參與認識活動而主觀創(chuàng)造出來的.

一、函數(shù)與方程思想在導數(shù)中的應用

導數(shù)在近幾年的高考中占據(jù)重要地位，而構(gòu)造函數(shù)與方程思想在導數(shù)中的應用是各級、各類考試中的熱點問題.導數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)的研究常常和函數(shù)與方程思想相結(jié)合，主要綜合考查學生的思維能力.

例1（2014南通三模）已知函數(shù)f（x）=（x-a）2ex在x=2時取得極小值.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）是否存在區(qū)間［m，n］，使得f（x）在該區(qū)間上的值域為［e4m，e4n］？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由.

解：a=2，過程略.

（2）因為f（x）≥0，所以m≥0.

①若m=0，則x≥2，因為f（0）=4＜e4n，所以（n-2）2en=e4n.

所以g（x）在［2，+∞］上為增函數(shù).

由于g（4）=e4，即方程（n-2）2en=e4n有唯一解為n=4.

②若m＞0，則2∈［m，n］，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2.

由①可知不存在滿足條件的m，n.

設h（x）=x（x-2）2ex（0＜x＜2），則h＇（x）=（x3-x2-4x+4）ex=（x+2）（x-1）（x-2）ex.

h（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，此時（m-2）2em＜4e＜e4n，矛盾.

綜上所述，滿足條件的m，n值只有一組，且m=0，n=4.

二、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用

在解析幾何的相關(guān)問題中，若遇到直線和圓、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，常常會聯(lián)立方程組研究，而遇到解析幾何中的最值問題時常常會用函數(shù)去研究.

例2（2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)）如圖1，在平面直角坐標系xoy中，圓O1，圓O2都與直線l∶y=kx及x軸正半軸相切.若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個交點為P（2，2），求直線l的方程.

解：由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l的角平分線上.

若直線l的斜率k=tanα，

圓心O1，O2在直線y= tx上，

可設O1（m，mt），O2（n，nt）.

交點P（2，2）在第一象限，m，n，t＞0.

圖1　

所以，O1∶（x-m）2+（y-mt）2=（mt）2，O2∶（x-n）2+（y-nt）2=（nt）2，

所以m，n是方程x2-（4+4t）x+8=0的兩根，mn=8.

點評：這道題考查了直線的方程、圓的方程等知識，考查了方程思想的應用.由直線l的方程，可以引進參數(shù)t，建立的直線O1O2的方程.再根據(jù)過點P（2，2）建立方程組，滲透了方程組的思想，但是在整個問題的解決過程中自始至終都滲透了建立關(guān)于參數(shù)t的方程的思想.

希爾伯特說過：數(shù)學學科是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各個部分之間的聯(lián)系.函數(shù)與方程思想固然重要，但是也離不開與其他思想方法的聯(lián)系，要想學好數(shù)學，攻克解題難關(guān)就必須掌握好各種基本知識、方法、思想之間的聯(lián)系.學生在解題過程中，認真分析各個條件及各個條件之間的聯(lián)系，嘗試用數(shù)學思想方法找到解題方向.所以僅僅教會學生知識和方法是遠遠不夠的，沒有思想方法的提煉和融會貫通是走不遠的，函數(shù)與方程思想是高考考查的重點和難點，教師在平常的教學過程中，要不斷地滲透給學生，還要注意和各種思想方法綜合使用.

三、函數(shù)在數(shù)列問題中的應用

四、函數(shù)與方程思想在不等式中的應用

五、函數(shù)與方程思想在實際問題中的應用

例如，有這樣的實際問題：某班的20名同學在直線公路上栽樹，每人植一棵，而且相鄰兩棵樹的距離為10米。在開始過程中，需要把樹苗集中放在某一個樹坑旁邊，能夠讓每位同學領(lǐng)取樹苗所用的路程總和最小，求這個最小值。對于這一問題來說，應該建立合適的數(shù)學模型，通過列式向函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化。如圖2所示。

圖2　

總之，作為高中數(shù)學基礎知識的重要內(nèi)容，數(shù)學思想與數(shù)學方法屬于教學中的重點，也是學生在學習過程中的難點。通過數(shù)學思想與方法的學習能夠真正理解數(shù)學的價值與意義。高中數(shù)學的學習離不開函數(shù)的思想與作用，函數(shù)的學習能夠為其他知識的掌握奠定一定的基礎，而且函數(shù)思想也屬于數(shù)學學習中的重要指導思想。因此，本課題針對函數(shù)與方程思想，對其在高中數(shù)學教學中的運用進行研究，主要是關(guān)于解決數(shù)學問題的案例分析，以此能夠為高中數(shù)學教學提供合理的借鑒，促進高中生數(shù)學的學習與進步。

·編輯李琴芳