不確定參數快估反演自適應最優L2增益控制

谷志鋒, 朱長青, 邵天章, 王文婷

(軍械工程學院車輛與電氣工程學院, 河北 石家莊 050003)

?

不確定參數快估反演自適應最優L2增益控制

谷志鋒, 朱長青, 邵天章, 王文婷

(軍械工程學院車輛與電氣工程學院, 河北 石家莊 050003)

為了加快參數自適應律微分方程求解速度和狀態變量的穩定收斂速度,通過改進常規反演自適應L2增益控制算法和引入線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI),實現了參數自適應律微分方程只需一步積分運算即可求解,簡化了不確定參數自適應律計算求解,并保證了L2增益系數最小,給出了不確定參數快估反演自適應最優L2增益控制(rapid back-stepping adaptive optimalL2control, OP-L2-RBAC)的通式。軍用電站諧波勵磁系統的控制仿真結果表明,相對于傳統反演自適應L2增益控制,該方法可加強軍用電站勵磁系統的動態穩定性。

反演自適應L2增益控制; 自適應最優L2增益控制; 快速最優L2增益控制; 軍用電站; 改進反演控制

0　引　言

基于反演設計的非線性自適應L2增益控制(nonlinear adaptiveL2-gain control,L2-NAC)方法不僅可以有效處理不滿足匹配條件的參數不確定性問題,還可以保證干擾至控制輸出的增益小于設定值,實現系統的魯棒穩定,因此,在勵磁控制[1-3]、柔性交流輸電[4-5]、交直流互聯系統控制[6-7]、高速飛行器[8-9]、移動機器人[10]等眾多領域,反演自適應L2-NAC有著廣泛的應用。

文獻[2-5]在進行反演L2-NAC 設計過程中,依據一種特殊的不等式關系實現了控制系統的L2增益控制;文獻[6-10]采用的反演L2-NAC方法通常要求未建模動態、不確定非線性部分滿足一定的不等式關系;文獻[11-14]介紹的反演L2-NAC方法通常需要外部擾動、不確定項的上界或上界函數已知;文獻[15-18]中的反演L2-NAC方法克服了過參數的問題,但同樣要求未建模動態、不確定項以及外部干擾滿足一定的不等式關系或上界已知,另外,在反演設計過程中,由于虛擬函數的每一步設計都引入了不確定參數估計值[19-20],因此,最終導致參數自適應律微分方程的求解運算較慢。另外,上述反演L2-NAC均不具備最優控制功能。文獻[2]提出一種具有狀態參數最優約束的反演自適應控制方法,并將該方法應用到了軍用電站勵磁控制中,在實現參數自適應、二次性能指標最優的同時可以保證干擾至功角、轉速等狀態變量的動態積分最小,但該方法不具備最優L2增益干擾抑制功能,同時該方法與以往L2-NAC相似,在每一次虛擬函數設計時都引入了不確定參數估計值,導致參數自適應律求解運算較慢。

為此,本文提出一種不確定參數快估反演自適應最優L2增益控制(rapid back-stepping adaptive optimalL2control,OP-L2-RBAC)方法。OP-L2-RBAC對外部干擾、不確定部分的結構和上界沒有要求,只要求外部干擾為L2空間能量有限的信號,因此適用范圍較廣,同時該方法對文獻[2]的計算方法進行了改進,使得參數自適應律在仿真過程中只需直接求解積分即可求解,因此計算速度較快。軍用電站勵磁控制仿真結果證明了OP-L2-RBAC的有效性和優越性。

1　反演自適應最優L2增益控制原理

1.1問題描述

考慮以下具有外部干擾輸入和不確定參數的非線性系統:

(1.1)

(1.2)

(1.i)

(1.n)

(2)

式中,y為評價信號。

1.2反演自適應最優L2增益控制實現

步驟 1取e1=x1,由式(1.1)得

(3)

(4)

式中,控制系數m1=f1(|e1|)+c1,f1(|e1|)為關于e1的K類函數, c1>0。

將式(4)代入式(3)得

(5)

由式(1.2)和式(4)得

(6)

步驟 2取Lyapunov函數:

(7)

對式(7)沿式(3)、式(6)求導得

(8)

(9)

式中,控制系數m2=f2(|e2|)+c2,f2(|e2|)為關于e2的K類函數, c2>0。

將式(9)代入式(8)得

(10)

將式(9)代入式(6)得

(11)

步驟 i采用上述相同的計算方法得

(12)

(13)

(14)

式中,控制系數mi=fi(|ei|)+ci,fi(|ei|)為關于ei的K類函數,ci>0。

步驟n取全系統的Lyapunov函數:

(15)

Vn求導得

(16)

將式(1.n)、式(13)代入式(16)得

(17)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)得

(20)

采用以上Back-stepping方法可得誤差系統:

(21.1)

(21.i)

(21.n)

其中

步驟 n+1式(21)通過直接反饋線性化得

(22.1)

(22.2)

(22.n)

或

(23)

當取y=CZ,依據線性H∞控制相關知識,對于式(23)當反饋控制律v能夠使得不等式

成立,因此,當將σ0γ1整體看作γ時,可見采用反饋控制律v、控制律(18)及參數自適應律(19)可實現系統(1)的非線性自適應最優L2干擾抑制控制。

如果系統(23)的控制律v可求解,則代入式(24)可得uf1的值。將uf1代入式(18)可得控制律u的值。

(24)

控制律v的求解方法見下面的定理1。

定理 1對應系統(23)性能指標為

的最優L2增益干擾抑制反饋控制v的解為

v=WP-1Z

(26)

式中,W和P為以下LMI的解:

Minλ

(27)

(28)

P>0

(29)

(30)

(31.1)

(31.2)

取反饋控制律v=KZ時,代入式(31)得

(32.1)

(32.2)

當系統(32)漸近穩定且滿足H∞<γ時,不等式(33)存在解K和X1。

(33)

式中,X1為正定對稱矩陣。

當式(33)左乘和右乘diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},取X=γX1,得

(34)

式(34)是有關K和X的非線性不等式。式(34)左乘和右乘diag{X-1,I,I}得

(35)

式中,P=X-1;W=KP。

式(35)為有關W和P的線性矩陣不等式,利用Matlab線性矩陣不等求解命令Mincx可得最小γ。此時的K=WP-1。控制律為v=KZ=WP-1Z。

證畢

上述式(3)～式(35)的計算過程中,綜合采用了back-stepping和線性H∞控制方法,并在設計過程中省略了每次虛擬函數設計時都要引入參數自適應律的不足,具有計算速度快的優點。該方法即為本文新出的OP-L2-RBAC。

評價 1當采用控制律式(18)和參數自適應律式(19)時,由系統(1)可得閉環誤差控制系統(21)。系統(21)到系統(23)的變換是直接反饋等價變換,因此,在控制律式(18)和參數自適應律式(19)作用下,系統(23)與系統(1)是等價的。

評價 2由L2控制定義可知,式(26)～式(29)得到的控制律v可以保證系統(23)漸近穩定,由于系統(23)與系統(1)是等價的,所以由控制律v、式(18)和式(19)可以保證系統(1)漸近穩定。

評價 3在OP-L2-RBAC中,選用

而非

作為性能指標,可以在實現系統(1)漸近穩定的同時,對控制輸入v進行約束,防止v的波動過大。

評價 4OP-L2-RBAC在保證系統穩定和參數自適應的同時,還可以實現狀態參數的最優控制和L2增益最優干擾抑制,克服了傳統L2增益控制缺乏最優控制的不足。

2　諧波勵磁系統的反演自適應最優L2增益控制

(36.1)

(36.2)

(36.3)

式中

當引入預反饋u時,由式(32)可得

(37.1)

(37.2)

(37.3)

y=[q1x1q2x2]T

(37.4)

式(37.2)中,θ=D/M為不確定系數。

(38)

式中,m1=f1(|e1|)+c1,f1(|e1|)為關于e1的K類函數, c1>0。

(39)

(40)

(41)

式中,m2=f2(|e2|)+c2,f2(|e2|)為關于e2的K類函數, c2>0。

將式(41)代入式(39)、式(40)得

(42)

(43)

由式(41)得

(44)

(45)

將式(44)代入式(45),分別得以下控制律(46)和參數自適應律(47):

(46)

(47)

將式(46)、式(47)和式(44)代入式(45)得

(48)

由以上計算可得閉環誤差系統:

(48.1)

(48.2)

(48.3)

其中

采用直接反饋線性化,系統(48)可轉換為

(49.1)

(49.2)

(49.3)

其中

(50.1)

(50.2)

(50.3)

系統(49)可以表示為

(51.1)

(51.2)

式中

由OP-L2-RBAC計算原理可知,當系統(49)的性能指標為

時,采用控制律(49)不僅可以實現系統的漸進穩定,還能夠實現干擾抑制系數γ1最小。

(52)

式中,W,P的值可采用求解LMI不等式(27)～式(29)的方式求解。

成立,其中γ=σ0γ1,即實現干擾對功角變化和轉速變化的影響最小。因此,OP-L2-RBAC既能夠保證系統穩定和實現外部干擾抑制、不確定參數自適應,還具有最優控制功能。

評價 6當D12=[0001]T時,由于滿足

所以OP-L2-RBAC可以防止控制輸入劇烈變化。

3　仿真結果與分析

采用PID控制時,仿真結果分別如圖1所示。

圖1　采用PID控制時的狀態及控制變化曲線

采用常規L2-NAC時,仿真參數為:f1(|e1|)=f2(|e2|)=f3(|e3|)=0,c1=5,c2=2,c3=9,Mh=1.4,q1=0.4,q2=0.6,γ=0.5,ρ=1,ε1和ε2均為白噪聲(噪聲功率分別為0.2和0.3)。仿真結果如圖2所示。

圖2　采用L2-NAC控制時的狀態及控制變化曲線

圖3　采用OP-L2-RBAC時的狀態及控制變化曲線

4　結　論

本文針對一類含干擾輸入的嚴參數反饋非線性不確定系統,提出了一種OP-L2-RBAC的L2增益干擾抑制的新方法, 并給出了計算通式。OP-L2-RBAC可以實現參數自適應律通過積分運算直接求解,簡化了計算,提高了L2-NAC 運算速度;同時由于無需知道外部干擾的上界和滿足的不等式,因此,具有通用性強的特點;通過引入K類函數,使得非線性系統的狀態變量能夠快速恢復穩定,提高了非線性不確定系統的穩定控制能力。軍用電站諧波勵磁系統的OP-L2-RBAC仿真結果證明了該方法的有效性和優點,為提高軍用電站勵磁系統的穩定控制能力提供了一種新的方法。

[1] Hao J, Chen C, Shi L B, et al. Nonlinear decentralized disturbance attenuation excitation control for power systems with nonlinear loads based on the Hamiltonian theory[J].IEEETrans.onEnergyConversion, 2007,22(2): 316-324.

[2] Gu Z F, Zhu C Q, Shao T Z, et al. Robust adaptive control for the excitation system based on total-state-parameter optimum control[J].ControlTheory&Applications, 2013,30(7):856-862 (谷志鋒,朱長青,邵天章,等.全狀態參數最優控制的魯棒自適應勵磁控制[J].控制理論與應用,2013,30(7):856-862.)

[3] Wang K, Xin H, Gan D Q, et al. Non-linear robust adaptive excitation controller design in power systems based on a new back-stepping method[J].IETControlTheory&Applications, 2010,4(12):2947-2957.

[4] Hassan H A,Rao M. Novel robust adaptive controller based on non-quadratic Lyapunov functions for FACTS[C]∥Proc.ofthe8thIEEInternationalConferenceonACandDCPowerTransmission, 2006: 261-265.

[5] Mei S, Guan T, Lu Q, et al. Nonlinear disturbance attenuation control of static phase shifter in sense ofL2-gain[J].EuropeanTrans.onElectricalPower, 2003,13(2): 113-118.

[6] Fu J, Zhao J. Nonlinear robust control for parallel AC/DC transmission systems: a new adaptive back-stepping approach[J].CyberneticsandSystems, 2006,37(4):347-359.

[7] Murat K, Gokan P. Robust adaptive control of pulse-width modulated rectifiers based on adaptive super-twisting sliding-mode and state feedback controllers[J].ElectricPowerComponentsandSystems, 2015,43(11): 1289-1296.

[8] Ashfao A M,Wang D B. Modeling and backstepping based nonlinear control strategy for a 6 DOF quadrotor helicopter[J].ChineseJournalofAeronautics, 2008,21(3):261-268.

[9] Li Z J, Ge S S. Adaptive robust controls of biped robots[J].IETControlTheory&Applications, 2013,7(2):161-175.

[10] Sun H B, Li S H, Yang J, et al. Non-linear disturbance observer-based back-stepping control for airbreathing hypersonic vehicles with mismatched disturbances[J].IETControlTheory&Applications, 2014,8(17):1852-1865.

[11] Queiroz K, Araujo A, Dias S. Design and stability analysis of a variable structure adaptive backstepping controller[J].AsianJournalofControl, 2012, 14(3): 641-651.

[12] Wang J H, Hu J B. Robust adaptive control for uncertain nonlinear systems with unknown control directions and actuator nonlinearity[J].JournalofControlTheoryandApplication, 2012,29(3):375-380.

[13] Anil K Y, Prerna G. Robust adaptive speed control of uncertain hybrid electric vehicle using electronic throttle control with varying road grade[J].NonlinearDynamics, 2013,76(1):305-321.

[14] Yang L B, Zhang W G, Huang D G.Robust trajectory tracking control for underactuated quadrotor UAV based on ESO[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2015,37(9):2102-2108.(楊立本,章衛國,黃得剛.基于ESO的欠驅動四旋翼飛行器軌跡魯棒控制[J].系統工程與電子技術,2015,37(9): 2102-2108.)

[15] Nhan T N. Optimal control modification for robust adaptive control with large adaptive gain[J].Systems&ControlLetters, 2012,61(4):485-494.

[16] Mu X W, Yu J M, Bi W P. Robust adaptive control of nonholonomic systems with uncertainties[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2004,25(3):329-337.

[17] Xie W. QuadraticL2-gain performance linear parameter-varying realisation of parametric transfer functions and state-feedback gain scheduling control[J].IETControlTheory&Applications, 2012,6(11):1577-1582.

[18] Liu Y, Li X Y. Robust adaptive control of nonlinear systems with unmodelled dynamics[J].IEEProceedingD(ControlTheoryandApplication), 2004,15(1):183-188.

[19] Gu Z F, Zhu C Q, Yang G X, et al. Design of the multi-objective constrained nonlinear robust excitation control based on the all state parameters EKF estimate[J].InternationalJournalofRobustandNonlinearControl, 2015,25(6): 789-806.

[20] Huang X Y, Wang Q, Dong C Y. Robust adaptive control of hypersonic vehicles via backstepping method[J].SystemsEngineeringandElectronics,2011,33(6):1321-1326.(黃喜元,王青,董朝陽.基于Backstepping的高超聲速飛行器魯棒自適應控制[J].系統工程與電子技術,2011,33(6): 1321-1326.)

Back-stepping optimalL2-gain control with rapid adaptation of uncertain parameters

GU Zhi-feng, ZHU Chang-qing, SHAO Tian-zhang, WANG Wen-ting

(Vehicles and Electrical Engineering Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

In order to improve the calculation speed of the parameters adaptive law and the convergence speed of the state variables, by modifying the traditional back-stepping adaptiveL2-gain control algorithm and adopting linear matrix inequality (LMI), the parameter adaptive differential equation can be resolved in one integration, and the solution of the adaptive laws for the uncertain parameters is simplified, then theL2gain of the adaptive robust control will be minimum, the common formulas for the rapid back-stepping adaptive optimalL2control (OP-L2-RBAC) is deduced. Simulation results of the harmonic excitation system for the military power station show that the OP-L2-RBAC, comparing with the traditional nonlinear adaptiveL2-gain control (L2-NAC) method, can enhance the dynamic stability of the excitation system for the military power station.

back-stepping adaptiveL2-gain control; adaptive optimalL2-gain control; rapid optimalL2-gain control; military power station; improved back-stepping control

2015-08-11；

2015-11-05；網絡優先出版日期：2016-02-16。

國家自然科學基金(51407196)；軍械工程學院重點院基金(YJJXM12046)資助課題

TM 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.29

谷志鋒(1979-),男,博士,主要研究方向為獨立電力系統非線性穩定控制。

E-mail:gzfgohappy@163.com

朱長青(1963-),男,教授,博士,主要研究方向為野戰電力支持技術。

E-mail:zhunei@163.com

邵天章(1967-),男,副教授,碩士,主要研究方向為軍用電站狀態觀測與非線性控制算法分析。

E-mail:shaotz@163.com

王文婷(1979-),女,碩士,主要研究方向為裝備電網絡仿真技術。

E-mail:W_wenting@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160216.1531.004.html