沉降觀測AR模型的不確定性平差算法

鄒　渤　宋迎春　唐爭氣,2　謝雪梅

1　中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙市麓山南路932號，410083　2　湖南城市學(xué)院市政與測繪工程學(xué)院，益陽市益陽大道西238號， 413000

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沉降觀測AR模型的不確定性平差算法

鄒渤1宋迎春1唐爭氣1,2謝雪梅1

1中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙市麓山南路932號，4100832湖南城市學(xué)院市政與測繪工程學(xué)院，益陽市益陽大道西238號， 413000

摘要：在沉降觀測過程中，獲取的數(shù)據(jù)經(jīng)常存在著不確定性，影響參數(shù)估計的可靠性和沉降預(yù)測的準(zhǔn)確性。把不確定度作為參數(shù)融入AR模型，建立基于AR模型的不確定性平差模型。依據(jù)殘差中不確定性傳播規(guī)律，利用min-max估計準(zhǔn)則，使得殘差中的最大不確定度達(dá)到最小，從一個新的角度探討不確定性觀測數(shù)據(jù)的處理方法，得到基于不確定性算法的AR模型，擴(kuò)展了現(xiàn)有誤差理論。通過沉降實例進(jìn)一步驗證算法的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞： 沉降觀測；AR模型；不確定性

自回歸AR模型是利用變量時間序列的變化規(guī)律建立一種預(yù)測未來變化的時間序列分析模型，在沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中有廣泛的應(yīng)用[1-3]。自回歸分析在應(yīng)用中需要先確定其模型階數(shù)，然后用平差方法解算模型中的參數(shù)值，確定其模型。目前的沉降觀測數(shù)據(jù)處理方法是基于隨機(jī)誤差理論的，而在沉降觀測數(shù)據(jù)的獲取過程中，經(jīng)常存在著一些不確定性，其統(tǒng)計信息(如均值和方差等)和概率分布函數(shù)無法確定[4-5]。而目前大多數(shù)參數(shù)解算方法只能簡單地應(yīng)用現(xiàn)有模型，從而導(dǎo)致模型病態(tài)[6-8]。有學(xué)者把整體平差算法應(yīng)用于沉降數(shù)據(jù)處理[3,9-10]，在一定程度上減弱了不確定性因素的影響，但整體最小二乘需同時顧及觀測不確定性和系數(shù)矩陣的不確定性[11-12]，會引起對系數(shù)矩陣的過度校正。一方面，當(dāng)系數(shù)矩陣的不確定度遠(yuǎn)小于觀測向量的不確定度時，會引起對系數(shù)矩陣的過度校正，使得系數(shù)矩陣的不確定性增加；另一方面，對于給定的先驗不確定信息，在采用整體最小二乘平差時，平差結(jié)果常會出現(xiàn)與已知的不確定信息不一致的情形。本文基于時間序列分析，直接將不確定度融入自回歸AR模型，在參數(shù)解算過程中對不確定性進(jìn)行抑制，是一種計算AR模型參數(shù)的新算法。

1　自回歸AR模型

在沉降處理中，可利用時間序列理論來分析觀測數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性，建立相應(yīng)的自回歸AR(p)模型：

(1)

式中，p為自回歸模型的階數(shù)，ρi(i=1,2,…,p)為自回歸模型的系數(shù)，et是均值為0的白噪聲。當(dāng)模型的階數(shù)p確定后，可以利用最小二乘方法確定其自回歸模型的系數(shù)。

設(shè)x1,x1,…,xN為N個沉降觀測數(shù)據(jù)，建立平差模型：

L=AX+e

(2)

其中，L=(xp+1,xp+2,…,xp+N)T，X=(ρp,ρp-1,…,ρ1,ρ0)T，e=(e1,e2,…,ep)T，

(3)

(4)

整體最小二乘平差準(zhǔn)則是:

(5)

2　帶有不確定性的AR模型

在實際的沉降觀測數(shù)據(jù)獲取中，經(jīng)常存在一些不確定信息，其統(tǒng)計信息(如均值和方差等)和概率分布函數(shù)均無法確定。如對于某一次沉降觀測值xi，它的干擾值Δxi是一組帶有不確定性的量：

這時，A和L的擾動ΔA和ΔL就是一個帶有不確定性的矩陣和向量。可以用2-范數(shù)的形式來描述觀測向量和系數(shù)矩陣的不確定性：

(6)

在平差模型中融入不確定度參數(shù)α和β，就成為不確定性平差模型：

(7)

在不確定性平差模型中，ΔA和ΔL的界α和β是已知的,即系數(shù)矩陣A和觀測向量L的不確定度是已知的。在總體最小二乘中，A和L的不確定度是未知的。普通最小二乘平差模型中，A沒有不確定性(ΔA=0)，ΔL的不確定性也是未知的。

利用ΔA和ΔL的不確定度進(jìn)行參數(shù)估計，是一種新的探索。在給定的有界區(qū)間內(nèi)，尋找參數(shù)解更符合實際。文獻(xiàn)[5]給出了一個min-max平差準(zhǔn)則，即讓殘差中的最大不確定性達(dá)到最小：

(8)

在此準(zhǔn)則下，參數(shù)的最優(yōu)解是一個嶺估計[4-5]：

(9)

其中，嶺參數(shù)μ可以通過文獻(xiàn)[4]方法得到。

3　實例分析

以長沙市某基坑監(jiān)測工程為例進(jìn)行分析。共布設(shè)12個沉降監(jiān)測點，間距約20 m。選取H9點的27期沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行研究(表1)，對其前20期數(shù)據(jù)采用自回歸模型AR進(jìn)行建模，通過文獻(xiàn)[2]的ODQ準(zhǔn)則給出其階數(shù)p為4。采用最小二乘算法(LS)、整體最小二乘算法(TLS)和本文的不確定性平差模型算法(ULS)(其中ULS算法中α=0.09，β=0.01，見式(7))來計算AR模型的系數(shù)，并對最后的7期進(jìn)行預(yù)測，利用預(yù)測值和實際觀測值的差異分析3種算法的有效性。

表1　H9 沉降觀測數(shù)據(jù)

可以看出(表2)，整體最小二乘偏差平方和(11.168 8)比最小二乘方法(2.684 2)更大，這說明即使考慮系數(shù)矩陣的誤差，也不能有效提高預(yù)測的準(zhǔn)確性。不確定性平差方法充分利用不確定先驗信息，其偏差平方和只有0.421 5，預(yù)測精度有顯著提高。由圖1可以發(fā)現(xiàn)，最小二乘和整體最小二乘給出的預(yù)測結(jié)果與實際觀測結(jié)果有較大偏差，而本文的不確定性平差方法擬合較好。

表2　LS、TLS和ULS的預(yù)測結(jié)果及偏差平方和

圖1　預(yù)測和實際觀測曲線Fig.1　The curve of the forecast and the actual observation

4　結(jié)　語

1) AR(p)模型的定階、參數(shù)估計較為簡單，且預(yù)報迅速，在沉降數(shù)據(jù)處理中可以得到很好的短期預(yù)測效果。

2)總體最小二乘法雖然考慮了系數(shù)矩陣誤差，但其誤差特性并不能很好地刻畫觀測過程的隨機(jī)性。某些時候，它并不能提高預(yù)測的精度[4]。

3)合理利用先驗的不確定性信息，建立帶有不確定信息的平差模型，可以有效提高自回歸AR模型的準(zhǔn)確性，沉降預(yù)測精度更高。

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Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No.41574006.

About the first author:ZOU Bo,postgraduate, majors in geodesy and survey engineering,E-mail：csu_zb@163.com.

收稿日期：2015-08-30

第一作者簡介：鄒渤，碩士生，研究方向為大地測量學(xué)與測量工程，E-mail：csu_zb@163.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.08.007

文章編號：1671-5942(2016)08-0686-03

中圖分類號：P258

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Adjustment Algorithm on AR Model with Uncertain in Settlement Observation

ZOUBo1SONGYingchun1TANGZhengqi1,2XIEXuemei1

1School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，932 South-Lushan Road, Changsha 410083,China2School of Municipal and Surveying Engineering, Hunan City University，238 West-Yiyang Road, Yiyang 413000,China

Abstract:Uncertainty often arises in the process of obtaining settlement observation data, affecting the reliability of parameter estimation and the accuracy of settlement prediction. This paper establishes a new adjustment model in which uncertainty is incorporated into the AR model as a parameter.An algorithm is given based on an uncertainty propagation law in the residual errors.A new way is used to research uncertainty, in which maximum possible uncertainty is minimized: existing error theory is extended with new observational data about uncertainty. Key words: settlement observation; AR model; uncertain

項目來源：國家自然科學(xué)基金(41574006)。