動態規劃在鋁行業儲存與生產的應用

申培萍 張夢想 張 瑩

(河南師范大學 河南 新鄉 453000)

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動態規劃在鋁行業儲存與生產的應用

申培萍 張夢想 張 瑩

(河南師范大學 河南 新鄉 453000)

文章對鋁行業中生產和存儲問題為例說明了動態規劃在鋁企業生產與儲存中的具體應用，并證明其有效性。

動態規劃;多階段決策;最優化

鋁工業作為基礎性原材料工業，在經濟發展和工業進步起著至關重要的作用，為了保證鋁產品的一系列生產，就要保證采購量和庫存量達成一個平衡狀態。因此本文主要對鋁企業的采購與庫存環節進行研究，提出切實可行的采購和庫存策略，從而保證生產達到企業優化的目的。

一、基本目標

要達到三個基本的目標：①庫存檢查的時間點。②每次進貨的訂貨量。③進貨的時間點。

二、基本原理

有一個合理的檢查周期T、最大儲存量G、訂貨量H，儲存量g。在檢查庫存時，如果H>g，就需要采購原材料生產，如果H≤G-g，則不需要采購生產。以儲存為媒介，連接起采購—儲存—銷售三者之間的動態關系，儲存又和生產密不可分，所以分析這兩個就可以估計整體的關系。以時間順序排列的一組數據，引入時段因素。每一個階段都需要進行決策，而且各階段之間互有聯系，所以本階段的決策不僅會影響本階段，而且影響下一階段，從而影響整體的結果。所以決策時不僅要考慮本次階段的影響，更要考慮整體的影響，做出對整體來說是最優的決策。

三、應用動態規劃實例

生產與庫存最有問題。設某工廠調查了解市場情況，根據往年預測在今后四個時期市場對產品的去求見下表：

k(階段)1234dk(需求量)2324

假設在任意階段，生產每批鋁固定消耗3(千元)，如果不生產，則為0。生產每單位產品的需要的固定費用為1(千元)，任何一個階段的最大產能不大于6個單位。并且任意期間每單位產品的庫存費為0.5(千元)，同時規定的開始和期末均無產品庫存。如何制定計劃,在滿足訂貨量及假設的情況下,使所花費的總成本費用最小。

(一)符號說明及分析：將本問題劃分為四個時段，時段變量設為k=1,2,3,4 即：①sk為狀態變量，表示第k階段末的庫存量，由已知得s0=s4=0。②xk決策變量，表示第k階段的生產量，dk表示第k階段的需求量。③sk+1=sk+xk-dk為狀態轉移方程。④vk(sk,xk)為階段指標函數，表示第k階段的總成本，它由第k階段的生產成本ck(xk)和第k階段的儲存費hk(sk)兩個部分組成，最優指標函數為fk(sk)。

考慮k=4，因為要求4階段底存儲量為0，本階段需求量為4個單位，所以本階段產能應為x4=4-s4，由于受限于最大存儲量為3個單位，所以s4取值為0,1,2,3。

(二)模型的建立：該問題可看作混合整數規劃中求解多階段生產規劃，實際上，這就是動態優化問題。多階段生產計劃屬于離散型優化問題，可以把它拆解為遞推關系的很多小問題，動態規劃模型主要針對的就是這類問題。

由題可知，動態規劃的數學模型為：

hk(sk)=0.5sk，所以：vk(sk,xk)=ck(xk)+hk(sk)

基本方程為：

當k=3時，先分析狀態變量s3的變化區間，它與庫存最大量決定s3={0,1,2,3}。再剖析決策變量xk的取值范圍，為滿足本階段需求，產能x3至少為d3-s3=2-s3，如果庫存量s3>2，則u3應取0。為滿足期末存儲量為零，x3應小于等于d3+d4-s3=6-s3，另外x3還受限于存儲量3個單位，即應小于等于d3+3-s3=5-s3，同時還受限于最大產能為6個單位的限制，總之有 max(0,2-s3)≤x3≤min(6,5-s3,6-s3)的整數。

f3(s3)=min[C(x3)+E(s3)+f4(s3+x3-d3)]

我們對s3=0,1,2,3分別求f3(s3)的值。

得第4階段初庫存為0，于是3，4階段費用最小為12(千元),第3階段最優產量為2個單位,根據這就可以類推可得：

當k=2時，有f2(s2)=min[C(x2)+E(s2)+f3(s2+x2-d2)]

max(0,d2-s2)≤x2≤min(6,d2+3-s2,d2+d3+d4-s2)的整數。

上述經過計算的結果如下：

從而可得，總體最小費用為f1(0)=21(千元)，第1階段最符合要求的產能為2個單位。而需求量d1=2，因此第2階段一開始的儲存量為0，當s2=0列可得第2階段最佳產量為5單位，同理，還可得出第3，4階段的最佳產能。

整體的最佳生產計劃為：第1階段產能為2個單位，第2階段產能為5個單位，第3階段不需要生產，第4階段產能為4單位。

四、總結

綜上所述，此類生產儲存問題的方程可以寫為：

式中opt可根據求為max或min，vk(sk,xk)為狀態變量sk、決策變量xk時所對應的第k階段的指數函數。

本文系：河南師范大學2015年大學生創新訓練項目，項目名稱：關于企業生產計劃最優化模型的研究；項目編號：20150209

申培萍(1964-)，女，博士，河南師范大學教授；張夢想(1995-)，男，河南師范大學；張瑩(1996-)，女，河南師范大學。