筒式空氣彈簧機械阻抗近似解析算法研究

李鵬輝，帥長庚（1. 海軍工程大學 振動與噪聲研究所，湖北 武漢 430033；2. 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430033）

筒式空氣彈簧機械阻抗近似解析算法研究

李鵬輝，帥長庚
（1. 海軍工程大學 振動與噪聲研究所，湖北 武漢 430033；2. 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430033）

建立一個理想化的筒式空氣彈簧模型，基于空氣波動理論提出一種通過計算空氣彈簧的空氣聲壓場分布來確定其機械阻抗的近似解析算法。借助有限元軟件進行驗證，結果表明該方法合理可行。討論蓋板質量、初始壓力等因素對空氣彈簧機械阻抗特性的影響，用力傳遞率來評估隔振效果。為深入研究空氣彈簧的機械阻抗特性提供了一種新的思路。

空氣彈簧；空氣波動；機械阻抗；近似解析算法

0　引　言

空氣彈簧作為機械系統減振降噪的關鍵部件，其機械阻抗特性與隔振效果有著緊密的聯系。機械阻抗是描述彈性元件動態特性的重要參數，它反映了彈性元件激勵與響應之間的關系，是彈性元件隔振設計和性能優化的主要指標。機械阻抗參數的獲取主要有實驗測試和解析計算2種方法［1］，對于一般的空氣彈簧模型來說，由于材料的非線性、幾何結構的復雜性使得機械阻抗很難通過解析計算的方法來精確地獲得，更多的是依賴于實驗測試［2-3］。此外，在研究空氣彈簧時一般都是基于氣體狀態方程，近似地認為內部各部位的氣壓均勻變化甚至是相同的［4-6］，忽略由于空氣體積元的擾動所產生的聲壓對機械阻抗特性的影響。

基于以上問題，本文通過建立一個理想化的筒式空氣彈簧模型，用近似解析算法基于線性空氣波動理論求解出空氣彈簧內部聲壓場的分布規律，分析內部聲壓在機械阻抗中所起的作用；討論了相關參數對機械阻抗特性的影響規律。這對于空氣彈簧以及空氣管路系統減振元件的傳遞特性研究具有一定的借鑒意義。

1　數學模型

本文所建立的理想化筒式空氣彈簧模型如圖1 所示。它由上下蓋板、囊壁以及內部空氣組成。在所建模型中，為了便于計算有很多理想化的假設：上蓋板在小振幅諧波激勵下近似當作線性來處理；蓋板在振動過程中不考慮其形狀的變化以及與其他部件可能會發生的共振；忽略蓋板振動過程中與內壁的摩擦；將空氣彈簧的囊壁看成是剛性體。

圖1　理想化的筒式空氣彈簧模型Fig. 1　Idealized cylinder type air-spring mode

1.1聲壓方程的推導

當上蓋板受到諧波激勵時，會對與上蓋板毗鄰的空氣體積元產生一個擾動，對于空氣振動聲場，其聲壓分布用下述聲波方程來描述［7］：

當不存在聲源時偶極子輻射源 q 與單極子輻射源Q 均為 0，為便于計算，引入勢函數Φ，它與聲壓之間的關系為：

由柱諾依曼函數在零點發散的性質可知式中 Bn= 0［8］。當上蓋板做等幅同相振動，即在 z = 0 處時，勢函數是一個與φ、r 無關的表達式。由式（3）可知，要使勢函數表達式與φ無關，則需 n = 0，可得：

空氣彈簧內壁為剛體時，內部氣體單元在壁面處的邊界條件是徑向速度為 0，即

由式（5）得 Jl（krR） = 0，用表示此表達式的根，對應于不同的 m 值，可得到不同的軸向與徑向波數表達式，式（5）可變為：

由式（6）可知，要使勢函數表達式與軸向 r 無關，則需 m = 0，可得：

此時在空氣彈簧內部只有沿管軸方向傳播的均勻平面波，即只有（0，0）次簡正波。由上下蓋板處邊界條件可得式（7）中系數 A和B 的值。綜上可得空氣彈簧內部聲壓表達式為：

1.2機械阻抗與力傳遞率的計算

空氣彈簧模型可以看成是由慣性和彈性元件并聯而成的無阻尼約束的單自由度系統，慣性元件由蓋板質量組成，彈性元件由內部空氣組成。由機械阻抗的定義可知當上蓋板受到諧波激勵時輸入阻抗和傳遞阻抗表達式為［9］：

式中： M 為上蓋板質量；k1和k2分別為在上下蓋板處的動剛度。由聲壓表達式（8）可知，在上蓋板 z = 0和下蓋板 z = H 處由聲壓所產生的動態力分別為：

　　　　　Fp=jejwtρ0c˙V0πR2cosh（kH）/sinh（kH），F′p =jejwtρ0c˙V0πR2/sinh（kH），　　（10）

由式（10）可得此時動剛度 k1和k2表達式為：

k1=ρ0cωcosh（kH）/sinh（kH）πR2，k2=ρ0cωπR2/sinh（kH）。　　（11）　　　　　

由式（9）和式（11）可得此時輸入阻抗與傳遞阻抗的表達式為：

　　　　　Z11=jωm?jρ0cπR2cosh（kH）/sinh（kH），Z12=?jρ0cπR2/sinh（kH）。　　（12）

在評估隔振器隔振效果時力傳遞率是一個常用的指標，它定義為傳遞至基礎的動態力與激勵力的比值［9］。當基礎是剛性體時，力傳遞率可以近似地認為是傳遞阻抗與輸入阻抗的比值。可得力傳遞率的表達式為：

2　仿真驗證

由于模型中上下蓋板以及囊壁均考慮成剛體，上蓋板在振動過程中不會存在內部聲壓場與邊界的耦合問題。采用 ComsolMultiphysics 軟件中的聲學模塊，對體積為 Ω，在邊界處流速為 f 的空氣其聲壓場 p 的計算可歸結為求解如下標準的邊值問題［10］：

式中：f 為與邊界處流速相關的函數，a和b 為在體積上與頻率相關的函數；為在邊界外法線上的單位向量。

空氣彈簧模型相關參數見表1，對于垂向的振動，求出聲壓場分布后對上下蓋板邊界進行積分即可求得內部聲壓對上下蓋板處的動態力。垂向振動計算結束后，選取振動頻率為 100 Hz 時空氣彈簧聲壓場切片，如圖2 所示。由圖可知，沿軸向同一高度其聲壓值大小相等，與表達式（8）所得到的結論相吻合，即此時空氣彈簧內部的聲壓表達式是一個關于高度 z 的函數。

表1　空氣彈簧模型參數Tab. 1　The parameters of air-spring mode

圖2　100 Hz 時空氣彈簧聲壓場Fig. 2　The pressure field of air-spring at 100 Hz

機械阻抗近似解析計算與仿真計算得到的結果對比如圖3 所示。由圖可知，近似解析計算與仿真計算的結果吻合良好，驗證該近似計算方法的正確性。

圖3　機械阻抗計算與仿真對比Fig. 3　The contrast of mechanical impedance between FEM and analytic algorithm

3　分析與討論

由阻抗曲線可看出，輸入阻抗表現出了標準的剛度區、共振區和質量區，區域的劃分主要由蓋板質量、空氣彈簧剛度這2個因素相互制約共同作用。此時空氣彈簧的剛度特性完全由內部空氣來體現，剛度值比較小，固有頻率值比較低，使得剛度區的頻段范圍比較窄。在低頻段空氣彈簧的剛度起主要作用，在共振區兩者平分秋色，隨著頻率的增加，蓋板質量的作用越來越顯著，在高頻段系統的動態特性主要取決于蓋板的質量，系統的振動主要受慣性力的支配，此時會產生明顯的波動現象。在影響空氣彈簧機械阻抗特性的諸多因素中蓋板質量、初始壓力是2個重要的因素，下面分別分析這2個參數對空氣彈簧機械阻抗特性的影響規律。

3.1上蓋板質量的影響

不同蓋板質量的空氣彈簧輸入阻抗如圖4 所示，力傳遞率曲線如圖5 所示。由阻抗表達式可知上蓋板質量對傳遞阻抗沒有影響，影響的是輸入阻抗。影響的區域主要是共振區與質量區。在低頻段（固有頻率值左側）空氣彈簧的輸入阻抗隨著蓋板質量的增加而降低；隨著頻率的升高（固有頻率值右側），空氣彈簧的輸入阻抗隨著蓋板質量的增加而提高，蓋板質量的作用越來越顯著表現為質量區。固有頻率隨著蓋板質量的增加而降低，而在固有頻率點的阻抗值隨著蓋板質量的增加而提高。力傳遞率的值在共振峰處最大，隨著頻率的升高在高頻段會出現共振峰。

3.2初始壓力的影響

初始壓力是分析空氣彈簧機械阻抗特性的一個很重要的參數。一方面它起到承載的作用，另一方面，對于密閉空間中不同壓力的氣體介質其密度、聲速不同，使得波數不同，進而影響空氣彈簧內部的聲壓分布。對理想氣體有絕熱物態方程：

式中：P 為空氣內部壓力；n 為傳熱指數；const 為常數。將聲波過程近似認為是絕熱的，則此時的 n = 1.4，依據波速 c 的定義可線性近似得出下列方程：

由式（15）和（16）可得空氣彈簧不同初始壓力狀態下的聲速比和波數比分別為：

不同初始壓力下的阻抗曲線圖與力傳遞率曲線如圖6～圖7 所示。

圖4　不同蓋板質量時的輸入阻抗Fig. 4　The mechanical impedance at different cover plate mass

圖5　不同蓋板質量時的力傳遞率Fig. 5　The force transmissibility at different cover plate mass

圖6　不同初始壓力時的機械阻抗Fig. 6　The mechanical impedance at different initial pressure

圖7　不同初始壓力時的阻抗曲線Fig. 7　The force transmissibility at different initial pressure

由圖可知，初始壓力對輸入阻抗和傳遞阻抗均有影響，它實質上是影響空氣彈簧的剛度特性。空氣彈簧的固有頻率隨著壓力的增加而變大。對傳遞阻抗，隨著初始壓力的增加阻抗值提高，對輸入阻抗初始壓力影響的主要是剛度區和共振區。在剛度區隨著初始壓力的增加輸入阻抗值提高，在固有頻率點右側附近隨著初始壓力的增加輸入阻抗值降低，隨著頻率的進一步增加初始壓力的影響逐漸減弱，此時的阻抗特性主要由質量特性來體現。

4　結　語

本文提出一種基于空氣波動理論的理想化筒式空氣彈簧的近似解析解算法，通過有限元仿真表明該方法合理可行。通過該方法可以定性定量的分析參數的變化對空氣彈性機械阻抗特性的影響規律。依據該方法通過調整相應的參數就可得到相應的阻抗曲線，為分析結構更復雜的空氣彈簧提供理論依據。對所建模型，文中有很多理想化的假設，而在實際情況中蓋板和囊壁不是絕對的剛性體，這樣會影響空氣彈簧模型內部聲壓的分布，并且還會存在著聲壓場與內壁結構的耦合問題，對這些問題還有待于進一步的深入研究。

［1］王鎖泉， 周慶云， 席亦農， 等. 隔振元件機械阻抗測量與數據處理方法研究［J］. 艦船科學與技術， 2006， 28（S2）： 107-111. WANG Suo-quan， ZHOU Qing-yun， XI Yi-nong， et al. Study on the measurement technique and data processing on mechanical impedance of vibration isolator elements［J］. Ship Science and Technology， 2006， 28（S2）： 107-111.

［2］孫健， 朱石堅， 呂志強. 隔振器機械阻抗特性研究［J］. 船海工程， 2003（4）： 25-29. SUN Jian， ZHU Shi-jian， LV Zhi-qiang. A study on the mechanical impedance characteristics of vibration isolator［J］. Ship and Ocean Engineering， 2003（4）： 25-29.

［3］王漢剛， 帥長庚， 郭偉， 等. 氣囊隔振器垂向阻抗及其傳遞特性研究［J］. 噪聲與振動控制， 2010， 30（6）： 192-194. WANG Han-gang， SHUAI Chang-geng， GUO Wei， et al. Study on impedance and transfer characteristics of air-spring with rubber bellow［J］. Noise and Vibration Control， 2010，30（6）： 192-194.

［4］樓京俊， 朱石堅. 單囊式空氣彈簧參數計算［J］. 海軍工程大學學報， 2001， 13（2）： 64-66. LOU Jing-jun， ZHU Shi-jian. Single-bagged air spring’s parameter calculation［J］. Journal of Naval University of Engineering， 2001， 13（2）： 64-66.

［5］莫榮利， 謝建藩， 楊軍. 空氣彈簧隔振性能及試驗研究［J］. 噪聲與振動控制， 2005， 12（6）： 41-43. MO Rong-li， XIE Jian-fan， YANG Jun. Study of the characteristics and testing research of air springs for isolating vibration［J］. Noise and Vibration Control， 2005， 12（6）： 41-43.

［6］黃映云， 吳善越， 朱石堅. 囊式空氣彈簧隔振器的特性計算研究［J］. 振動工程學報， 2004， 17（2）： 249-252. HUANG Ying-yun， WU Shan-yue， ZHU Shi-jian. The characteristics calculation of pneumatic vibration isolator［J］. Journal of Vibration Engineering， 2004， 17（2）： 249-252.

［7］杜功煥， 朱哲民， 龔秀芬. 聲學基礎［M］. 南京： 南京大學出版社， 2001.

［8］何祚鏞， 趙玉芳. 聲學理論基礎［M］. 北京： 國防工業出版社，1981.

［9］左鶴聲， 機械阻抗方法與應用［M］. 機械工業出版社， 1987.

［10］ZIMMERMAN W B J. Comsol Multiphysics有限元法多物理場建模與分析［M］. 中仿科技公司， 譯. 北京： 人民交通出版社， 2007.

［11］朱石堅， 何琳. 船舶機械振動控制［M］. 北京： 國防工業出版社， 2006.

［1］LI Run-pei， XIE Yong-he， SHU Zhi. A review on the technical development of deep water offshore platform［J］. China Offshore Platform， 2003， 18（3）： 1-5.

［2］楊雄文， 樊洪海. TLP 平臺結構型式及其總體性能分析［J］.石油機械， 2008， 36（5）： 70-73. YANG Xiong-wen， FAN Hong-hai. Analysis of TLP structure and its overall performance［J］. China Petroleum Machinery，2008， 36（5）： 70-73.

［3］張智， 董艷秋， 唐友剛， 等. 1990 年后世界 TLP 平臺的發展狀況［J］. 中國海洋平臺， 2004， 19（2）： 5-11. ZHANG Zhi， DONG Yan-qiu， TANG You-gang， et al. The development of TLP after 1990［J］. China Offshore Platform，2004， 19（2）： 5-11.

［4］陳新權. 深海半潛式平臺初步設計中的若干關鍵問題研究［D］. 上海： 上海交通大學， 2007.

［5］崔磊， 何勇， 徐伽南， 等. 張力腿平臺關鍵部位疲勞可靠性分析［J］. 海洋工程， 2013， 31（1）： 16-25. CUI Lei， HE Yong， XU Jia-nan， et al. Fatigue reliability analyses on key parts of tension leg platform［J］. The Ocean Engineering， 2013， 31（1）： 16-25.

［6］陳團海， 陳國明. 冰區平臺疲勞可靠性與參數敏感性分析［J］.船海工程， 2009， 38（5）： 129-133. CHEN Tuan-hai， CHEN Guo-ming. Analysis on reliability and parameters sensitivity of fatigue of offshore platform in ice region［J］. Ship & Ocean Engineering， 2009， 38（5）： 129-133.

Research on the approximate analytic algorithm for mechanical impedance of cylinder type air-spring

LI Peng-hui， SHUAI Chang-geng
（1. Institute of Noise and Vibration， Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China；2. National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise， Wuhan 430033， China）

An idealized cylinder type air-spring mode was created. Based on air wave theory， an approximate analytic algorithm for mechanical impedance of air spring was presented with calculation of air pressure. Finite element method was used to verify the result and it showed that the proposed method is feasible. The effect of the cover plate and the initial pressure to the air spring's mechanical impedance characteristics was done and the performance of isolation was assessed by the force transmissibility. The method provides a new idea for future study on the mechanical impedance characteristics of air spring.

air spring；air wave；mechanical impedance；approximate analytic algorithm

O38；O241

A

1672-7619（2016）05-0044-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.05.010

2015-09-06；

2015-10-08

教育部“新世紀優秀人才支持計劃”資助項目

李鵬輝（1992-），男，碩士研究生，研究方向為振動與噪聲控制。