易腐商品需求同時依賴庫存量與延期支付期限的庫存策略及模型

崔 玲 ，彭 凱 ，胡勁松，Vladimir V.Mazalov

（青島大學1a.經濟學院；1b.管理科學與工程系，山東 青島 266071；2.山東科瑞石油裝備有限公司，山東 東營 257067；3.俄羅斯科學院 卡列里科學中心 應用數學研究所）

傳統庫存模型研究了“一手交錢一手交貨”的市場交易規則下最優批量訂購問題。隨著經濟的發展，市場競爭日趨激烈，許多供應商提供延期支付策略以提高自身競爭力，零售商也提供延期支付策略以刺激市場需求，即大部分市場交易不再遵循“一手交錢一手交貨”的市場交易規則。Goyal［1］首次提出了允許延期支付的EOQ 模型，研究了供應商為零售商提供延期支付策略的單級延期支付下零售商最優庫存策略問題。隨后，眾多學者進行了拓展研究。文獻［2］中將Goyal的模型擴展到易腐商品的情形，文獻［3］中研究了部分延期支付的批量訂購策略問題。考慮到供應商為零售商提供延期支付策略的同時，零售商也為消費者提供延期支付策略，文獻［4-5］中研究了兩級延期支付下庫存策略問題。

上述文獻均假設市場需求為常數或僅依賴于銷售價格。但現實中，市場需求受到多種因素的影響，如服務、廣告等。考慮到延期支付可以刺激需求，文獻［6-7］中研究了市場需求依賴延期支付期限的兩級延期支付庫存策略問題。觀察到展銷商品大量堆積更容易吸引消費者的注意，從而創造更多的市場需求，文獻［8-9］中研究了需求依賴零售商庫存量的兩級延期支付批量訂購問題。

針對延期支付問題，國內學者也展開了大量研究。周永務［10］揭示了延期支付對庫存系統最優訂貨策略的影響。潘義前等［11］考慮了易變質商品的延期支付庫存模型。文獻［12-13］中研究了延期支付下供應鏈庫存協調問題。然而，目前絕大部分國內文獻尚未考慮庫存量以及延期支付期限對商品需求的影響。

與現有文獻不同，本文研究了更一般的延期支付庫存策略問題：①市場需求同時依賴于零售商延期支付策略以及庫存量；②考慮了商品的易腐特性；③研究了供應商與零售商同時提供延期支付策略的兩級延期支付策略問題；④放寬了兩級延期支付庫存模型中供應商允許的延期支付期限要長于零售商允許的延期支付期限的假設條件。本研究更加貼近現實，可以為零售商企業訂購決策以及營銷決策提供理論參考。例如超市等零售企業，可以參考本研究內容，選擇展銷商品以發揮展銷柜臺的更大作用。

1 模型建立

1.1 符號說明

k—訂購一次的固定費用

c—商品單位進價

s—商品單位售價

h—商品單位持有成本（不包括利息支付）

θ— 商品變質率，0＜θ＜1

Ie—零售商單位貨幣單位時間利息收益

Ip—零售商單位貨幣單位時間利息支付

M—供應商為零售商提供的延期支付期限

N—零售商為顧客提供的延期支付期限

T—訂貨周期（決策變量）

Q—每次訂貨量

AR—零售商平均利潤

I（t）— 零售商t時刻庫存量，0＜t＜T

1.2 模型假設

（1）零售商以價格c從供應商處訂貨，并以價格s銷售給顧客。

（2）不允許缺貨。

（3）補貨瞬時完成，不考慮提前期。

（4）零售商收到訂購貨物的同時，商品開始變質，變質率為常數θ。

（5）供應商允許零售商期限為M的延期支付，零售商允許顧客期限為N的延期支付。

（6）零售商在時刻t=M時將訂貨貨款支付給供應商；在時刻t=M之前，零售商積累銷售收入獲得利息收益；在時刻t=M之后，零售商對于尚未銷售的商品量及已經銷售但尚未獲得消費者支付的商品量支付利息成本。

（7）顧客商品需求量同時依賴于零售商商品庫存量與延期支付期限

式中，D0，α，β＞0為常數。

1.3 模型刻畫

由上述假設可知，零售商庫存變化量滿足如下微分方程：

對式（2）求解，易得

式中，η=θ+αNβ。

由Q=I（0），可得

零售商單周期利潤由以下組成：

（1）固定費用C0=k。

（2）商品訂購成本

（3）商品持有成本

（4）銷售收入

（5）利息支付與利息收益。

根據參數T、M、N的不同值，分為3 種情形討論：

（1）0≤T+N≤M。零售商在時刻t=M時將訂貨貨款支付給供應商，此時商品已全部售出且銷售收入已全部收回，從而零售商無利息支付，僅積累銷售收入獲得利息收益。

利息支付IP1=0。利息收益

（2）N≤M≤T+N。零售商在時刻t=M時將訂貨貨款支付給供應商，而零售商于時刻t=N時開始獲得消費者支付，并于時刻t=T+N時結束。在時間段［M，T+N］，零售商對于尚未銷售以及已經銷售但尚未獲得消費者支付的商品支付利息成本；在時間段［N，M］，零售商積累銷售收入獲得利息收益。

利息支付與利息收益分別為：

（3）M≤N。零售商在時刻t=M時將訂貨貨款支付給供應商，此刻零售商尚未獲得消費者支付，因而零售商無法積累銷售收入獲得利息收益，但須為全部商品支付利息成本。

利息支付

利息收益IE3=0。

綜上所述，零售商平均利潤為

由此，需求同時依賴庫存量與延期支付期限的EOQ 模型數學刻畫，即

式中，AR i，i=1，2，3由式（5）給定。

2 模型求解

為獲得模型式（6）的最優解，首先對AR i，i=1，2，3分別進行討論。

2.1 AR1（0＜T+N≤M）的最優解

將C0、Cp、Ch、R、IP1、IE1代入式（5），化簡可得

其中：

AR1對T求導，可得

構造輔助函數

則有

引理1

（1）E1≤0且f1（M-N）≤0，或E1≥0且T#1＜0；或E1≥0，0 ≤T#1≤M-N且f1（T#1）≤0；或E1≥0，T#1＞M-N且f1（MN）≤0時，T*=M-N。

（2）E1≤0且f1（M-N）＞0時，T*=T11。

（3）E1≥0，0≤T#1≤M-N，f1（T#1）＞0且f1（M-N）≥0時，T*=T12。

（4）E1≥0，0≤T#1≤M-N，f1（T#1）＞0且f1（M-N）＜0時，

（5）E1≥0，T#1＞M-N且f1（M-N）＞0時，T*=T15。

其中，

證明詳見附錄。

由引理1易得0＜T+N≤M時的最優定貨周期，記為。

2.2 AR2（N＜M≤T+N）的最優解

將C0、Cp、Ch、R、IP2、IE2代入式（5），化簡可得

其中：

AR2對T求導，得

構造輔助函數

引理2

且f2（T）|T→+∞≥0；或

且f2（T）|T→+∞≥0時，T*=M-N。

且f2（M-N）＜0；或

且f2（T#2）≤0時，T*=+∞。

且f2（T）|T→+∞＜0時，

其中：

證明詳見附錄。

由引理2易得N＜M≤T+N時的最優訂貨周期，記為。

2.3 AR3（M≤N）的最優解

將C0、Cp、Ch、R、IP3、IE3代入式（5），化簡可得

AR3對T求導，得

構造輔助函數

引理3

（1）E2≤0且f3（T）|T→+∞≤0，或E2≥0且T#3≤0；或E2≥0，T#3＞0且f3（T#3）≤0時，T*=+∞。

（2）E2≤0且f3（T）|T→+∞＞0時，T*=T31。

（3）E2≥0，T#3＞0，f3（T#3）＞0且f3（T）|T→+∞≥0時，T*=T32。

（4）E2≥0，T#3＞0，f3（T#3）＞0且f3（T）|T→+∞＜0時，

其中：

證明詳見附錄。

由引理3易得M≤N時的最優訂貨周期，記為。

綜上所述，由引理1～3易得如下定理。

定理需求同時依賴庫存量與延期支付期限的EOQ 的最優訂貨周期。

（1）M≥N時，

（2）M≤N時，T*=。

3 算例分析

本節基本參數取值：D0=200，α=0.3，β=0.5，θ=0.1，k=50，h=5，c=10，Ie=0.13，I p=0.15，M=5，N=3，s=20。

表1 給 出 了 參 數α、β、θ、k、M、N、Ie的 靈 敏 度分析。由表可見：

（1）α增加，T*、Q*、AR*均增加。這表明，消費者需求更敏感于零售商庫存量時，零售商將增加訂購量以刺激需求，并且此時零售商利潤增加。

（2）β增加，T*、Q*、AR*均增加。這是因為零售商提供的延期支付期限相同時，消費者需求越依賴于延期支付期限，商品需求量越大，零售商將訂購更多產品以滿足市場需求，增加利潤。

（3）θ升高，T*、Q*、AR*均降低。這表明，變質率升高時，零售商將減少訂購量以降低損失，但利潤降低。

（4）k升高，T*、Q*增加，AR*降低。這意味著固定費用升高時，零售商增加訂購量、延長訂貨周期以減少訂貨次數。

（5）M增 加，T*、Q*、AR*均 增 加。這 表 明，供應商延長延期支付期限將刺激零售商訂購量，并降低零售商的利息成本，從而導致零售商利潤增加。

（6）N增加，T*、Q*、AR*均先升后降。這是因為零售商延長消費者延期支付期限，刺激了消費者需求，增加了零售商收益，但同時增加零售商的利息支付成本，最終表現為利潤先增后降。

（7）Ie增加，T*、Q*、AR*均增加。這意味著零售商單位利息收益增加時，零售商增加訂購量，刺激消費者需求，提高銷售收入，從而積累銷售收入獲得更高收益，并且最終獲得更高利潤。

表1 參數α、β、θ、k、M、N、Ie 靈敏度分析

4 結語

本文構建了需求同時依賴于庫存量與延期支付期限的經濟訂購批量模型，考慮了商品的易腐性，給出了零售商利潤最大化模型，分析了零售商利潤函數的函數性質，并得出最優性條件。利用數值算例，對關鍵參數進行了靈敏度分析。本文主要貢獻：①觀察到展銷商品的堆積可以創造市場需求，考慮到延期支付也可以刺激市場需求，構造了顧客商品需求量同時依賴于零售商商品庫存量以及零售商允許的延期支付期限的顧客商品需求函數；②根據零售商訂貨周期、供應商允許的延期支付期限、零售商允許的延期支付期限三者的大小關系，分3種情況，建立了零售商平均利潤函數，給出了需求同時依賴于庫存量與延期支付期限的經濟訂購批量模型；③對經濟訂購批量模型進行了求解，給出零售商最優訂購周期的解析解。

附錄

引理1 略

證明

（1）E1≤0，易知f1（T）在區間［0，M-N］單調遞增。又f1（0）=-k＜0，則

①當f1（M-N）＞0時，由中值定理知，存在T11∈（0，M-N），使得f1（T11）=0，且AR1在區間［0，T11］單調遞增，在區間［T11，M-N］單調遞減。從而T*=T11。

②當f1（M-N）≤0時，此時在區間［0，M-N］上，f1（T）＜0，即AR1在區間［0，M-N］單調遞增，從而T*=M-N。

（2）F1≥0，令。

①當T#1＜0時，f1（T）在區間［0，M-N］單調遞減，從而f1（T）＜0，?T∈［0，M-N］，即AR1在區間［0，M-N］單調遞增，從而T*=M-N。

②當0≤T#1≤M-N時，f1（T）在區間［0，T#1］單調遞增，在區間［T#1，M-N］單調遞減。

（a）當f1（T#1）＞0且f1（M-N）≥0時，由中值定理知，存在T12∈（0，T#1），使得f1（T12）=0，且AR1在區間［0，T12］單調遞增，在區間［T12，M-N］單調遞減，從而T*=T12。

（b）當f1（T#1）＞0且f1（M-N）＜0時，由中值定理知，存在T13∈（0，T#1），使得f1（T13）=0；存在T14∈（T#1，M-N），使得f1（T14）=0，且AR1在區間［0，T13］單調遞增，在區間［T13，T14］單調遞減，在區間［T14，M-N］單調遞增，從而T*=｛T*|T*∈｛T13，M-N｝，AR1（T*）=max｛AR1（T13），AR1（M-N）｝｝。

（c）當f1（T#1）≤0時，f1（T）≤0，?T∈［0，M-N］，即AR1在區間［0，M-N］單調遞增，從而T*=M-N。

③當T#1＞M-N時，f1（T）在區間［0，M-N］單調遞增。

（a）當f1（M-N）＞0時，由中值定理知，存在T15∈（0，M-N），使得f1（T15）=0，且AR1在區間［0，T15］單調遞增，在區間［T15，M-N］單調遞減，從而T*=T15。

（b）當f1（M-N）≤0時，f1（T）≤0，?T∈［0，M-N］，即AR1在區間［0，M-N］單調遞增，從而T*=M-N。

證畢

引理2略

證明

①當f2（M-N）≥0時，顯然，f2（T）≥f2（M-N）≥0，?T∈［M-N，+∞），即AR2在區間［M-N，+∞）單調遞減，從而T*=M-N。

②當f2（M-N）＜0且f2（T）|T→+∞＞0時，由中值定理知，存在T21∈［M-N，+∞），使得f2（T21）=0，且AR2在區間［M-N，T21］單調遞增，在區間［T21，+∞）單調遞減，從而T*=T21。

③當f2（M-N）＜0且f2（T）|T→+∞≤0時，顯然，f2（T）＜0，?T∈［M-N，+∞），即AR2在區間［M-N，+∞）單調遞增，從而T*=+∞。

①當T#2≤M-N時，f2（T）在區間［M-N，+∞）單調遞減。

（a）當f2（M-N）≥0且f2（T）|T→+∞≥0時，顯然，f2（T）＞0，?T∈［M-N，+∞），即AR2在區間［M-N，+∞）單調遞減，從而T*=M-N。

（b）當f2（M-N）≥0且f2（T）|T→+∞＜0時，由中值定理知，存在T22∈［M-N，+∞），使得f2（T22）=0，且AR2在區間［M-N，T21］單調遞減，在區間［T21，+∞）單調遞增，從而

（c）當f2（M-N）＜0時，顯然，f2（T）≤f2（M-N）≤0，?T∈［M-N，+∞），即AR2在區間［M-N，+∞）單調遞增，從而T*=+∞。

②當T#2≥M-N時，f2（T）在區間［M-N，T#2］單調遞增，f2（T）在區間［T#2，+∞）單調遞減。

（a）當f2（T#2）＞0，f2（M-N）≥0且f2（T）|T→+∞≥0時，顯然，f2（T）＞0，?T∈［M-N，+∞），即AR2在區間［M-N，+∞）單調遞減，從而T*=M-N。

（b）當f2（T#2）＞0，f2（M-N）≥0且f2（T）|T→+∞＜0時，由中值定理知，存在T23∈［T#2，+∞），使得f2（T23）=0，且AR2在區間［M-N，T23］單調遞減，在區間［T23，+∞）單調遞增。從而

（c）當f2（T#2）＞0，f2（M-N）＜0且f2（T）|T→+∞≥0時，由中值定理知，存在T24∈（M-N，T#2），使得f2（T24）=0，且AR2在區間［M-N，T24］單調遞增，在區間［T24，+∞）單調遞減，從而T*=T24。

（d）當f2（T#2）＞0，f2（M-N）＜0且f2（T）|T→+∞＜0時，由中值定理知，存在T25∈（M-N，T#2），使得f2（T25）=0；存在T26∈（T#2，+∞），使得f2（T26）=0，且AR2在區間［M-N，T25］單調遞增，在區間［T25，T26］單調遞減，在區間［T26，+∞）單調遞增，從而T*=｛T*|T*∈｛T25，+∞｝，AR2（T*）=max｛AR2（T25），AR2（+∞）｝｝。

（e）當f2（T#2）≤0時，顯然，f2（T）≤0，?T∈［M-N，+∞），即AR2在區間［M-N，+∞）單調遞增。從而T*=+∞。

證畢

引理3略

證明

（1）當E2≤0時，顯然，f3（T）單調遞增，且f3（0）=-k＜0。

①當f3（T）|T→+∞＞0時，由中值定理知，存在T31∈（0，+∞），使得f3（T31）=0，且AR3在區間（0，T31］單調遞增，在區間［T31，+∞）單調遞減，從而易得T*=T31。

②當f3（T）|T→+∞≤0時，f3（T）≤0，?T∈［0，+∞），即AR3在區間［0，+∞）單調遞增，從而T*=+∞。

（2）當E2≥0時，令。

①當T#3≤0時，f3（T）在區間［0，+∞）單調遞減，則f3（T）≤f3（0）＜0，?T∈［0，+∞），即AR3在區間［0，+∞）單調遞增，易得T*=+∞。

②當T#3＞0時，f3（T）在區間［0，T#3］單調遞增，在區間［T#3，+∞）單調遞減。

（a）當f3（T#3）＞0且f3（T）|T→+∞≥0時，由中值定理知，存在T32∈（0，T#3），使得f3（T32）=0，且AR3在區間［0，T32］單調遞增，在區間［T32，+∞）單調遞減，從而T*=T32。

（b）當f3（T#3）＞0且f3（T）|T→+∞＜0時，由中值定理知，存在T33∈（0，T#3），使得f3（T33）=0；存在T34∈（T#2，+∞），使得f3（T34）=0，且AR3在區間［0，T33］單調遞增，在區間［T33，T34］單調遞減，在區間［T34，+∞）單調遞增，從而

（c）當f3（T#3）≤0時，f3（T）≤f3（T#2）≤0，?T∈［0，+∞），即AR3在區間［0，+∞）遞增，易得T*=+∞。

證畢