自旋-1/2算符對易關系和中心庫侖場定態粒子概率密度的討論

林　炯，陳　軍，高偉康

（華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東　廣州　510006）

自旋-1/2算符對易關系和中心庫侖場定態粒子概率密度的討論

林炯，陳軍，高偉康

（華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東廣州510006）

從Stern-Gerlach實驗及其兩個拓廣實驗出發，結合量子力學假設，給出了自旋-1/2算符對易關系的一種導出方法。每個方向的自旋本征態均構成Hilbert空間完備基，可用完全性關系將x、y、z三個方向自旋-1/2算符用相應本征態表示出來。接著通過兩個拓廣實驗可初步確定x、y方向自旋本征態與z方向自旋本征態的關系。進一步各算符可表示成只含有z方向自旋本征態。通過Hilbert空間態矢間的運算法則，最終可得到三個方向間自旋-1/2算符對易關系。另外一個問題，對于中心庫侖場含時定態波函數對應的概率密度出現空間不對稱情況，通過對比庫侖場經典解，發現經典系統粒子初速度已經破壞了系統空間對稱性。對應到量子系統，發現初態概率密度空間不對稱是其原因。

自旋-1/2；對易關系；中心庫侖場；概率密度；空間不對稱

0　引言

討論自旋-1/2時，一般將對易關系和實驗結果作為出發點［4］。實驗與對易關系的聯系很少被討論。從實驗出發，結合量子力學假設，可給出自旋-1/2算符對易關系。另一方面，對于中心庫侖場定態波函數對應概率密度出現空間不對稱，給出一種解釋。

1　自旋-1　/2　算符對易關系一種導出方法

1.1量子力學測量理論

1.2自旋-1/2算符對易關系的導出

1.2.1Stern-Gerlach實驗［4］

從K極射出的s態氫原子進入不均勻磁場，在照片上出現兩條強度相等的分立線。s態氫原子角量子數為0不可能引起線分立。為解釋此類現象，引入自旋角動量。

1.2.2對易關系的導出

δ1是任意相因子。對于，考慮到與應正交，則：

δ2為任意相因子。

由（1）式，x、y方向自旋-1/2算符：

（4）由（2）（9）式，可得自旋-1/2算符對易關系：

2　中心庫侖場定態波函數解對應概率密度的空間不對稱問題

2.1中心庫侖場含時定態波函數解

單粒子處于中心庫侖場（場源電荷量）相應定態Schr?dinger方程為：

則含時定態波函數為：

2.2定態概率密度角分布現象

t時刻定態粒子概率密度即時刻t測量到粒子出現在某空間點單位體積內的概率為。可以證明，當粒子角量子數l≥1，，即定態粒子概率密度

出現角分布現象。

2.3空間對稱性

若對系統進行X操作，系統狀態不變，則系統在X操作下具有對稱性。中心庫侖場對繞過原點任意軸旋轉操作保持不變，則具有球對稱性，數學上由SO3群描述。

2.4概率密度角分布解釋

若系統是空間對稱的，粒子出現的可能概率應空間對稱，不出現角分布。因此系統必存在不對稱條件。

考慮中心庫侖場的經典力學解。由比耐軌道微分方程［5］：

其中e為常數。由（12）式可得軌道離心率為：

自旋角動量，結果有：e＜0，軌道為橢圓；當E=0時，e=0，軌道為拋物線。

經典力學解的軌道對稱性沒有達到SO3。出現對稱性最高的為圓周運動，軸對稱可由SO2群描述。尋找經典力學系統的不對稱性是比較直觀的。一旦體系粒子初速度被事先確定下來，空間對稱性便被破壞了。

3　結束語

結合Stern-Gerlach實驗及其拓廣實驗和量子力學假設導出自旋-1/2對易關系。但過程中引入的兩個相因子選取還有待進一步討論。在討論量子力學問題時，與經典力學相比照是一種常用方法。對于中心庫侖場含時定態波函數對應概率密度出現空間不對稱，通過對比經典解指出初態空間不對稱是其原因。當然本問題還可以有其他分析方法。

［1］ 董向成，郭中華.電子自旋概念及其實驗驗證［J］.甘肅科技縱橫，2008（02）：37+21.

［2］ 張亞新.關于電子自旋的實驗驗證和理論思考［J］.大學物理實驗，1996（02）：9-10+14.

［3］ J.J Sakurai and Jim Napolitano.MODERN QUANTUM MECHANICS［M］.2nd，Beijing：BEIJING WORLD PUBLISHING CORPORATION.2011.

［4］ 周世勛.量子力學教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2009：172-174.

［5］ 周衍柏.理論力學教程（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2009：50-51.

［6］ 李遠德.電子在庫侖場中的運動［J］.重慶交通學院學報，1987（02）：135-138.

O413

A

10.3969/j.issn.1672-6375.2016.07.029

2016-4-8

林炯（1993-），男，漢族，廣東汕頭人，大學本科在讀，主要的研究方向：物理學。