源于課本 高于課本

薛秋萍

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源于課本 高于課本

薛秋萍

課本中有些例題屬于雙基性例題，它主要是起鞏固基本概念或公式，形成基本技能的作用.它形式簡單，內容單一，但適當變式、延展，也會起到整合知識、歸納方法、培養技能、發展思維的作用.下面以“整式乘法與因式分解”中的兩道例題為例，說明不少試題都“源于課本”，可以在課本中找到原型，但同時又“高于課本”.

原題1（蘇科版教材七下第78頁例題5第（1）題）

計算：（x-3）（x+3）（x2+9）.

【說明】這是一道計算題，兩次運用平方差公式.

變式1計算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）（x8+1）.

【說明】本題把上題的“3”變成“1”主要為了便于表達計算結果，再增加幾個因式.經觀察，發現規律，由（x-1）（x+1）得（x2-1），再由（x2-1）（x2+1）得x4-1，…根據最后一個因式（x8+1）得結果為x16-1.

變式2計算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）…（x2n+1）.

【解析】把最后一個因式中x的指數由具體的數字改為字母，由變式1得結果是（x2n-1）（x2n+1）=x4n-1，滲透了特殊到一般的數學思想.

變式3試求：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的個位數字.

【說明】本題中把變式2中的字母x換成數字2，并且還不能直接應用平方差公式，需添加第一個因式（2-1），這樣才能使用平方差公式計算其結果，最后研究結果的個位數字.

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…

∴2的整數次冪的個位數字每4個數字為一個循環組依次循環.

∵64=16×4，

∴264的個位數字與24的個位數字相同.

∴原式的個位數字為6.

原題2（蘇科版教材七下第85頁例題5第（1）題）

把下列各式因式分解：x2+10x+25.

【說明】這是一道利用完全平方公式進行因式分解的例題，目的是熟悉關于因式分解的完全平方公式特點，并能熟練運用完全平方公式進行因式分解.

解：x2+10x+25=（x+5）2.

變式1把x2+y2+10x-4y+29寫成兩個完全平方式的和形式.

【說明】本題要進行適當分組，同時要把常數29拆成25與4的和.

【延展1】如果x2+y2+10x-4y+29=0，求x 和y的值.

【說明】本題根據完全平方式的非負性質，列方程求解.

【延展2】已知正整數a，b，c滿足等式a2+ b2+c2+49=4a+6b+12c，試判斷三條長分別為a，b，c的線段能否圍成一個三角形.若能，請判斷該三角形的形狀；若不能，請說明理由.

【說明】本題是一個綜合題，首先要利用等式性質，把等式左邊配成三個完全平方式，再利用平方式的非負性和三角形的三邊關系，得出結論.

解：∵a2+b2+c2+49=4a+6b+12c，

∴（a2-4a+4）+（b2-6b+9）+（c2-12c+36）=0.

∴（a-2）2+（b-3）2+（c-6）2=0.

∴a-2=0，b-3=0，c-6=0.

即：a=2，b=3，c=6.

∵2+3＜6，

∴三條長分別為a，b，c的線段不能圍成一個三角形.

變式2“a2≥0”這個結論在數學中非常有用，有時我們需要將代數式配成完全平方式.

例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，

∵（x+2）2≥0，

∴（x+2）2+1≥1，

∴x2+4x+5≥1.

試比較代數式：x2-1與2x-3的大小.

【說明】比較兩個代數式值的大小，通常用做差法，即先求出兩個代數式的差，再對其配方，最后判斷正負性.

課本上的例題是我們學習的基礎.同學們應多加重視，根據基本知識點，觸類旁通，一題多變，做到學一題通一類，即使是最基礎的計算題，我們也能使它生成新的題型，達到發展思維、培養能力的作用.

（作者單位：江蘇省太倉市第二中學）