“結伴而行”：一類平行四邊形折疊考題

朱海峰

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“結伴而行”：一類平行四邊形折疊考題

朱海峰

平行四邊形與折疊相結合一直是熱點考題，檢索2015年江蘇省13市中考數學卷就不少于5道類似的考題，下面我們選取兩例解答題，破解思路，展示解法，并反思回顧.

例1（2015·連云港）如圖1，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E.

圖1

（1）求證：∠EDB=∠EBD；

（2）判斷AF與DB是否平行，并說明理由.

【思路講解】（1）由折疊可得∠CDB= ∠EDB，再由四邊形ABCD是平行四邊形可得DC∥AB，從而得到∠CDB=∠EBD，問題得證.

（2）先證明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根據三角形內角和定理與等式性質可證明∠BDE=∠AFE，從而得出AF∥BD.

【規范解答】（1）證明：由折疊可知：

∠CDB=∠EDB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，

∴∠EDB=∠EBD.

（2）AF∥DB.理由如下：

∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE.

由折疊可知：DC=DF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC=AB，∴DF=AB，

∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA.

在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB= 180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°.

同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF= 180°.

∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA.

∴AF∥DB.

【反思回顧】這道考題涉及翻折變換（折疊問題）、平行四邊形的性質、平行的判定和性質、三角形內角和定理、等腰三角形的判定和性質.這里值得強調的是，在這類問題的解答上有一個規范，即需要先回復“平行”，然后再給出“理由如下”，答題時需要注意，這是一個踩分點.

例2（2015·揚州）如圖2，將?ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕交CD邊于點E，連接BE.

（1）求證：四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）若BE平分∠ABC，求證：AB2=AE2+ BE2.

圖2

【思路講解】

（1）要證四邊形BCED′是平行四邊形，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定.一方面，由四邊形ABCD是平行四邊形可有EC∥D′B；另一方面，由折疊對稱的性質、平行線的內錯角相等性質、等腰三角形的等角對等邊的性質可得EC= D′B，從而得證.

（2）要證AB2=AE2+BE2，根據勾股定理，只要△ABE的∠AEB=90°即可，而要證∠AEB=90°，由BE平分∠ABC可得∠4=∠5（如圖3），由ED′∥CB可得∠4=∠6，從而得到∠5=∠6，結合（1）∠2=∠3即可根據三角形內角和定理得到∠AEB=90°，進而得證.

【規范解答】

證明：（1）如圖3，

圖3

∵將?ABCD沿過點A的直線AE折疊，

∴DE=D′E，∠1=∠2.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴D′E=AD′，∴DE=AD′.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC=AB，∴EC=D′B，∴EC∥D′B，

∴四邊形BCED′是平行四邊形.

（2）如圖3，

∵BE平分∠ABC，∴∠4=∠5.

∵四邊形BCED′是平行四邊形，

∴ED′∥CB，∴∠4=∠6，∴∠5=∠6.

由（1）∠2=∠3，∴∠2+∠6=∠3+∠5= 90°，即∠AEB=90°，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2= AE2+BE2.

【反思回顧】這道幾何題有效考查了平行四邊形的性質、判定，第（2）問綜合了軸對稱、勾股定理等知識，由于試題難度所限，考查到運用勾股定理為止，作為必要的“成果擴大”，我們還可提出如下問題供同學們繼續思考：

（3）請指出四邊形BCED′的形狀，并說明理由；

（4）求證：在△ABE中，AB邊上的中線等于邊AB的一半.

（作者單位：江蘇省如東縣實驗中學）