“圓”來如此簡單
——2015年江蘇無錫中考卷第26題思路解析

邵艷

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“圓”來如此簡單
——2015年江蘇無錫中考卷第26題思路解析

邵艷

研習2015年全國各地中考數學卷，常常為有些試題的精巧構思、苦心經營而感動.比如2015年江蘇無錫卷第26題沒有圖形，但是求解時卻對幾何圖形中的線段、線段中點、角平分線、平行四邊形（包括菱形）、圓、直角三角形、軸對稱等知識全面覆蓋，是一道不可多得的好題，下面為同學們講解該題，希望同學們有所收獲.

（2015·無錫，10分）已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.

（1）是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.

【思路講解】

（1）由B、C坐標特征知道B、C兩點均在直線y=2上；問題又明確指出∠OPA= 90°，則可以確認點P應該在以OA為直徑的圓上.如圖1，以OA為直徑的圓（圓心為點M）交直線y=2于點P、P′（想一想，為什么會有兩個交點？因為⊙M的半徑為2.5，而直線y=2到x軸的距離為2），選取其中一個交點P研究，連接PM，作PH⊥OM于H點，在Rt△PHM中，由勾股定理可得HM=1.5，所以P（1，2），點P、P′關于直線x=2.5對稱，根據對稱性得P′（4，2）.

圖1

接著來分析邊BC的運動范圍，如圖2，設線段BC在直線y=2上從左側平移而來，當端點B接觸到點P時，此時點P有可能出現在邊BC上，此時點B對應的橫坐標m=1；

隨著BC不斷右移，當點C到達P′時，點P′還可能出現在邊BC上，此時點C對應的橫坐標m-5=4，即m=9.

離開P′時，點P、P′就都不可能出現在邊BC上了.就是說當1≤m≤9時，邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°.

（2）首先解讀強化條件“當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上”，這說明OQ⊥AQ（理由是兩直線平行，同旁內角的平分線互相垂直）.也就是說上一問中的點P、P′就可能是第（2）問中的Q點.于是構造圖3分析：

圖圖22

圖3

當點Q落在點P（1，2）上時，此時容易得出Q為BC中點，于是點B坐標為（3.5，2），即m=3.5；

如圖4，當點Q′落在點P′（4，2）上時，同樣可求出點B坐標為（6.5，2），即m=6.5.

綜上，m=3.5或6.5.

圖4

【點評】一般情況下，存在性問題如果涉及90°的角時，常常要和直角三角形的外接圓聯系到一起.這是由于在圓的學習中，有多個概念或定理涉及90°.比如：圓周角定理推論中直徑所對的圓周角為直角；在圓中，90°的圓周角所對的弦是直徑；直角三角形的外接圓是以斜邊為直徑的圓等等.（作者單位：江蘇省南通市通州區西亭初中）