切換思維和方法，靈活突圍

丁虎平

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切換思維和方法，靈活突圍

丁虎平

在近幾年中考命題中，“統計與概率”涉及的問題背景不斷翻新，命題者用智慧設計出一道道亮麗的風景，因此我們的思維也要緊緊跟上.

一、巧用零頭，化繁為簡

在求平均數和方差時，如果數據較大，計算會很繁瑣，我們可以設法將較大的數化為較小的數，簡化運算.

1.巧用零頭，計算平均數

例1（2015·溫州）某公司需招聘一名員工，對應聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個方面進行量化考核，甲、乙、丙各項得分如下表：

筆試　面試　體能甲83　79　90 乙85　80　75 丙80　90　73

（1）根據三項得分的平均分，從高到低確定三名應聘者的排名順序；

（2）該公司規定：筆試、面試、體能得分分別不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例計入總分，根據規定，請你說明誰被錄用.

【巧思妙解】（1）選80分作為“基準”，分別計算各項成績與80的差，得到每一項成績的“零頭”，計算這些“零頭”的平均數再加上80即可.

∴84＞81＞80，

∴排名順序為甲、丙、乙.

（2）將第（1）小題中得到的“零頭”利用加權平均數的計算公式進行計算，再加上80即可.

由題意可知，甲不符合規定.

∴82.5＞82.3，

∴錄用乙.

【解法說明】這種解法利用了平均數的性質：若一組數據“x1，x2，x3，…，xn”的平均數為，則另一組數據“x1+m，x2+m，x3+m，…，xn+m”的平均數為+m.用這個性質在求算術平均數和加權平均數時可以化大為小，化繁為簡，事半功倍.

2.巧用零頭，計算方差

例2（2015·鎮江）某商場統計了2015 年1～5月A、B兩種品牌的冰箱的銷售情況，并將獲得的數據繪制成折線.

（1）分別求該商場這段時間內A、B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數和方差；

（2）根據計算結果，比較該商場1～5月這兩種品牌冰箱月銷售量的穩定性.

【常規思路】（1）從圖中讀取數據，然后排序求出中位數，直接利用方差的計算公式計算方差；

（2）根據方差的大小判斷穩定性.

【巧思妙解】選取一個數據作為基準，用每一個數據減去這個基準，然后再利用方差的計算公式進行計算.

（1）由圖可知：A種品牌1～5月的銷量分別為：15，17，16，13，14，按照從小到大的順序排列得到：13，14，15，16，17；B種品牌1～5月的銷量分別為：10，14，15，16，20，

∴該商場這段時間內A、B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數分別為15臺、15臺.

下面計算方差：

A種品牌1～5月的銷量分別為：15，17，16，13，14，選13作為基準，用每個月的銷量減去13得到一組新的數據：2，4，3，0，1，

B種品牌1～5月的銷量分別為：10，14，15，16，20，選取15作為基準，用每個月的銷量減去15得到一組新的數據：-5，-1，0，1，5，

∴該商場1～5月A種品牌冰箱月銷售量較穩定.

【解法說明】方差實質是各個數據相對于平均數的波動程度，根據方差的性質可知：設一組數據x1，x2，x3，…，xn的平均數是，則方差為；而另一組數據x1+m，x2+m，x3+m，…，xn+m的平均數為+m，此時相應的方差s′2=，因此對于一組較大的數據，我們可以選取一個適當的數作為基準，然后用每一個數據減去這個基準得到一組新的較小的數據，然后計算這一組新數據的方差即可.此外，也可以直接算出一組數據的平均數，然后將每一個數據減去這個平均數得到一組新的較小的數據，然后計算這一組新數據的方差也可以達到同樣的目的，

總之，利用轉化的數學思想，將較大的數轉化為較小的數，巧用“零頭”，簡化運算.

二、另辟蹊徑，巧解概率題

在初中數學中，解決概率問題，常用的方法是畫樹狀圖法或列表法，即采用列舉的方法列出所有可能的結果，再進行計算.但是有些概率題，我們可以換一種思維方式再輔以列舉法，往往能夠比較簡便地得到答案.下面，結合幾道題介紹一些解概率題的巧妙方法.

例3（2014·寧波）如圖1，在2×2的正方形網格中有9個格點，已經取定點A和B，在余下的7個點中任取一點C，使△ABC為直角三角形的概率是（）.

圖1　

圖2

【常規思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

例4（2014·雅安）若我們把十位上的數字比個位和百位上數字都小的三位數稱為“V”數，如756，326，那么從2，3，4這三個數字組成的無重復數字的三位數中任意抽取一個數，則該數是“V”數的概率為______.

【常規思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

例5（2014·嘉興）有兩輛車按1，2編號，舟舟和嘉嘉兩人可任意選坐一輛車.則兩人同坐2號車的概率為_________.

【常規思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

例6小明和小麗做游戲，規則如下：小明轉動轉盤（轉盤被分成二等分，若指針指向分割線則重新轉一次），得到一個數字，小麗拋擲一枚質地均勻的骰子一次，得到一個數字，若這兩個數字的乘積是奇數，則小明贏，否則小麗贏.問這個游戲公平嗎？

【常規思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

【另辟蹊徑】轉動轉盤，有兩個等可能的結果：數字1和2；拋擲骰子有6個等可能的結果：數字1-6.數字1與1-6這六個數字的乘積中有3個奇數3個偶數，數字2與1-6這六個數字的乘積均為偶數，顯然不公平.

（作者單位：江蘇省鎮江市宜城中學）