切換思維和方法，靈活突圍

丁虎平

?

切換思維和方法，靈活突圍

丁虎平

在近幾年中考命題中，“統(tǒng)計(jì)與概率”涉及的問題背景不斷翻新，命題者用智慧設(shè)計(jì)出一道道亮麗的風(fēng)景，因此我們的思維也要緊緊跟上.

一、巧用零頭，化繁為簡

在求平均數(shù)和方差時(shí)，如果數(shù)據(jù)較大，計(jì)算會(huì)很繁瑣，我們可以設(shè)法將較大的數(shù)化為較小的數(shù)，簡化運(yùn)算.

1.巧用零頭，計(jì)算平均數(shù)

例1（2015·溫州）某公司需招聘一名員工，對應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個(gè)方面進(jìn)行量化考核，甲、乙、丙各項(xiàng)得分如下表：

筆試　面試　體能甲83　79　90 乙85　80　75 丙80　90　73

（1）根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分，從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序；

（2）該公司規(guī)定：筆試、面試、體能得分分別不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例計(jì)入總分，根據(jù)規(guī)定，請你說明誰被錄用.

【巧思妙解】（1）選80分作為“基準(zhǔn)”，分別計(jì)算各項(xiàng)成績與80的差，得到每一項(xiàng)成績的“零頭”，計(jì)算這些“零頭”的平均數(shù)再加上80即可.

∴84＞81＞80，

∴排名順序?yàn)榧住⒈⒁?

（2）將第（1）小題中得到的“零頭”利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，再加上80即可.

由題意可知，甲不符合規(guī)定.

∴82.5＞82.3，

∴錄用乙.

【解法說明】這種解法利用了平均數(shù)的性質(zhì)：若一組數(shù)據(jù)“x1，x2，x3，…，xn”的平均數(shù)為，則另一組數(shù)據(jù)“x1+m，x2+m，x3+m，…，xn+m”的平均數(shù)為+m.用這個(gè)性質(zhì)在求算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)時(shí)可以化大為小，化繁為簡，事半功倍.

2.巧用零頭，計(jì)算方差

例2（2015·鎮(zhèn)江）某商場統(tǒng)計(jì)了2015 年1～5月A、B兩種品牌的冰箱的銷售情況，并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成折線.

（1）分別求該商場這段時(shí)間內(nèi)A、B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數(shù)和方差；

（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，比較該商場1～5月這兩種品牌冰箱月銷售量的穩(wěn)定性.

【常規(guī)思路】（1）從圖中讀取數(shù)據(jù)，然后排序求出中位數(shù)，直接利用方差的計(jì)算公式計(jì)算方差；

（2）根據(jù)方差的大小判斷穩(wěn)定性.

【巧思妙解】選取一個(gè)數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)，用每一個(gè)數(shù)據(jù)減去這個(gè)基準(zhǔn)，然后再利用方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

（1）由圖可知：A種品牌1～5月的銷量分別為：15，17，16，13，14，按照從小到大的順序排列得到：13，14，15，16，17；B種品牌1～5月的銷量分別為：10，14，15，16，20，

∴該商場這段時(shí)間內(nèi)A、B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數(shù)分別為15臺(tái)、15臺(tái).

下面計(jì)算方差：

A種品牌1～5月的銷量分別為：15，17，16，13，14，選13作為基準(zhǔn)，用每個(gè)月的銷量減去13得到一組新的數(shù)據(jù)：2，4，3，0，1，

B種品牌1～5月的銷量分別為：10，14，15，16，20，選取15作為基準(zhǔn)，用每個(gè)月的銷量減去15得到一組新的數(shù)據(jù)：-5，-1，0，1，5，

∴該商場1～5月A種品牌冰箱月銷售量較穩(wěn)定.

【解法說明】方差實(shí)質(zhì)是各個(gè)數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的波動(dòng)程度，根據(jù)方差的性質(zhì)可知：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)是，則方差為；而另一組數(shù)據(jù)x1+m，x2+m，x3+m，…，xn+m的平均數(shù)為+m，此時(shí)相應(yīng)的方差s′2=，因此對于一組較大的數(shù)據(jù)，我們可以選取一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作為基準(zhǔn)，然后用每一個(gè)數(shù)據(jù)減去這個(gè)基準(zhǔn)得到一組新的較小的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算這一組新數(shù)據(jù)的方差即可.此外，也可以直接算出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后將每一個(gè)數(shù)據(jù)減去這個(gè)平均數(shù)得到一組新的較小的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算這一組新數(shù)據(jù)的方差也可以達(dá)到同樣的目的，

總之，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將較大的數(shù)轉(zhuǎn)化為較小的數(shù)，巧用“零頭”，簡化運(yùn)算.

二、另辟蹊徑，巧解概率題

在初中數(shù)學(xué)中，解決概率問題，常用的方法是畫樹狀圖法或列表法，即采用列舉的方法列出所有可能的結(jié)果，再進(jìn)行計(jì)算.但是有些概率題，我們可以換一種思維方式再輔以列舉法，往往能夠比較簡便地得到答案.下面，結(jié)合幾道題介紹一些解概率題的巧妙方法.

例3（2014·寧波）如圖1，在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn)，已經(jīng)取定點(diǎn)A和B，在余下的7個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形的概率是（）.

圖1　

圖2

【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

例4（2014·雅安）若我們把十位上的數(shù)字比個(gè)位和百位上數(shù)字都小的三位數(shù)稱為“V”數(shù)，如756，326，那么從2，3，4這三個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中任意抽取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)是“V”數(shù)的概率為______.

【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

例5（2014·嘉興）有兩輛車按1，2編號(hào)，舟舟和嘉嘉兩人可任意選坐一輛車.則兩人同坐2號(hào)車的概率為_________.

【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

例6小明和小麗做游戲，規(guī)則如下：小明轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被分成二等分，若指針指向分割線則重新轉(zhuǎn)一次），得到一個(gè)數(shù)字，小麗拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，得到一個(gè)數(shù)字，若這兩個(gè)數(shù)字的乘積是奇數(shù)，則小明贏，否則小麗贏.問這個(gè)游戲公平嗎？

【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.

【另辟蹊徑】轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，有兩個(gè)等可能的結(jié)果：數(shù)字1和2；拋擲骰子有6個(gè)等可能的結(jié)果：數(shù)字1-6.數(shù)字1與1-6這六個(gè)數(shù)字的乘積中有3個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，數(shù)字2與1-6這六個(gè)數(shù)字的乘積均為偶數(shù)，顯然不公平.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市宜城中學(xué)）