太陽影子定位

張海林 蔡向陽 張卓偉（南京農業大學工學院，江蘇南京 210031）

太陽影子定位

張海林 蔡向陽 張卓偉
（南京農業大學工學院，江蘇南京 210031）

根據物體太陽影子的變化，可確定視頻拍攝的地點和日期。本文通過一些基本的地理公式和解析幾何的知識，利用窮舉法，最小二乘法思想建立了數學模型，將模型運用于實際數據中得出拍攝地點及日期，附件1的拍攝位置為（109.5°E， 18.3°N），桿長約為2米；附件2的拍攝位置是（79.7° E， 39.5°N），日期是7月20日；拍攝地點的位置是（110.2°E， 29.3°N），日期是1月20日，并檢驗結果，得出可靠性結論。

影子 窮舉 拍攝地點 拍攝日期

1 模型假設

（1）假設光線是完全的直線傳播，忽略大氣對陽光的折射。

（2）為了忽略坡度的影響，假設本題中的所有測量點都是在水平面上。

2 模型的分析、建立與求解

2.1 問題一模型的分析、建立與求解

問題一要求在綜合分析影子的形成原理和變化規律的基礎上，利用解析幾何的知識，得出影長變化模型；并將公式應用于實際，得出具體的影長變化曲線。

2.1.1 關于影長變化規律的分析與模型的建立

若地面水平，設太陽光線與地面的夾角 ∠ POP'為太陽高度角h，則可得影長與太陽高度角的關系：

時角公式：

太陽高度角公式：

太陽方位角公式：

赤緯角公式

將（3），（7）和（8）聯立得影長的計算模型：

2.1.2 模型的實際應用

考慮到天安門位置與東經120（即北京經度）的時間差，利用時差公式：

可得天安門廣場的實際時間是8：45：30-14：45：30。以8：45：30為零點，每分鐘為一個計量單位在matlab中畫圖得到影長隨時間的變化圖如圖一所示。

2.2 問題二模型的分析、建立與求解

問題二可分為：（1）建立可確定直桿所處地點的模型；（2）模型的實際應用。

2.2.1 建立可確定直桿所處地點的模型

影子的長度L為：

考慮物體位置與東經120（即北京經度）的時間差，重新定義了時差的計算公式：

T表示物體所處位置的地方時。

結合公式（14），（8），（12）；可得L的關系式： L = φ（H，φ，d，Lo） （15）

其中，Lo表示經度（東經為正，西經為負），W表示緯度（北緯為正，南緯為負）。d表示日期（年，月，日），H表示桿的實長。

利用窮舉法，最小二乘法的思想，可得相應的桿長和經緯度。

窮舉的目標函數是由公式（12）和公式（15）在同一時刻算出的影長偏差量絕對值的總和最小：min ∑ ΔL，約束條件：（1）Δ L是所給影長 L'和窮舉影長的差值；（2）L是關于固定直桿頂點在水平地面上影子坐標的函數；（3）L'是窮舉法給出的桿長，緯度，經度以及測量日期的函數。

根據目標函數和約束條件可得數學模型：

2.2.2 模型的實際應用

2.2.3 結果的檢驗

將附件1中部分經度、緯度、桿長和拍攝日期代入2.1.1中的公式（10）：可得此時刻段該地區的桿的影長軌跡圖和影長分布圖（模型計算曲線），與附件1中給出的影長的變化曲線進行對比（已知數據曲線），對比圖如圖二所示。

由上圖可以看出兩條曲線基本重合，故可認為我們所得出的結果較為準確。

2.3 問題三的分析、模型的建立與求解

問題三要求在直桿頂點影子坐標數據已知的情況下，建立數學模型確定直桿所處的地點和日期。并確定附件2和附件3的拍攝地點和拍攝日期。

2.3.1 模型的建立

在本題中可以得出影長L，而經度、緯度、日期和桿的實長都是未知量。因此，采用窮舉的方式，具體模型與2.2.1中的模型相似：

2.3.2 模型的實際應用

（2）附件2模型結果的檢驗。利用MATLAB，得到該時刻段該地區的桿的影長軌跡圖和影長分布圖（藍線模型計算曲線），與附件2中給出的影長的變化曲線進行對比（已知數據曲線），對比圖如圖三所示。

由該驗證圖，我們可以看出通過模型計算出數據的擬合曲線與已知數據的擬合曲線并沒有完全重合，但相差最大的地方僅有不到5cm，所以這樣的結果也是可以接受的。

附件3求解與附件2類似，這里不在贅述。

［1］吉林省建筑設計院.建筑日照設計［M］.北京:中國建筑工業出版社，1979.

［2］鄭鵬飛，林大鈞，劉小羊，吳志庭.基于影子軌跡線反求采光效果的技術研究［J］.華東理工大學學報（自然科學版），2010（03）:458-463.

［3］武琳.基于太陽陰影軌跡的經緯度估計技術研究［D］.天津大學，2010.

［4］張宏藝，劉敬民.俯仰角大氣折射誤差修正方法［J］.光電技術應用，2008（04）:25-27.