數(shù)學(xué)排隊(duì)論在醫(yī)院管理中的應(yīng)用

許 強(qiáng) 藺義迪 丁冰冰 宋運(yùn)娜齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院許強(qiáng)，男，本科，學(xué)生，通訊作者：宋運(yùn)娜（1978.05-）女，碩士，講師。基金項(xiàng)目：黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃面上項(xiàng)目（201611230005）　齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院教育科研項(xiàng)目（JY20141008）

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數(shù)學(xué)排隊(duì)論在醫(yī)院管理中的應(yīng)用

許 強(qiáng) 藺義迪 丁冰冰 宋運(yùn)娜
齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院
許強(qiáng)，男，本科，學(xué)生，通訊作者：宋運(yùn)娜（1978.05-）女，碩士，講師。
基金項(xiàng)目：黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃面上項(xiàng)目（201611230005）齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院教育科研項(xiàng)目（JY20141008）

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評估值120萬

appraisement

行業(yè)曲線

industry

本文從分析門診業(yè)務(wù)流程的運(yùn)行規(guī)律入手，探尋流程需要再造的環(huán)節(jié)點(diǎn)，為門診資源的優(yōu)化配置和流程再造提供科學(xué)依據(jù)，同時證明采用排隊(duì)論方法的合理性和可行性。采用排隊(duì)論的理論與方法，通過隨機(jī)測量齊齊哈爾市某醫(yī)院的門診掛號、各科室服務(wù)節(jié)點(diǎn)的服務(wù)時間及急診處理各類突發(fā)情況的平均時間，運(yùn)用MATLAB計算各節(jié)點(diǎn)服務(wù)強(qiáng)度、平均排隊(duì)長、平均排隊(duì)時間、平均逗留時間、服務(wù)臺空閑概率和顧客到達(dá)后需要等待的概率等運(yùn)行指標(biāo)，推算合理的門診、急診規(guī)模，并模擬計算患者等待成本和醫(yī)院服務(wù)成本之和的最優(yōu)值。

我國人口數(shù)量巨大，而據(jù)衛(wèi)計委2015年5月份的統(tǒng)計，目前全國醫(yī)院2.6萬個，基層醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)92.2萬個，專業(yè)公共衛(wèi)生機(jī)構(gòu)3.5萬個，其他機(jī)構(gòu)0.3萬個。在我國，醫(yī)院門診部工作量大，一般常見病、多發(fā)病患者主要在門診部就診。患者的到達(dá)及接受就診服務(wù)均受到許多種因素的影響，出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象是不可避免的。以下將對醫(yī)院門診排隊(duì)現(xiàn)象進(jìn)行全面的分析，給出排隊(duì)論系統(tǒng)的主要指標(biāo)，為醫(yī)院門診部的質(zhì)量評估、科學(xué)化的管理、縮短患者排隊(duì)時間和就診時間提供科學(xué)依據(jù)。

模型建立

排隊(duì)論模型（ queuing theory model） 是利用數(shù)學(xué)方法定量地對一個客觀復(fù)雜的排隊(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與行為進(jìn)行動態(tài)的模擬，從而對排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律進(jìn)行科學(xué)準(zhǔn)確地描述。

模型建立與求解

門診：

就診：

急診：

建立過程

由于我們的處理數(shù)據(jù)的工具有限，不能嚴(yán)格按照排隊(duì)論的處理方法來解決問題，所以，我們將模型簡化成掛號，就診和急診三個階段分別計算隊(duì)長及等待時間，然后將掛號與就診的平均時間相加即為某位患者的就診所用平均時間。而急診中根據(jù)患者的患病嚴(yán)重情況分為4類（前面已明確指出分類依據(jù)），根據(jù)醫(yī)生每時間段內(nèi)處理患者的人數(shù)以及不同類型患者的到達(dá)概率來計算平均隊(duì)長和平均等待時間。

門診掛號：第j時間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)為第j-1時間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)加上第j時間段內(nèi)來就診的人數(shù)，減去此時間段內(nèi)可以處理的掛號人數(shù)，即單位時間與單位時間內(nèi)可處理的掛號人數(shù)的比值。

門診就診：第j時間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)為第j-1時間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)加上第j時間段內(nèi)掛號人數(shù)中掛i科室的人數(shù)，減去在此時間段內(nèi)醫(yī)生可處理的人數(shù)即單位時間與單位時間內(nèi)醫(yī)生可處理的平均患者人數(shù)的比值。

急診：第j時間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)為第j-1時間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)加上第j時間段內(nèi)來就診的患者人數(shù)中為i類患者的人數(shù)，減去在此時間段內(nèi)醫(yī)生可處理的人數(shù)即單位時間與單位時間內(nèi)醫(yī)生可處理的平均患者人數(shù)的比值。

模型模擬

數(shù)據(jù)調(diào)查

首先，我們調(diào)取了齊齊哈爾當(dāng)?shù)匾患裔t(yī)院的數(shù)據(jù)，出于醫(yī)院的要求，我們對這家醫(yī)院的名稱，地址保密。數(shù)據(jù)均為進(jìn)來三十天內(nèi)的產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，對近期醫(yī)院運(yùn)行狀態(tài)的描述有一定的意義。這家醫(yī)院把自己的科室分為內(nèi)科、外科、婦科、兒科、中醫(yī)、五官、精神五官分院這七個科室，本次研究只研究這七個主要科室，各大科室的分科室不在本次的研究范圍。我們將在后續(xù)的研究中對這些科室進(jìn)行補(bǔ)足，同時這家醫(yī)院的收銀臺基本不存在排隊(duì)現(xiàn)象，故無法提供數(shù)據(jù)，所以我們本次不對醫(yī)院收費(fèi)的排隊(duì)情況進(jìn)行分析。

我們根據(jù)我們的需求，設(shè)計了調(diào)查問卷，主要為了獲得以下幾方面數(shù)據(jù)，問卷原稿見附錄一。

1.調(diào)查醫(yī)院的基本情況（工作時間、醫(yī)院分診臺數(shù)量、掛號窗口數(shù)量）。

2.最近三十天工作時間段內(nèi)，每半個小時所到的患者總數(shù)。

3.完成一個掛號以及各科室診斷一個患者所需的時間。

4.前往各個科室的患者占總患者數(shù)的比例。

5.最近三十天內(nèi)，每個小時到達(dá)的急診患者總數(shù)。

6.到達(dá)的急診患者中，四類患者的比例以及救治這四類患者所需的時間。

根據(jù)得到的數(shù)據(jù)我們設(shè)計并實(shí)施了以下實(shí)驗(yàn)。

數(shù)據(jù)處理

根據(jù)我們得到的第二方面和第五方面的數(shù)據(jù)，我們決定對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出數(shù)據(jù)內(nèi)在聯(lián)系。本次實(shí)驗(yàn)使用的主要數(shù)學(xué)軟件為Matlab，版本型號為7.0。我們首先使用了Matlab中的擬合工具箱Curve Fitting Tool對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，我們嘗試了工具箱內(nèi)所有的擬合方式，都無法將擬合數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的方差降低到1一下，但是，我們發(fā)現(xiàn)在使用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時，隨著方程的階數(shù)逐漸上升，真實(shí)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的方差在下降，但受制于擬合工具箱Curve Fitting Tool的擬合階數(shù)只有九階，擬合數(shù)據(jù)無法滿足我們的要求，所以我們決定不使用擬合工具箱Curve Fitting Tool，使用Matlab內(nèi)置的polyfit命令進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。得到了方差比較小的數(shù)據(jù)表達(dá)式。代碼見附錄二。

門診患者的數(shù)據(jù)表達(dá)式為一十三階的函數(shù)，x的有效取值范圍為1-14，x代表的是工作時間內(nèi)的第x時間段。方程的形式如下。

繪制的圖像如圖1所示。

根據(jù)這個表達(dá)式得到的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差為7.718e-014，這個完全符合我們對擬合數(shù)據(jù)的要求。繪制出來的圖像也與原數(shù)據(jù)幾乎沒有分別，故在之后對門診的實(shí)驗(yàn)中我們采用了此表達(dá)式。

對于急診的數(shù)據(jù)擬合我們依舊實(shí)驗(yàn)了擬合工具箱，效果還是不理想，于是，我們繼續(xù)采用了polyfit命令進(jìn)行擬合，同時我們提高了我們的擬合階數(shù)，最后在二十階找到了擬合度最好的表達(dá)式。

繪制的圖像見圖2。

根據(jù)這個表達(dá)式得到的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差為0.19868，這個方差比較符合我們對擬合數(shù)據(jù)的要求。繪制出來的圖像也與原數(shù)據(jù)存在差別，但是差別在可控范圍之內(nèi)，

故在之后對門診的實(shí)驗(yàn)中我們采用了此表達(dá)式。

圖1 門診數(shù)據(jù)擬合圖像

圖2 急診數(shù)據(jù)擬合圖像

模擬實(shí)驗(yàn)——對于醫(yī)院掛號排隊(duì)的模擬實(shí)驗(yàn)

這家醫(yī)院有多個掛號窗口，但是掛號所需的平均時間相同，所以可以將這個排隊(duì)系統(tǒng)定義為只有一個單服務(wù)臺的排隊(duì)模型，采取的服務(wù)方式為先到先服務(wù)方式。根據(jù)門診擬合方程，我們醫(yī)院一個工作日進(jìn)行了模擬。如表1所示。

表1

表1的左側(cè)的一到十四代表一個工作日的工作時間段，每半個小時一段，右側(cè)可以是模擬出來的排隊(duì)等待人數(shù)，所有數(shù)據(jù)均為負(fù)值，而且圖六的方程表示出時間越長，等待人數(shù)的絕對值也就越大。這表明患者在到這家醫(yī)院進(jìn)行掛號時基本不需要等待，這與我們開始掌握的醫(yī)院平時門診患者較少的信息相符，模擬成功。由于所有的值均為負(fù)值，所以平均隊(duì)長，平均等待時間是沒有意義的。也不存在著絕對忙期（工作任務(wù)超過工作能力），所以忙期的意義不大。模擬代碼見附錄二。

圖3 掛號等待人數(shù)

圖4 就診等待人數(shù)

對于醫(yī)院就診排隊(duì)的模擬實(shí)驗(yàn)

這家醫(yī)院一共有八個大科室群，分為內(nèi)科、外科、婦科、兒科、中醫(yī)、耳鼻喉、口腔、精神分院，每個科室群內(nèi)的平均就診時間接近相同，所以這個模型應(yīng)該是一個有八個服務(wù)臺的排隊(duì)系統(tǒng)，采取的服務(wù)方式應(yīng)為先到先服務(wù)，根據(jù)門診的擬合表達(dá)式，我們對這家醫(yī)院的一個工作日內(nèi)工作時間段進(jìn)行擬合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2、圖4。

表2

醫(yī)院門診掛號排隊(duì)結(jié)果

表2的左側(cè)的一到十四代表一個工作日的工作時間段，每半個小時一段，上邊的一到八是科室的編號，模擬的所有數(shù)據(jù)也均為負(fù)值，而且圖4的方程表示出時間越長，等待人數(shù)的絕對值也就越大。這表明患者在到這家醫(yī)院進(jìn)行掛號時基本不需要等待，這與我們開始掌握的醫(yī)院平時門診患者較少的信息相符，模擬成功。由于所有的值均為負(fù)值，所以平均隊(duì)長，平均等待時間是沒有意義的。但是每條線的傾斜程度不一樣，所以每個科室的剩余情況也不同。也不存在著絕對忙期（工作任務(wù)超過工作能力），所以忙期的意義不大。模擬代碼見附錄二。

圖5 就診等待人數(shù)

對于醫(yī)院急診排隊(duì)情況的模擬

急診的處理方法不同于門診，他采取的方式為先治療，同時或后掛號，而且急診患者分為四個級別，第一級別是需要馬上急救醫(yī)療，否則就會出現(xiàn)生命危險，第二級別是需要盡快給予急救措施，第三級別就是在一定時間內(nèi)給予急救措施，第四級別，需要較少的急救措施，這就涉及了服務(wù)方式的變化，但是，我們研究發(fā)現(xiàn)，醫(yī)院這四類病人是并行處理的，醫(yī)生有權(quán)決定先對那個患者進(jìn)施救。所以我們也可以得出一組數(shù)據(jù)，就是醫(yī)院每小時可以處理的各類患者的個數(shù)；同時醫(yī)院每天各類急診患者的比例是已知的。所以，我們綜合前兩個模型，結(jié)合擬合數(shù)據(jù)，建立了第三個模型，并對醫(yī)院一個工作日內(nèi)的急救患者進(jìn)行了模擬。如表3、表4、圖5所示。

醫(yī)院急診排隊(duì)情況的結(jié)果

表3、表4中一到二十三代表的二十三個時間段，橫向一到四代表一到四類患者。根據(jù)表3、表4是同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次不同處理之后得到的，我們在計算出表3之后，我們發(fā)現(xiàn)一個問題，由于我們采用的算法是加法，所以在計算數(shù)據(jù)是可能會出現(xiàn)累加的現(xiàn)象，而如果累加的數(shù)過大，可能還掩蓋后面的絕對忙期，為了避免這種情況的發(fā)生，我們對算法進(jìn)行了改進(jìn)，加入了判斷機(jī)制，當(dāng)模擬數(shù)值小于等于零時，算法會給其自動賦予隊(duì)長為零，這樣再次進(jìn)行了計算，得到表4這樣的計算結(jié)果。事實(shí)證明，我們的發(fā)現(xiàn)的問題在這里是不存在的。之后對數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，急診也不存在著排隊(duì)現(xiàn)象的，這對于急診患者來講是一個絕對的好消息。圖5可以根據(jù)傾斜程度，判斷平時急診的過剩程度。但是圖像數(shù)據(jù)本身為模擬數(shù)據(jù)，我們不對數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析。

結(jié)語

本文針對齊齊哈爾市某醫(yī)院門診問題，以排隊(duì)論為理論基礎(chǔ)，建立了合理設(shè)置門診等就診流程的數(shù)學(xué)模型。模型綜合了病人和醫(yī)院兩方面的利益，與實(shí)際緊密結(jié)合，具有現(xiàn)實(shí)可操作性。

對醫(yī)院門診進(jìn)行合理規(guī)劃，有效減少患者的排隊(duì)等待時間，提高醫(yī)療工作效率，具有重要的理論和實(shí)際意義。上述的案例中提出了齊齊哈爾市某醫(yī)院門診排隊(duì)合理安排的評價和優(yōu)化問題。

表3

現(xiàn)象原因

我們的調(diào)查與收集數(shù)據(jù)的時間在今年（2016年）的3月份，而此時正是節(jié)假日剛剛結(jié)束，可能有一部分疾病都在節(jié)假日已經(jīng)進(jìn)行了門診，而且正是市民剛剛上班，剛剛開學(xué)的時間，相對于平時，比較忙，我們調(diào)查的地區(qū)是市周邊的醫(yī)院，存在人流量比一般的醫(yī)院，患者的數(shù)量要少，這也就可能造成數(shù)據(jù)結(jié)果顯示齊齊哈爾市這家醫(yī)院門診和急診過剩的原因。

表4

建議

一個好的醫(yī)院系統(tǒng)要得以實(shí)施運(yùn)用，由結(jié)論可知，齊齊哈爾市某醫(yī)院的門診充足，而急診也充足甚至過剩，因此建議從醫(yī)務(wù)資源分配上進(jìn)行解決問題。醫(yī)院應(yīng)加強(qiáng)以下幾點(diǎn)。

從醫(yī)生角度來說，白天的門診充足，可以將部分門診醫(yī)生更加耐心診療，把服務(wù)做到最好，讓患者滿意，減少醫(yī)患糾紛，為醫(yī)院的人文做好宣傳，這樣就可以解決門診人少。

從門診的角度，可以減少門診的面積，用于住院部，進(jìn)行醫(yī)療資源的合理分配。

從急診的角度，可以有更多的時間照顧急診病人，預(yù)防病人突發(fā)緊急情況。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.031