一類非自治廣義Birkhoff系統的穩定性和分岔

曹秋鵬　陳向煒

1. 蘇州科技大學數理學院, 蘇州 215009; 2. 商丘師范學院物理與電氣信息學院, 商丘 476000;? 通信作者, E-mail: hnchenxw@163.com

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一類非自治廣義Birkhoff系統的穩定性和分岔

曹秋鵬1陳向煒2，?

1. 蘇州科技大學數理學院, 蘇州 215009; 2. 商丘師范學院物理與電氣信息學院, 商丘 476000;? 通信作者, E-mail: hnchenxw@163.com

研究一類非自治廣義Birkhoff系統的分岔。將該系統轉化為梯度系統, 利用梯度系統的性質研究這一類系統平衡點的穩定性。研究表明, 當系統含有某個參數時, 系統平衡點的數目和穩定性將會隨參數的變化而發生改變, 從而產生分岔現象。

廣義Birkhoff系統; 梯度系統; 分岔

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

1927 年, Birkhoff[1]在《Dynamical systems》(動力系統)一書中給出一類新型的積分變分原理和運動微分方程, Santilli[2]稱之為Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff方程。Birkhoff系統動力學是Hamilton力學的自然推廣。近年來, 對Birkhoff系統動力學的研究非常活躍, 取得一些重要進展, 主要集中在Birkhoff系統的積分理論[3]、逆問題[4]、穩定性[5]和對稱性[6]等方面。1993 年, 梅鳳翔[7]研究了 Birkhoff 方程增加一個附加項的情形, 稱為廣義 Birkhoff方程。廣義Birkhoff系統動力學也取得豐富的研究成果, 同樣集中在廣義Birkhoff系統的逆問題[8]、積分理論[9]、對稱性[10]、穩定性[11]等方面,但很少涉及系統分岔的問題。開展廣義Birkhoff系統的分岔研究, 可將非線性動力學相關理論推廣應用到廣義Birkhoff系統, 探討該系統的動力學行為,進一步完善 Birkhoff 系統的理論體系。因此, 對廣義Birkhoff系統分岔問題的研究有重要意義。

非線性動力學的分岔是動力系統的重要性質,是流體力學、電力學、非線性振動理論、控制理論、生態學等領域研究的重點內容[12-14]。2000年,陳向煒等[15-16]首次研究Birkhoff系統的分岔問題,分析了二階自治Birkhoff系統的極限點分岔、跨臨界分岔以及叉形分岔。梅鳳翔[17]研究了二階自治廣義Birkhoff系統平衡點分岔的相關問題, 也討論了系統的極限點分岔、跨臨界分岔以及叉形分岔。但是, 這些研究僅針對自治 Birkhoff 系統, 未涉及非自治情形。

梯度系統是一類重要的動力學系統[18], 在研究運動穩定性問題時具有很好的應用價值。一旦動力學系統能夠轉化成梯度系統, 便可以借助梯度系統的性質研究動力學系統的穩定性。文獻[19-23]研究了各類力學系統的梯度表示, 利用梯度系統的性質分析了這些系統的平衡穩定性。Mei等[24]利用梯度系統的性質, 研究了自治廣義 Birkhoff 系統的分岔。

在上述研究的基礎上, 本文利用梯度系統的性質, 進一步研究含參數非自治廣義Birkhoff系統的穩定性和分岔。研究表明, 當系統所含的某個參數發生變化時, 系統平衡點的數目和穩定性將會隨參數的變化而發生改變, 從而產生分岔現象。

1　廣義Birkhoff系統

廣義Birkhoff 系統的運動微分方程[17]為

可以寫成如下形式:

其中,

為 Birkhoff 協變張量,μνΩ為 Birkhoff 逆變張量,它們之間有關系:

2　梯度系統

梯度系統的微分方程有以下形式[17]:

其中, V=V(x)稱為勢函數。

梯度系統有以下兩個重要性質。

性質 1對于系統(4)所有的x, 都有0V≤˙, 當且僅當x為系統的平衡點時, 0V=˙。

性質 2對于系統(4)的線性化系統, 在任意平衡點處其特征方程只有實根。

由Lyapunov 一次近似理論可得如下命題。

命題 1如果梯度系統(4)的一次近似特征方程的根皆為負數, 則平衡位置是漸近穩定的; 如果有正根, 則平衡位置是不穩定的; 如果存在單根 0 且無正根, 則平衡位置是穩定的, 但不是漸近穩定的;如果存在重根0, 則平衡位置是不穩定的。

3　系統的梯度表示

一般情況下, 非自治廣義Birkhoff系統(1)并不是梯度系統。如果系統(1)滿足

同時有

此時, 方程(1)可以找到勢函數V=V(a), 使得

這樣, 非自治廣義 Birkhoff 系統(1)便成為一個梯度系統。于是, 我們利用梯度系統的性質研究該系統的分岔。

4　系統平衡點的靜態分岔

假設非自治廣義Birkhoff系統(1)的Birkhoff函數 B, Birkhoff函數組Rv或附加項νΛ含有某一個常參數μ, 則可以將非自治廣義Birkhoff系統(1)寫成如下形式:

其中,

且等式右端滿足式(6)。

對于研究內容 1, 若非自治廣義Birkhoff系統(8)能夠成為一個梯度系統, 那么平衡點的穩定性由命題1判定, 隨著參數μ的變化, 梯度系統的一次近似特征方程的根的正負性可能發生變化。

對于研究內容 2, 當 F(a, μ)=0 的解是一些曲線時, 分岔點是某兩條解曲線的交點。下面給出系統(8)發生研究內容 2 情況的一個必要條件。

定理1對于系統(8), 設點(a0, μ0)處有 F(a0, μ0)=0, 在(a0, μ0)的鄰域內 F(a, μ)對 a 可微, 且F(a, μ)和DF(a, μ)對a, μ 連續。假如(a0, μ0)是F(a, μ)=0的一個分岔點, 則|DF(a0, μ0)|=0。其中DF(a, μ)表示F(a, μ)關于a的Jacobian矩陣。

證明: 假設|DF(a0, μ0)|≠0, 那么由隱函數定理,可以得到當|μ-μ0|<<1時, F(a, μ)=0唯一地確定了一條解曲線 a =a(μ), 使得a0=a(μ0)。此時, (a, μ0) 不能成為分岔點與(a0, μ0) 是分岔點矛盾。定理 1 得證。

下面利用兩個算例, 分別從系統(8)的平衡點穩定性的變化和平衡點個數的變化, 說明系統(8)的靜態分岔。

5　算例

例1非自治廣義Birkhoff系統:

其中μ是參數。

下面, 試寫出該系統的運動微分方程, 并分析μ對系統平衡位置穩定性的影響。

由方程(8), 得到系統的微分方程:

顯然這是一個梯度系統。此時系統的一次近似特征方程為

當1μ＞時, 方程(11)有兩個負實根, 此時平衡位置是漸近穩定的; 當1μ=時, 方程(11)有一個根是 0,一個根是-2, 此時平衡位置是穩定的; 當1μ＜時,方程(11)兩個根一正一負, 此時平衡位置是不穩定的。因此, 當1μ=時, 系統發生分岔, 1μ=是系統的分岔值。

例2非自治廣義Birkhoff系統:

其中μ是參數。

下面, 試寫出該系統的運動微分方程, 并分析μ 對系統平衡位置穩定性的影響。

由方程(8)得到系統的微分方程:

顯然, 方程(12)滿足式(5)和(6), 是一個梯度系統。系統(12)的平衡點個數與參數μ的取值有關。

對于任意的μ, (0, μ)總是方程(12)的解, 且

由定理 1 可知, 點(,0)0可能成為系統(12)的分岔點。下面具體分析分岔情況。

當0μ=時, 方程(12)有一個平衡點(0, 0), 方程(12)在(0, 0)點處的一次近似特征方程為

此方程有根0λ=和1λ=-, 由命題1可知此時平衡點是穩定的, 但不是漸近穩定的。

1) 平衡點（）0,0處的一次近似特征方程為

此方程有根λ=-μ2和λ=-1, 由命題1可知此平衡點是漸近穩定的。

2) 我們對平衡點(μ, 0)做如下處理: 令

則方程(12)變成

同樣, 此平衡點是漸近穩定的。

那么方程(12)變成

處的一次近似特征方程為

由命題1可知此平衡點是不穩定的。

我們發現, 含有參數μ的系統(12), 當0μ=時,平衡點只有1個, 當0μ≠時, 平衡點有3個, 平衡點的個數發生了改變, 并且對于同一平衡點(0, 0),兩種情況下其穩定性并不相同。因此, (0, 0)成為系統(12)的分岔點, 0μ=是該系統的分岔值。

6　結論

本文把利用梯度系統研究穩定性的方法推廣應用到一類非自治廣義 Birkhoff 系統, 該系統在滿足條件(5)和(6)情況下就可轉化為一個梯度系統, 于是可以利用梯度系統的性質研究這類非自治廣義Birkhoff 系統的穩定性和分岔。本文的例子說明,隨著參數的變化, 系統平衡位置的穩定性以及平衡點的個數會隨之變化, 系統發生分岔。當然, 這里的分岔指系統平衡點處的靜態分岔。

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Stability and Bifurcation for a Type of Non-autonomous Generalized Birkhoffian Systems

CAO Qiupeng1， CHEN Xiangwei2，?

1. School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009; 2. Department of Physics and Information Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000; ? Corresponding author, E-mail: hnchenxw@163.com

Bifurcation for a type of non-autonomous generalized Birkhoffian systems is studied. Gradient representations for this type of non-autonomous generalized Birkhoffian systems are given. The stability of equilibrium point of these systems is discussed by the characteristic of the gradient system. Further the systems which contain some parameter are studied. The stability and the number of equilibrium point will change along with the change of the parameter to produce the bifurcation phenomenon.

generalized Birkhoffian system; gradient system; bifurcation

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.067

國家自然科學基金(11372169)和蘇州科技大學研究生科研創新計劃(SKCX14_056)資助

2015-10-08;

2016-02-05; 網絡出版日期: 2016-07-14