基于Riesz導數的分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量

張　毅　周　燕

1. 蘇州科技大學土木工程學院， 蘇州 215011； 2. 蘇州市工業園區婁葑學校， 蘇州 215021；? E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

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基于Riesz導數的分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量

張毅1，?周燕2

1. 蘇州科技大學土木工程學院， 蘇州 215011； 2. 蘇州市工業園區婁葑學校， 蘇州 215021；? E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

提出并研究 Riesz 分數階導數下分數階 Birkhoff 系統的 Noether 對稱性與守恒量。分別在 Riesz-Riemann-Liouville 分數階導數和 Riesz-Caputo 分數階導數下， 建立分數階 Pfaff 變分問題， 給出分數階Birkhoff 方程。基于分數階 Pfaff 作用量在無限小變換下的不變性， 建立分數階 Birkhoff 系統的 Noether 定理。定理的證明分成兩步: 一是在時間不變的無限小變換下給出證明； 二是利用時間重新參數化技術得到一般情況下的分數階Noether定理。最后舉例說明結果的應用。

分數階Birkhoff系統； Noether對稱性； 分數階守恒量； Riesz分數階導數

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

動力學系統對稱性的研究一直是分析力學的重要發展方向。1918 年， Noether［1］研究了Hamilton作用量在無限小變換下的不變性質， 揭示了力學系統的守恒量與其內在的動力學對稱性之間的關系。Djuki? 等［2］將 Noether 定理推廣到完整非保守系統，李子平［3］、Bahar 等［4］和 Liu［5］進一步將 Noether 定理推廣到非完整非保守系統。梅鳳翔［6］用 Pfaff 作用量代替 Hamilton 作用量， 通過研究 Pfaff 作用量在無限小變換的廣義準對稱性， 建立了 Birkhoff 系統的 Noether 理論。近年來， 對 Noether 對稱性的研究取得一些重要成果［6-10］。

分數階微積分的概念最早出現在L'Hospital于1695年寫給Leibniz的信中， 但是直到1974年， 第一本關于分數階微積分理論的著作［11］才問世。近20 余年來， 隨著分數階微積分應用領域的不斷拓展， 分數階微積分及其應用研究有了很大的發展。1996 年， Riewe［12-13］首次將分數階微積分應用于非保守系統動力學建模， 提出并初步研究了分數階變分問題。之后， Agrawal［14-15］、Baleanu等［16-17］、Atanackovi? 等［18-19］和El-Nabulsi 等［20-22］對分數階變分問題進行了深入研究。Frederico 等［23-26］最早開展分數階 Noether 對稱性與守恒量的研究， 基于Riemann-Liouville分數階導數定義［23-24］、Caputo分數階導數定義［25］以及 Riesz-Caputo 分數階導數定義［26］， 分別考慮時間不變和時間變化的無限小變換作用， 得到分數階Noether定理。此外， Frederico等［27-28］基于El-Nabulsi動力學模型研究了類分數階作用變分的不變性問題。近年來， 約束力學系統基于分數階模型的 Noether 對稱性與守恒量的研究已經取得一些重要成果［29-35］。但是， 這些研究主要限于分數階Lagrange系統和分數階Hamilton系統。

本文基于 Riesz 分數階導數的定義， 研究分數階 Birkhoff 系統的分數階Noether對稱性。從分數階 Pfaff 作用量在無限小變換下的不變性出發， 分別在時間不變和時間變化的無限小變換下， 研究分數階 Pfaff 作用量的不變性， 建立分數階 Birkhoff系統的Noether定理。

1　分數階導數

本節列出研究中涉及的 Riemann-Liouville 分數階導數、Caputo分數階導數和Riesz分數階導數的定義， 以及 Riesz 分數階導數下的分部積分公式。具體的證明和討論可參見文獻［36-37］。

Riemann-Liouville分數階左導數定義為

Riemann-Liouville分數階右導數為

Caputo分數階左導數定義為

Caputo分數階右導數為

其中Γ （*）是 Euler Gamma 函數， α 是導數的階， 且m-1≤α＜m， m 為正整數。如果α 是整數， 上述分數階導數成為整數階導數， 有

Riesz-Riemann-Liouville分數階導數定義為

Riesz-Caputo分數階導數定義為

由上述定義可知， Riesz-Riemann-Liouville分數階導數與 Riemann-Liouville 分數階導數之間的關系為

Riesz-Caputo 分數階導數與 Caputo 分數階導數之間的關系為

Riesz-Riemann-Liouville 分數階導數下的分部積分公式［15］為

Riesz-Caputo分數階導數下的分部積分公式［15］如下:

2　Riesz-Riemann-Liouville導數下分數階Birkhoff系統的Noether對稱性

稱為基于 Riesz-Riemann-Liouville 導數的分數階Pfaff作用量。等時變分原理

帶有交換關系

以及端點條件

稱為基于 Riesz-Riemann-Liouville 導數的分數階Pfaff-Birkhoff原理。

由分數階 Pfaff-Birkhoff 原理（13）～（15）容易導出如下方程［38］:

以及相應的橫截性條件由端點條件（15）易知橫截性條件（17）恒成立。方程（16）稱為 Riesz-Riemann-Liouville 導數下分數階Birkhoff系統的分數階Birkhoff方程。

當α →1時， 方程（16）成為

方程（18）是經典的 Birkhoff 方程。因此， 經典 Birkhoff 方程是 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階Birkhoff方程（16）的特例。

引進時間不變的單參數無限小變換群:

下面， 定義 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階Birkhoff方程（16）在無限小變換（19）下的 Noether對稱性， 并給出相應的分數階守恒量。

定義1如果分數階Pfaff作用量（12）在無限小變換（19）作用下， 對于任意子區間

始終成立， 則稱這種不變性為 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階 Birkhoff 系統（16）在時間不變的無限小變換下的Noether對稱性。

定理 1對于 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階 Birkhoff 系統（16）， 如果時間不變的無限小變換（19）對應于定義 1 意義下的 Noether 對稱性，那么成立。

證明由積分區間［T1， T2］的任意性， 通過式（20）可得

將式（22）兩邊對ε 求導， 然后令ε=0， 有

顯然式（23）即為式（21）。

下面引入 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階守恒量的概念［23-25］。

或

當α =1時， 式（27）給出

定理 2對于 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階 Birkhoff 系統（16）， 如果時間不變的無限小變換（19）對應于定義 1 意義下的 Noether 對稱性，那么

是系統的分數階守恒量。

證明由分數階Birkhoff方程（16）可得

由于時間不變的無限小變換（19）相應于定義 1 意義下的Noether對稱性， 故將式（30）代入式（21）， 得

化簡得

即

由定義 2 可知， （29）式是所論分數階 Birkhoff 系統的分數階守恒量。

下面， 考慮時間變化的單參數無限小變換群:

定義分數階 Birkhoff 系統（16）在無限小變換（34）下的 Noether 對稱性， 并給出相應的分數階守恒量。

定義 3如果分數階Pfaff作用量（12）在無限小變換（34）作用下， 對于任意的子區間

始終成立， 則稱這種不變性為 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階 Birkhoff 系統（16）在時間變化的無限小變換（34）下的Noether對稱性。

定理 3對于 Riesz-Riemann-Liouville 導數下的分數階 Birkhoff 系統（16）， 如果時間變化的無限小變換（34）對應于定義3意義下的Noether對稱性，那么

是系統的分數階守恒量。

證明取關于時間t （t是獨立變量）的李普希茲變換:

當0λ=時， 滿足

在變換（37）作用下， 分數階Pfaff作用量（12）成為

其中， t （σ1）=t1， t （σ2）=t2，

將式（39）代入式（38）， 得

如果分數階Pfaff作用量（12）在定義3意義下是不變的， 那么分數階Pfaff作用量（38）在定義1意義下不變。由定理2可以得到

式（41）是系統的分數階守恒量。當λ=0時， 有

因此， 可以得到

以及

將式（44）和（43）代入式（41）， 得到守恒量式（36）。

定理 2 和定理 3 稱為 Riesz-Riemann-Liouville導數下分數階 Birkhoff 系統的分數階 Noether 定理。顯然， 當1α=時， 定理 2 和定理 3 給出經典Birkhoff系統的Noether定理。

3　Riesz-Caputo導數下分數階Birkhoff系統的Noether對稱性

積分

稱為基于 Riesz-Caputo 導數的分數階 Pfaff 作用量。等時變分原理

帶有交換關系

以及端點條件

稱為基于 Riesz-Caputo 導數的分數階 Pfaff-Birkhoff原理。

設0＜1α＜， 由分數階 Pfaff-Birkhoff 原理（46）～（48）容易導出如下方程［38］:以及相應的橫截性條件

由端點條件（48）易知橫截性條件（50）恒成立。方程（49）稱為 Riesz-Caputo 導數下分數階 Birkhoff 系統的分數階Birkhoff方程。

當1α→時， 方程（49）成為經典的 Birkhoff 方程（18）。因此， 經典Birkhoff方程是 Riesz-Caputo導數下的分數階Birkhoff方程（49）的特例。

下面定義 Riesz-Caputo 導數下的分數階 Birkhoff 方程（49）在無限小變換（19）下的 Noether 對稱性， 并給出相應的分數階守恒量。

定義4如果分數階Pfaff作用量（45）在無限小變換（19）作用下， 對于任意的子區間始終成立

則稱這種不變性為 Riesz-Caputo 導數下的分數階Birkhoff 系統（49）在時間不變的無限小變換下的Noether 對稱性。

定理 4對于 Riesz-Caputo 導數下的分數階Birkhoff方程（49）， 如果時間不變的無限小變換（19）相應于定義4意義下的Noether對稱性， 那么

成立。

證明由積分區間［T1， T2］的任意性， 通過式（51）可得

將式（53）兩邊對ε 求導， 然后令ε =0， 有

顯然， 式（54）即為式（52）。

下面引入Riesz-Caputo導數下的分數階守恒量的概念［25］。

其中 r 是任意整數， 對于每一組函數1iI和2iI （i = 1，2， …， r）， 滿足

或

當α =1時， 式（58）給出

， 但是一般情況下，

定理 5對于 Riesz-Caputo 導數下的分數階Birkhoff 系統（49）， 如果時間不變的無限小變換（19）相應于定義4意義下的Noether對稱性， 則

是系統的分數階守恒量。

證明由分數階Birkhoff方程（49）可得

由于時間不變的無限小變換（19）相應于定義 4 意義下的Noether對稱性， 故將式（61）代入式（52）， 得

化簡得

即

由定義 5 可知， 式（60）是所論分數階 Birkhoff 系統（49）的分數階守恒量。

下面， 定義 Riesz-Caputo 導數下的分數階 Birkhoff 方程（49）在時間變化的無限小變換（34）下的Noether對稱性， 并給出相應的分數階守恒量。

定義6如果分數階Pfaff作用量（45）在無限小變換（34）作用下， 對于任意子區間成立， 則稱這種不變性為 Riesz-Caputo 導數下的分數階Birkhoff系統（49）在時間變化的無限小變換（34）下的Noether對稱性。

定理 6對于 Riesz-Caputo 導數下的分數階Birkhoff 系統（49）， 如果時間變化的無限小變換（34）相應于定義6意義下的Noether對稱性， 則

是系統的分數階守恒量。

證明取關于時間 t （t 是獨立變量）的李普希茲變換

當0λ=時， 滿足

在變換（67）作用下， 分數階Pfaff作用量（45）成為

將式（69）代入式（68），

得如果分數階 Pfaff 作用量（45）在定義 6 意義下是不變的， 那么分數階Pfaff作用量（68）在定義4意義下不變。由定理5可以得到

式（71）是系統（49）的分數階守恒量。當0λ=時， 有

因此， 可以得到

以及

將式（74）和（73）代入式（71）， 得到守恒量式（66）。

4　算例

例 1已知四階分數階 Birkhoff 系統在 Riesz-Riemann-Liouville導數下的Pfaff作用量為試研究該系統的分數階 Noether 對稱性與分數階守恒量。

從作用量（75）可知， 系統的 Birkhoff 函數和Birkhoff函數組為

取無限小變換（34）的生成元為

由定義 3， 生成元（77）對應于系統的 Noether 對稱性。根據定理3， 得到

式（78）是該系統的一個分數階守恒量。

例2已知四階分數階Birkhoff系統在Riesz-Caputo導數下的分數階Pfaff作用量為試研究該系統的分數階 Noether 對稱性與分數階守恒量。

如取生成元為

由定義 4， 生成元（80）相應于分數階 Birkhoff 系統（79）的Noether對稱性。因此， 由定理5得到

式（81）是該分數階Birkhoff系統的一個守恒量。

5　結論

Birkhoff 力學是 Hamilton 力學的推廣， 對 Birk-hoff 力學的研究是近代分析力學的一個重要發展方向。由于應用分數階模型可以更準確地描述復雜系統的動力學行為， 因此對分數階 Birkhoff 系統動力學的研究具有重要意義。本文提出并研究了分數階Birkhoff系統在 Riesz-Riemann-Liouville 分數階導數和 Riesz-Caputo 分數階導數下的 Noether 對稱性與守恒量問題， 建立了分數階 Noether 定理。定理的證明分成兩步: 首先在時間不變的無限小變換下給出證明； 然后利用時間重新參數化技術， 得到一般情況下的分數階 Noether 定理。分數階 Noether定理揭示了分數階 Noether 對稱性與分數階守恒量之間的內在聯系。由于求解 Riemann-Liouville 導數下的分數階微分方程與求解 Caputo 導數下的分數階微分方程所伴隨的初始條件的形式不同， 后者僅涉及整數階導數的初始條件， 因此， Riesz-Caputo導數下的結果更易于應用。當然， 兩者都以經典Birkhoff 系統的 Noether 定理作為其特例。因此，本文研究的方法和結果具有普遍意義。

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Noether Symmetry and Conserved Quantity for Fractional Birkhoffian Systems in Terms of Riesz Derivatives

ZHANG Yi1，?， ZHOU Yan2
1. College of Civil Engineering， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou 215011； 2. Suzhou Industrial Park Loufeng School， Suzhou 215021； ? E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

The Noether symmetry and the conserved quantity for a fractional Birkhoffian system in terms of Riesz fractional derivatives are studied. The fractional Pfaff variational problems are presented and the fractional Birkhoff's equations are established within Riesz-Riemann-Liouville fractional derivatives and Riesz-Caputo fractional derivatives， respectively. Based on the invariance of the Pfaff action under the infinitesimal transformations， the Noether theorems for the fractional Birkhoffian system are given. The proof of the Noether theorem is done in two steps: first， the Noether theorem under a special one-parameter group of infinitesimal transformations without transforming the time is proved； second， by using a technique of time-reparameterization，the Noether theorem in its general form is obtained. Two examples are given to illustrate the application of the results.

fractional Birkhoffian system； Noether symmetry； fractional conserved quantity； Riesz fractional derivative

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.068

國家自然科學基金（10972151， 11272227， 11572212）和江蘇省普通高校研究生科研創新計劃（CXZZ11_0949）資助

2015-10-07；

2016-02-10； 網絡出版日期: 2016-07-14