彈性細(xì)桿靜力學(xué)的薛定諤粒子波動(dòng)比擬

王　鵬　薛　紜1. 濟(jì)南大學(xué)土木建筑學(xué)院， 濟(jì)南 500； . 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 上海 01418；? E-mail: sdpengwang@163.com

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彈性細(xì)桿靜力學(xué)的薛定諤粒子波動(dòng)比擬

王鵬1，?薛紜2
1. 濟(jì)南大學(xué)土木建筑學(xué)院， 濟(jì)南 250022； 2. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 上海 201418；? E-mail: sdpengwang@163.com

研究彈性細(xì)桿靜力學(xué)的薛定諤粒子波動(dòng)比擬。類似于 Kirchhoff 動(dòng)力學(xué)比擬， 依據(jù)彈性細(xì)桿曲率平衡微分方程與一維定態(tài)非線性薛定諤方程數(shù)學(xué)形式的相似性， 給出兩者的動(dòng)力學(xué)比擬關(guān)系， 稱為Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬。基于比擬關(guān)系， 給出彈性細(xì)桿方程的 Jacobi 橢圓函數(shù)解， 并畫出此解所描述的彈性細(xì)桿的空間位形。Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬建立了波函數(shù)的量子態(tài)與彈性細(xì)桿的幾何構(gòu)型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，給予波函數(shù)的量子態(tài)直觀的幾何圖像， 為彈性細(xì)桿方程的求解提供了新的途徑。

彈性細(xì)桿平衡微分方程； 動(dòng)力學(xué)比擬； 薛定諤方程

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

Kirchhoff 動(dòng)力學(xué)比擬理論利用彈性桿平衡微分方程與剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程之間的相似性， 將動(dòng)力學(xué)的概念和研究方法注入彈性桿靜力學(xué)， 奠定了彈性桿靜力學(xué)的理論基礎(chǔ)。近年來(lái)， 彈性細(xì)桿作為DNA分子等的力學(xué)模型［1-4］， 重新引起重視。

由于描述對(duì)象的極端細(xì)長(zhǎng)及軟物質(zhì)特性， 使得彈性細(xì)桿力學(xué)完全不同于經(jīng)典彈性桿力學(xué)， 表現(xiàn)出更復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)和強(qiáng)非線性， 給求解帶來(lái)困難。大部分的研究利用數(shù)值計(jì)算求其數(shù)值解［5-6］。Shi等［7-8］通過(guò)引入復(fù)主矢和復(fù)主矩， 導(dǎo)出一類一維定態(tài)非線性薛定諤方程， 并給出 DNA 分子軸線的封閉解。Xue 等［9］進(jìn)一步將結(jié)果推廣到非圓截面的一般情形。Wang 等［10］利用對(duì)稱性得出彈性細(xì)桿的一些守恒量。

關(guān)于非線性薛定諤方程的精確解的討論已有許多卓越的工作［11］。由于彈性細(xì)桿的特殊性， 致使Shi等［7-8］給出的彈性細(xì)桿薛定諤方程形式無(wú)法直接與非線性薛定諤方程比擬。我們發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)桿的撓率為常量時(shí)， 類似于 Kirchhoff 動(dòng)力學(xué)比擬可將彈性細(xì)桿的平衡微分方程在數(shù)學(xué)形式上完全等同于非線性薛定諤方程， 進(jìn)而可給出彈性細(xì)桿力學(xué)的一類新的精確解。我們將這種等同條件稱為 Schr?dinger粒子波動(dòng)比擬。

本文利用 Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬， 給出彈性細(xì)桿方程一類新的精確解， 畫出精確解及數(shù)值解所描述的彈性細(xì)桿圖像， 為彈性細(xì)桿方程的求解提供新的途徑。

1　彈性細(xì)桿平衡微分方程

研究在Kirchhoff假定下長(zhǎng)為L(zhǎng)的彈性細(xì)桿。建立慣性坐標(biāo)系 O-ξηζ， 沿慣性坐標(biāo)軸的單位基矢為

s 表示弧坐標(biāo)。以中心線上任意點(diǎn) P 為原點(diǎn)， 建立固結(jié)于截面的主軸坐標(biāo)系 P-xyz， 其中 x， y 軸位于桿截面內(nèi)， 其基矢量 e1和 e2分別沿中心線的法向和副法向， 并且則彈性細(xì)桿中心線的矢徑為沿中心線切向， 中心線不可拉伸， 滿足

彈性細(xì)桿可看做由桿截面沿中心線的運(yùn)動(dòng)形成。桿的彎曲和扭轉(zhuǎn)可用彎扭度ω來(lái)表征， 定義［5］為

其中，

κ和τ分別為桿撓性線的曲率和撓率， χ為截面相對(duì)Frenet坐標(biāo)系的扭角。彈性細(xì)桿平衡微分方程在主軸坐標(biāo)系中的表示［5］為

2　Kirchhoff彈性細(xì)桿的曲率方程

假設(shè)分布力為接觸力， 方向垂直于切向， 故f沿切向分量為零。由于無(wú)摩擦， 接觸力矩 m=0。彈性桿方程（3）可表示為復(fù)曲率形式［9］:

其中，

為積分常量， σ為泊松比，

ω10， ω20， ω30表示常扭率。

雖然文獻(xiàn)［8-9］給出彈性細(xì)桿方程一類非線性薛定諤方程， 但未做進(jìn)一步討論， 而是給出用曲率表示的 Euler-Lagrange 方程。由于含有曲率三次方的倒數(shù)， 導(dǎo)致其不能與薛定諤方程比擬。現(xiàn)在將表示為如下復(fù)指數(shù)形式:

代入方程（5）中， 得到

其中，

由式（6）得到

代入式（2）中第三項(xiàng)， 計(jì)算得到撓率:

即方程（7）表示撓率和扭率為常量的彈性桿。

3　Kirchhoff彈性細(xì)桿曲率方程與薛定諤方程的比擬

3.1一維非線性薛定諤方程的Jacobi橢圓函數(shù)解

一維非線性薛定諤方程的一般形式為

是非線性相互作用系數(shù)， 也稱Landau系數(shù)。假設(shè)方程的解有形式其中， E為波函數(shù)的能量， 在定態(tài)中振幅（）xφ仍稱為波函數(shù)。代入NLS方程， 得到

其中，

式（11）稱為一維定態(tài)非線性薛定諤方程。如果α ＞0，β ＞0， 則定態(tài)非線性薛定諤方程具有 Jacobi 橢圓函

數(shù)解［11］:

其中， dn［ ］為第三類 Jacobi 橢圓函數(shù)， k 為 Jacobi橢圓函數(shù)的模。

3.2Kirchhoff彈性細(xì)桿曲率方程的Schr?dinger粒子波動(dòng)比擬與精確解

忽略接觸力， 方程（7）變?yōu)?/p>

在滿足條件

的情況下， 方程（13）與一維定態(tài)非線性薛定諤方程（11）具有相同的數(shù)學(xué)形式， 我們稱方程（13）為彈性細(xì)桿曲率表示的一維定態(tài)非線性薛定諤方程。類似于 Kirchhoff 動(dòng)力學(xué)比擬， 我們給出曲率表示的彈性細(xì)桿方程與一維定態(tài)非線性薛定諤方程的比擬關(guān)系， 見表1。

表1　Schr?dinger粒子波動(dòng)比擬： 薛定諤方程與彈性細(xì)桿曲率方程Tabel 1　Schr?dinger partical fluctuation anology: Schr?dinger equation and curvature equation of thin elatic rod

在Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬關(guān)系下， 方程（13）具有Jacobi橢圓函數(shù)解:

根據(jù) Jacobi 橢圓正弦函數(shù) Sn［ ］與橢圓 Delta 函數(shù)dn［ ］的關(guān)系， 我們得到橢圓正弦函數(shù)表示的彈性桿的曲率:

4　彈性細(xì)桿的三維幾何圖像

4.1精確解對(duì)應(yīng)的幾何圖像

給出彈性細(xì)桿的彎扭度解之后， 就可確定撓性線的位形和截面的姿態(tài)。對(duì)于Jacobi橢圓函數(shù)形式的曲率解（式（16））， 令

可以得到

4.2彈性細(xì)桿數(shù)值模擬

引入無(wú)量綱弧坐標(biāo)、曲率和撓率:

以及無(wú)量綱參數(shù)

可得到方程（13）的無(wú)量綱形式。方程的撓率為常數(shù)。令

方程曲率的初值為κ（0）=0.20， 其一階導(dǎo)數(shù)的初值為（0）0.20， κ′=可以得到數(shù)值模擬圖像（圖2）。按照Schr?dinger粒子波動(dòng)比擬， 圖2中的圖像對(duì)應(yīng)粒子波函數(shù)初值取時(shí)的波動(dòng)狀態(tài)。

5　結(jié)論

本文通過(guò)引入復(fù)曲率的一種特殊表示， 將彈性細(xì)桿 Kirchhoff 方程化為與一維定態(tài)非線性薛定諤方程數(shù)學(xué)形式上相似的曲率方程， 給出其與 Schr?dinger粒子波動(dòng)的比擬關(guān)系。

通過(guò) Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬關(guān)系， 給出 Kirchhoff 彈性細(xì)桿的曲率隨弧坐標(biāo)變化的 Jacobi 橢圓函數(shù)形式， 從而實(shí)現(xiàn)將非線性薛定諤方程解移植到彈性細(xì)桿力學(xué)中。利用本文方法， 也可將非線性薛定諤方程其他解引入彈性細(xì)桿方程； 同時(shí)， 如何將彈性細(xì)桿解引入薛定諤方程也值得進(jìn)一步研究。

本文畫出精確解與數(shù)值解所對(duì)應(yīng)的彈性細(xì)桿圖像， 給出Schr?dinger粒子波動(dòng)比擬下， 粒子波動(dòng)狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的彈性細(xì)桿幾何位形。

Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬的意義在于: 類似于Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬， 給出定態(tài)波函數(shù)的不同量子態(tài)在 Schr?dinger 粒子波動(dòng)比擬下對(duì)應(yīng)的彈性細(xì)桿的不同幾何圖像， 為彈性細(xì)桿方程的求解提供了新的途徑。

［1］ Benham C J， Mielke S P. DNA mechamics. Annu Rev Biomed Eng， 2005， 7（1）: 21-53

［2］ 劉延柱. 彈性細(xì)桿的非線性力學(xué): DNA 力學(xué)模型的理論基礎(chǔ). 北京: 清華大學(xué)出版社， Springer 出版社， 2006

［3］ Liu Y Z， Sheng L W. Stability and vibration of a helical rod with circular cross section in a viscous medium. Chin Phys， 2007， 16（4）: 891-896

［4］ 薛紜， 劉延柱. Kirchhoff 彈性直桿在力螺旋作用下的穩(wěn)定性. 物理學(xué)報(bào)， 2009， 58（10）: 6737-6742

［5］ Klapper I. Biological applications of dynamics of twisted elastic rods. J Computational Phys， 1996， 125: 325-337

［6］ 黃磊， 包光偉， 劉延柱. 彈性細(xì)桿彎曲的 Kirchhoff方程的違約校正求解. 物理學(xué)報(bào)， 2005， 54（6）: 2457-2462

［7］ Shi Y M， Hearst J E. The Kirchhoff elastic rod， the nonlinear Schrodinger equation， and DNA supercoiling. J Chem Phys， 1994， 101: 5186-5200

［8］ Shi Y M， Borovik A E， Hearst J E. Elastic rod model incorporation shear and extension， generalized nonlinear Schrodinger equations， and novel closedform solutions for supercoiled DNA. J Chem Phys，1995， 103: 3166-3183

［9］ Xue Y， Liu Y Z， Chen L Q. The Schr?dinger equation for a Kirchhoff elastic rod with noncircular cross section. Chin Phys， 2004， 13（10）: 794-797

［10］ Wang P， Xue Y， Liu Y L. Mei symmetry and conserved quantities in Kirchhoff thin elastic rod statics. Chin Phys B， 2012， 21: 070203-070206

［11］ 劉適式， 劉適達(dá). 物理學(xué)中的非線性方程. 北京:北京大學(xué)出版社， 2000

Dynamics Analogy of Thin Elastic Rod and Schr?dinger Particle Wave

WANG Peng1，?， XUE Yun2

1. School of Civil Engineering and Architecture， University of Jinan， Jinan 250022；2. School of Mechanical Engineering， Shanghai Institute of Technology， Shanghai 201418；? E-mail: sdpengwang@163.com

The Schr?dinger analogy of thin elatic rod is studied. Compared with the Kirchhoff dynamics analogy，the Schr?dinger analogy is proposed. By the new analogy， the Kirchhoff equation of elastic rod can be written as curvature equation which is similar to nonlinear Schr?dinger equation. Thus， the Jacobi elliptic function solution of Schr?dinger equation can be taken into elastic rod equation. The space configurations of the elastic rod described by the solution are given. Schr?dinger analogy reveals the relations between the quantum state of wave function and the geometry configuration of elastic rod， and gives a new way to solve the Kirchhoff equation.

stationary differential equation of thin elastic rod； dynamics analogy； Schr?dinger equation

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.073

國(guó)家自然科學(xué)基金（11262019， 11372195）資助

2015-10-12；

2016-02-03； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14