典型微擾力學系統的近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和近似Mei對稱性

樓智美　王元斌　謝志堃

1. 紹興文理學院物理系, 紹興 312000; 2. 紹興文理學院數學系, 紹興 312000;? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

?

典型微擾力學系統的近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和近似Mei對稱性

樓智美1，?王元斌2謝志堃1

1. 紹興文理學院物理系, 紹興 312000; 2. 紹興文理學院數學系, 紹興 312000;? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

利用3種近似對稱性方法(近似Lie對稱性法、近似Noether對稱性法和近似Mei對稱性法)研究典型微擾力學系統的一階近似對稱性和近似守恒量。結果表明, 利用近似Lie對稱性法找到的6個一階近似對稱性和近似守恒量與利用近似Noether對稱性法找到的相同, 而利用近似Mei對稱性法只能找到其中5個一階近似對稱性和近似守恒量。

微擾力學系統; 近似Lie對稱性; 近似Noether對稱性; 近似Mei對稱性; 近似守恒量

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

分析力學中研究力學系統的對稱性與守恒量有3種對稱性方法[1–2]: Lie對稱性法、Noether 對稱性法和Mei對稱性法。引進群無限小變換, 微分方程在此變換下保持不變為 Lie 對稱性, 哈密頓作用量在此變換下保持不變為 Noether 對稱性, 力學系統的動力學函數在此變換下仍然滿足運動方程為Mei對稱性。事實上, 許多實際力學系統的某些參數常常會隨著位移、速度和時間的變化發生微小的變化, 即力學系統受到微擾作用, 這樣的力學系統稱為微擾力學系統。此類系統的近似對稱性和近似守恒量研究對于研究力學系統的特性至關重要。目前, 研究微擾力學系統近似對稱性與近似守恒量有兩種近似對稱性法: 近似 Lie 對稱性法[3]和近似Noether 對稱性法[4]。引進近似的群無限小變換, 微分方程在此變換下近似保持不變為近似 Lie 對稱性; 哈密頓作用量在此變換下近似保持不變則為近似 Noether 對稱性, 所得的守恒量為近似守恒量。

近年來, 關于常微分方程、偏微分方程近似對稱性和近似守恒量的研究已取得很多成果[3–16], 文獻[3–14]采用的方法都是近似 Lie 對稱性法或近似Noether對稱性法, 其中文獻[3–11]側重近似對稱性理論的研究, 文獻[12–14]側重近似對稱性理論的實際應用, 文獻[15]提出用直接積分法求近似守恒量的方法, 文獻[16]將直接積分法應用于求二階近似守恒量。但是, 到目前為止, 還沒有建立用近似Mei對稱性研究近似守恒量的理論, 關于3個近似對稱性理論相互關系方面也沒有深入的研究。事實上, 近似Lie對稱性法和近似Noether對稱性法是在Lie對稱性法和Noether對稱性法的基礎上發展起來的, 那么在Mei對稱性法的基礎上也可以建立相應的近似Mei對稱性法, 即引進近似的群無限小變換, 力學系統的動力學函數在此變換下近似滿足運動方程為近似Mei對稱性。

本文分析近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和Mei對稱性理論, 討論3種對稱性間的關系,并以頻率比為2:1的弱非線性耦合諧振子為例, 研究系統的一階近似對稱性和近似守恒量。

1　近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和近似Mei對稱性理論

1.1近似Lie對稱性理論［3］

具有n個自由度的微擾Lagrange力學系統, 其 Lagrange 函數可以表示為, 其中為廣義坐標,為廣義速度, 01ε＜?為微擾系數。微擾 Lagrange 力學系統的運動微分方程可以表示為

方程(1)可簡寫為

則可求出所有的廣義加速度:

引進近似的群無限小變換

其中s=1, 2, …, n, δ為無限小參數, τ 和ξs為無限小變換生成元。式(5)的無限小生成元向量為

式(6)的一次擴展為

二次擴展為

式(5)~(8)中,

其中s=1, 2, …, n, k為微擾項的階數。

運動微分方程(1)的k階近似Lie對稱性是指式(4)在近似的群無限小變換(式(5))下近似保持不變[3], 即

若存在規范函數

滿足

則系統存在k階近似守恒量

且

滿足

1.2近似Noether對稱性理論

近似Noether 對稱性[4]指在近似的群無限小變換(式(5))下, 哈密頓作用量在此變換下近似保持不變, 即則稱無限小變換(式(5))為近似Noether對稱變換。

若無限小生成元(式(9))和規范函數(式(11))滿足確定方程(12), 則存在相應的近似守恒量(式(14))。

將式(9)和(11)代入式(12), 并比較式(12)兩邊的系數, 可求得無限小生成元τ 和ξs以及規范函數G。將 Lagrange 函數L及求得的無限小生成元τ 和ξs以及規范函數G代入式(14), 可求得系統的近似守恒量I。

1.3近似Mei對稱性理論

假設經無限小變換(5)后, 系統的 Lagrange 函數變成*L:如果用變換后的 Lagrange 函數*L代替變換前的L時, 方程(2)的形式近似保持不變, 即

那么稱這種不變性為系統的k階近似Mei對稱性。

將式(17)代入式(18), 忽略2δ及更高階小量,并利用式(2), 得到

對于微擾Lagrange力學系統(式(2)), 如果無限小生成元,sτξ滿足方程(19), 則相應的近似不變性為系統的k階近似Mei對稱性。方程(19)稱為近似Mei對稱性的判據方程。

若無限小生成元(式(9))和規范函數(11)滿足確定方程(12), 則存在相應的近似守恒量(式(14))。

將 Lagrange 函數L代入式(19)并展開, 令ε0, ε1,…, εk的系數為0, 可求得無限小生成元 τ 和ξs。將所得生成元代入式(12), 并比較等式兩邊ε0, ε1,…, εk的系數可求得規范函數G。將Lagrange函數L及求得的無限小生成元τ 和ξs以及規范函數G代入式(14), 可求得系統的近似守恒量I。

1.43種對稱性的關系

若無限小生成元(式(9))滿足式(10), 說明系統具有近似 Lie 對稱性。若無限小生成元(式(9))滿足式(10)且滿足式(12), 并能找到相應的規范函數, 則說明系統既具有近似 Lie 對稱性, 又具有近似Noether 對稱性, 找到的近似守恒量既是近似 Lie對稱性守恒量, 又是近似Noether對稱性守恒量。

若無限小生成元(式(9))滿足式(19), 則說明系統具有近似Mei對稱性。若無限小生成元(式(9))同時滿足式(10)和(19), 則說明系統同時具有近似Lie對稱性和近似Mei對稱性。

若無限小生成元(式(9))同時滿足式(10), (12)和(19), 并能找到相應的規范函數, 則說明系統同時具有近似 Lie 對稱性、近似 Mei 對稱性和近似Noether 對稱性, 找到的近似守恒量既是近似Lie對稱性守恒量, 又是近似 Mei 對稱性守恒量, 也是近似Noether對稱性守恒量。

2　典型微擾力學系統的一階近似對稱性和一階近似守恒量

頻率比為 2:1 的弱非線性耦合諧振子的Lagrange函數[13]為

運動微分方程為

2.1一階近似Lie對稱性與近似守恒量

研究系統的一階近似 Lie 對稱性與近似守恒量。將式(21)代入式(10)并展開, 令的系數為0, 可求得如下6組生成元[13]:

說明頻率比為 2:1 的弱非線性耦合諧振子系統具有6個一階近似Lie對稱性。將式(20)和(22)代入式(12), 并比較等式兩邊的系數, 可求得與上述6組生成元相應的規范函數[13]:

將式(20), (22)和(23)代入式(14), 得到 6 個一階近似守恒量[13]:

其中,

2.2一階近似Noether對稱性與近似守恒量

研究系統的一階近似 Noether 對稱性與一階近似守恒量。式(22)表示的 6 組生成元和式(23)表示的 6 個規范函數均符合Noether恒等式(12), 因此,系統同時具有式(22)表示的 6 個一階近似 Noether對稱性和式(24)表示的 6 個一階近似 Noether 守恒量。

2.3一階近似Mei對稱性與近似守恒量

研究系統的一階近似Mei 對稱性與一階近似守恒量。將式(20)代入式(19), 只能求得如下5組生成元:

這5組生成元與式(22)中的前5組相同。將式(20)和(26)代入式(12), 并比較等式兩邊的系數,可求得與上述5組生成元相應的規范函數:

這5個規范函數與式(23)中前 5 個規范函數相同。

將式(20), (26)和(27)代入式(14), 得到5個一階近似守恒量:

這5個守恒量與(24)式中的前5個守恒量相同。由近似 Mei 對稱性只能求得微擾力學系統的哈密頓函數和4個平凡的一階近似守恒量, 不能求得穩定的一階近似守恒量。

3　結論

本文闡述了 3 種近似對稱性理論及其相互關系, 并用 3 種近似對稱性理論研究了頻率比為2:1的弱非線性耦合諧振子的近似對稱性與近似守恒量, 結果表明, 利用近似 Lie 對稱性法和近似Noether對稱性法能找到 6 個相同的一階近似對稱性和近似守恒量。6 個近似守恒量中, 1個是系統的哈密頓函數; 4 個是平凡的一階近似守恒量, 1個是穩定的一階近似守恒量。用近似Mei對稱性法只能找到5個一階近似對稱性和近似守恒量, 且5個近似守恒量與用近似Lie對稱性法和近似Noether對稱性法找到的其中5個相同。用近似Mei對稱性法只找到哈密頓函數和4個平凡的一階近似守恒量, 不能找到穩定的一階近似守恒量。結果說明,系統要具有近似Mei對稱性的條件更嚴。

[1] 梅鳳翔. 李群和李代數對約束力學系統的應用. 北京: 科學出版社, 1999

[2] 梅鳳翔. 約束力學系統的對稱性與守恒量. 北京:北京理工大學出版社, 2004

[3] Leach P G L, Moyo S, Cotsakis S, et al. Symmetry, singularities and integrability in complex dynamicsⅢ: approximate symmetries and invariants. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2001, 8(1): 139–156

[4] Govinder K S, Heil T G, Uzer T. Approximate Noether symmetries. Physics Letters A, 1998, 240(3): 127–131

[5] Naeem I, Mahomed F M. Approximate first integrals for a system of two coupled van der Pol oscillators with linear diffusive coupling. Mathematical and Computational Applications, 2010, 15(4): 720–731

[6] Unal G. Approximate generalized symmetries, normal forms and approximate first integrals. Physics Letters A, 2000, 266(2): 106–122

[7] Dolapci I T, Pakdemirli M. Approximate symmetries of creeping flow equations of a second grade fluid. International Journal of Non-linear Mechanics, 2004, 39(10): 1603–1619

[8] Kara A H, Mahomed F M, Qadir A. Approximate symmetries and conservation laws of the geodesic equations for the Schwarzschild metric. Nonlinear Dynamics, 2008, 51(1/2): 183–188

[9] Grebenev V N, Oberlack M. Approximate Lie symmetries of the Navier-Stokes equations. Journal of Non-linear Mathematical Physics, 2007, 14(2): 157–163

[10] Johnpillai A G, Kara A H, Mahomed F M. Approximate Noether-type symmetries and conservation laws via partial Lagrangians for PDEs with a small parameter. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 223(1): 508–518

[11] Zhang Z Y, Yong X L, Chen Y F. A new method to obtain approximate symmetry of nonlinear evolution equation form perturbations. Chinese Physics B, 2009, 18(7): 2629–2633

[12] 樓智美. 兩自由度弱非線性耦合系統的一階近似Lie對稱性與近似守恒量. 物理學報, 2013, 62(22): 220202

[13] 樓智美, 梅鳳翔, 陳子棟. 弱非線性耦合二維各向異性諧振子的一階近似 Lie 對稱性與近似守恒量.物理學報, 2012 61(11): 110204

[14] 樓智美. 微擾Kepler系統軌道微分方程的近似Lie對稱性與近似不變量. 物理學報, 2010, 59(10): 6764–6769

[15] 樓智美. 含非線性微擾項的二階動力學系統的一階近似守恒量的一種新求法. 物理學報, 2014, 63(6): 060202

[16] 樓智美. 兩自由度微擾力學系統的二階近似守恒量.動力學與控制學報, 2015, 13(3): 165–169

Approximate Lie Symmetries， Approximate Noether Symmetries and Approximate Mei Symmetries of Typical Perturbed Mechanical System

LOU Zhimei1，?， WANG Yuanbin2， XIE Zhikun1
1. Department of Physics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; 2. Department of mathematics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; ? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

Three methods, which are approximate Lie symmetry method, approximate Noether symmetry method and approximate Mei symmetry method, are adopted to study the first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of a typical perturbed mechanical system. Six identical first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of the typical perturbed mechanical system are obtained by approximate Lie symmetry method and approximate Noether symmetry method, but only five of them can be obtained by approximate Mei symmetry method.

perturbed mechanical system; approximate Lie symmetry; approximate Noether symmetry; approximate Mei symmetry; approximate conserved quantity

O320

10.13209/j.0479-8023.2016.080

國家自然科學基金(11472177)資助

2015-10-09;

2016-02-13; 網絡出版日期: 2016-07-14