幾何精確梁的Hamel場變分積分子

王　亮　安志朋　史東華

北京理工大學數學與統計學院， 北京 100081； ? 通信作者， E-mail: dshi@bit.edu.cn

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幾何精確梁的Hamel場變分積分子

王亮安志朋史東華?

北京理工大學數學與統計學院， 北京 100081； ? 通信作者， E-mail: dshi@bit.edu.cn

利用場論下的 Hamel 形式， 對幾何精確梁提出一種保結構的變分積分子， 并通過數值仿真說明該算法保持能量、動量和幾何結構的特性。

幾何精確梁； Hamel場變分積分子； 保結構

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

幾何精確梁的動力學廣泛存在于大范圍運動的力學系統中， 例如， 可應用于柔性機器人［1］， 使之可以做大量復雜的變形， 從而完成更多具有挑戰性的工作； 也可用于聚合物長鏈的動力學模擬， 在研究 DNA 的動力學［2］中發揮重要作用。對于幾何精確梁的模型， Reissner［3］首先提出大范圍運動的應變梁模型， Antman 等［4-5］在此基礎上進行完善， 得到經典的Kirchhoff-Love模型。Simo等［6］在上述模型的基礎上考慮剪切變形， 使之廣泛適用于梁的大位移和大轉動的運動情形。

在幾何精確梁的數值模擬算法研究方面， 傳統方法是直接對運動方程進行離散， 這類方法大都不能保持系統的力學和幾何結構， 存在數值耗散問題，不適用于長時間的運動模擬［7］。Marsden 等［8］基于經典力學中Hamilton原理的離散形式， 提出的變分積分子在一定程度上可以克服上述缺陷。Lew 等［9］指出， 變分積分子能夠較好地保持系統的幾何結構，避免傳統離散方法的數值耗散問題。對于幾何精確梁， Demoures 等［10］提出李群和李代數變分積分子，得到保持能量和動量的幾何算法， 但該算法對空間和時間分別離散， 沒有充分利用勢能的歐式群不變性進行約化， 實現過程較復雜。Ball 等［11］對有限維系統提出Hamel變分積分子， 其框架可統一描述李群及李代數變分積分子， 尤其適用于帶對稱性的非完整約束力學系統。Shi 等［12］將其在場論框架下推廣， 得到Hamel場變分積分子。本文將其應用于幾何精確梁， 得到一種新的保結構算法。

本文在回顧幾何精確梁模型后， 重新推導幾何精確梁的 Hamel 場方程， 進而用 Hamel 場變分積分子得到幾何精確梁的離散運動方程。最后給出實例， 說明該算法能長時間保持能量、動量和幾何結構的特點。

1　幾何精確梁的動力學

1.1幾何精確梁的Lagrange函數

首先回顧幾何精確梁的動力學模型［13］。

取定物質標架的一組固定基｛E1， E2， E3｝， 初始時梁位于（E2， E3）平面上。設梁長為l， 密度為ρ， 截面A為面積為A的正方形。

因幾何精確梁的截面做剛體運動， 其位形由中線的位置函數和截面的旋轉矩陣

給出。

考慮主叢（E， B， πBE）， 其中

πBE為叢投影。梁的位形空間為上述叢光滑截面的全體C∞（πBE）。下文為方便起見， 記

并不加聲明地利用映射

建立同構

引入對流速度

以及對流應變變量

幾何精確梁適用于大范圍運動的一個主要原因在于其Lagrange函數具有歐式群作用不變性， 故可表示為

J為慣性矩陣

1.2幾何精確梁的Hamel場方程

據上述Lagrange函數， 可以定義作用泛函為

此外， 通過計算易得下列變分公式:

由上述變分公式和Hamilton原理， 容易計算得到梁的Hamel場方程為

邊界條件為

從式（1）和（2）求解g需要如下相容性條件:這可以從式（1）和（2）出發， 直接計算驗證。相容性條件是由tξ和sξ生成的分布決定位形的可積性條件， 在幾何上可解釋為局部平坦性條件， 對于一般性的相容性條件參見文獻［14］。

求解tξ和sξ需聯立方程組（3）和（4）及上述相容性條件。

2　幾何精確梁的 Hamel 場變分積分子

設梁的空間節點數為 K， 空間步長為hΔ， 時間步長為tΔ， 時間步數為N。

為方便起見， 以下對于序列｛qi，j｝， 令

相應的作用和為

利用離散變分原理易得如下結論: 序列滿足離散變分原理①對適用于一般Lagrange 場論的離散Hаmеl 場方程，參見文獻［12］。

及以下離散的相容性條件

邊界條件為

用（3）se的Lie括號及其對偶定義， 可直接驗證式（5）及（6）中的帶括號項為

① 對適用于一般Lagrange場論的離散Hamel場方程， 參見文獻［12］。

該離散格式的實現步驟如下: 1） 給定i， 輸入序列

和

并代入離散格式（5）中， 通過修正的牛頓迭代法求解非線性方程組， 更新序列

2） 將所得的序列

和

代入離散格式（6）中， 求解線性方程組， 更新序列

3） 重復步驟 1 和 2， 可得到所有節點處的值。

4） 根據序列

并利用指數映射

及公式

迭代可得到

由幾何精確梁的離散格式及離散的Noether定理［8］可以驗證， 上述算法保持如下定義的離散動量:

其中，

3　數值仿真

考慮初始位置如圖1所示的不受外力的幾何精確梁。其參數［15］如下: 梁l=2π/3， 橫截面是邊長為a = 0.1的正方形， 密度ρ=1000， 楊氏模量E=107，泊松比ν=0.35。

取時間步長為Δt=10-4s， 空間節點數K= 101。根據上述的初始位形， 計算得到初始的對流應變變量為

且給定梁的初速度為

為了提高計算速度， 本文使用指數映射的近似映射—— Cayley變換［16］， 即用下式取代式（7）

這里 I4表示4階單位矩陣。

從圖 2 可見， Hamel 場變分積分子雖不能精確地保持能量， 但可使能量長時間穩定在一個很小區間內。本例能量取值為 99， 振幅區間長度僅為 0.7，說明該數值格式有好的長時間能量表現。

幾何精確梁的角動量和線動量如圖3所示， 說明該算法保持角動量和線動量。

圖 4 是旋轉矩陣正交性驗證結果， 誤差數量級達到10-14， 說明該算法精確地保持李群結構。

對于中線的節點， 每隔 10 個節點取一個截面，給出梁分別在不同時間點處的運動狀態（圖5）。

4　結論

本文通過Hamel場變分積分子， 得到幾何精確梁的離散運動方程， 該算法具有保持能量、動量和幾何結構的特點。與以往幾何精確梁的李群變分積分子［10］不同， 在協變場論的觀點下， 將時空等同離散和變分， 可有效地利用勢能的對稱性進行約化。本文最后以 R3中的幾何精確梁為例進行仿真， 結果表明該算法能夠長時間保持能量、動量以及李群結構。下一步我們將進行算法分析， 與已有算法對比， 并將 Hamel 場變分積分子應用于Chaplygin-Timoshenko 雪橇等無窮維非完整力學系統。

致謝感謝Dmitry Zenkov在論文寫作過程中的幫助。

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Hamel's Field Variational Integrator of Geometrically Exact Beam

WANG Liang， AN Zhipeng， SHI Donghua?
School of Mathematic and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081；? Corresponding author， E-mail: dshi@bit.edu.cn

This paper develops a structure-preserving variational integrator for geometrically exact beam in Hamel's field formalism. A simulation illustrates that the derived algorithm preserves energy， momentum and geometry structure.

geometrically exact beam； Hamel's field variational integrator； structure-preserving

O302； O33； O242

10.13209/j.0479-8023.2016.079

國家留學基金資助

2015-10-19；

2016-03-14； 網絡出版日期: 2016-07-12