空間物體點接觸純滾動的幾何意義

趙　振　劉才山　魯建東

1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院， 北京 100191； 2. 北京大學工學院， 北京 100871； 3. 北京印刷學院， 北京 102600；? E-mail: bhzhaozhen@buaa.edu.cn

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空間物體點接觸純滾動的幾何意義

趙振1，?劉才山2魯建東3

1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院， 北京 100191； 2. 北京大學工學院， 北京 100871； 3. 北京印刷學院， 北京 102600；? E-mail: bhzhaozhen@buaa.edu.cn

空間物體間點接觸純滾動的相互作用一般包含非完整約束， 而約束所限制的虛位移通常采用速度水平的 Appell-Chetaev 條件給出， 因此點接觸純滾動約束對應的幾何意義并不直觀。作者從多體系統中兩物體沿其輪廓面做點接觸純滾動的問題出發， 探討此類非完整約束對應的幾何意義。首先， 提出兩物體保持點接觸的充分必要條件， 并以球-面系統為例推導接觸時的約束方程。然后， 由空間物體點接觸純滾動的幾何和速度約束， 推導此時滿足的兩種幾何限制條件。結果表明， 采用兩種幾何條件獲得的虛位移與速度約束的Appell-Chetaev 條件相同。因此， 可以認為保持點接觸純滾動的空間兩物體在位形空間受到兩種幾何條件的約束限制。

點接觸； 約束方程； 非完整約束； Appell-Chetaev條件

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

的作用， 并且此約束的虛位移滿足下式［1］:

則式（2）稱為Appell-Chetaev條件。經典分析力學指出， 如果式（1）為完整約束， 則式（2）的幾何意義為約束積分曲面時間凝固后的任一無窮小位移。但是， 如果式（1）為非完整的， 則式（2）的幾何意義就很不直觀。本文從空間物體點接觸純滾動的問題入手， 討論此時非完整約束虛位移（式（2））的幾何意義。

1　球在水平面上的純滾動

半徑為R的球在粗糙水平面上做純滾動， 在水平面建立慣性直角坐標系Oxyz， 球中心在慣性直角坐標系下的分量表示為歐拉角為粗糙水平面的位置0z=， 球在粗糙水平面上做純滾動的約束方程可寫為其中rτv為接觸點的速度在水平面上的分量。式（3）的第1個等式為完整約束， 而第2個等式一般為兩個非完整約束。對于非完整約束， 其虛位移可由Appell-Chetaev條件（式（2））給出。通過拉格朗日乘子把約束嵌入到動力學方程中。

受到完整約束作用的系統只能沿著完整約束規定的幾何限制運動， 而受非完整約束作用的系統，其位形空間似乎并不受這些約束的任何限制。以球-面系統為例， 只要外力允許， 平面上的任何點都是可達的。但是根據Appell-Chetaev條件， 系統在每一位置的位形空間似乎不是完全自由的， 因為廣義坐標虛位移并不是完全獨立的。

本文從點接觸問題入手， 探討一般情況下空間物體點接觸和純滾動時約束（式（3））的由來。我們認為， 非完整約束的最初定義是一些力學家對某類問題（如雪橇問題以及點接觸的純滾動問題）直觀的總結， 他們直接把約束形式定義在速度水平上， 從而掩蓋了形成非完整約束所需的幾何位形條件。本文認為， 對于點接觸的非完整約束由位形空間上兩個完整的約束組成， 這兩個完整約束在速度水平表達相同， 同時， 這兩種完整約束限制的虛位移正好滿足Appell-Chetaev條件。

2　保持點接觸的幾何條件

兩個物體形成并保持點接觸運動需要滿足以下兩個條件。

C1: 兩接觸點具有相同的空間位置（或它們的距離一直為零）。

C2: 兩物體的外表面在接觸點相切。

只要兩物體保持點接觸， 除點與線或者點與面接觸時C2 不存在外， 上述兩個條件都需成立。因此， 對于具有一般外形的兩物體的點接觸問題， 可從上述兩個條件出發， 推導此時系統的約束方程［2-3］。下面以球在固定水平面上運動為例， 從上述兩個條件獲得約束（式（3））的第一個方程q3=R。

與此類似， 利用兩個表面參數

如果x和y表示球和平面上的兩個接觸點， 根據點接觸條件C1， 它們具有相同的空間位置:

將式（4）和（5）代入式（6）中， 得到

根據點接觸條件 C2， 球與水平面在接觸點相切:

由式（4）可得到接觸點的切矢量:

將式（9）代入式（8）， 并考慮球-面系統的特殊情況:

或者即

為了消去式（7）和（11）中的參數， 把最終的約束方程只表示為系統的廣義坐標和時間的函數形式，則將式（11）代入式（7）的第3個方程， 得到

式（13）就是球與水平面接觸的約束方程， 式中的正負號以及式（12）中k和n的取值由初始時刻的接觸點決定。

參數方程（式（6）和（8））由點接觸保持的兩個條件C1 和 C2 給出。對于具有一般形狀物體的接觸問題， 得出的參數方程很難像球-面系統一樣能夠消去接觸面的參數， 得到如式（13）所示的只含系統廣義坐標和時間的約束方程。這時， 我們可以采用數值的微分方法， 解出式（6）和（8）決定的接觸點和接觸約束方程。數值方法需要初始接觸點的參數位置， 能夠唯一確定如方程（12）和（13）中的待定符號［2］。

3　保持點接觸純滾動的幾何條件

為兩物體表面輪廓曲紋坐標表示的接觸點對， 根據接觸點局部曲紋坐標到整體慣性坐標的關系， 兩個接觸點在慣性坐標性下的坐標可以表示為和。兩物體保持點接觸意味著它們滿足C1的幾何條件， 即兩點在空間重合:

式（14）兩邊對時間求導數（接觸點也隨系統位形或時間的變化而變化）， 得到

其中vr定義為接觸點的相對速度:

兩物體除保持點接觸外， 還要滿足接觸點切向相對速度為零的純滾動條件（對應球-面系統的方程（3）中的第2個方程）:

這里定義n為接觸點處公法線方向的單位矢量。

因為 n 被設為接觸點處公法線方向的單位矢量， 根據點接觸條件C2， 即兩物體在接觸點相切，可得因此， 式（15）兩邊同時乘以公法線單位矢量n， 可得

如果兩物體保持點接觸并純滾動， 則式（17）和（18）意味著接觸點的相對速度為零:

將式（19）代入（15）中， 得到

只要兩物體保持點接觸純滾動， 則式（20）成立， 意味著

其中1s和2s為兩個接觸點在兩物體表面形成跡線的弧長， 于是可用和表示兩個接觸點。因此， 從式（21）可以得到點接觸純滾動的幾何意義。

1） 兩接觸物體繞著接觸點轉動:

2） 接觸點在物體表面形成的跡線弧長相等并相切:

式（23）的第2個等式雖然是空間矢量方程， 但定義在公切平面上， 因此只限制了一個自由度。

點接觸純滾動的這兩個幾何限制條件可以總結為: 點接觸純滾動時， 兩物體滾過的跡線長度相同（或為零）， 并且方向相切（如果存在）。

下面研究空間兩物體點接觸時， 具有式（22）和（23）幾何約束特征系統的虛位移。由于系統保持點接觸， 即 x - y=0， 所以系統廣義坐標虛位移滿足此方程， 這些廣義坐標虛位移也會引起接觸點的虛位移， 用接觸點參數表示為因此得到

由于兩物體保持點接觸純滾動， 所以接觸點的虛位移滿足式（22）或（23）的幾何限制條件:

把式（25）代入（24）， 具有點接觸純滾動的兩物體的系統在位形空間上應滿足的虛位移限制方程為

這與利用 Appell-Chetaev 條件（式（2））從速度水平約束（式（19）， 同時參考式（16）獲得的虛位移相同。因此可以認為， 做純滾動的兩個物體在位形空間上滿足式（22）或（23）的幾何限制條件。

4　結論

對于完整約束， Appell-Chetaev 條件具有明確的幾何意義。但是對于非完整約束， 此條件的幾何意義并不直觀。空間兩物體保持點接觸純滾動時，其速度水平的約束方程是兩物體接觸點的相對速度為零， 其中接觸切向相對速度為零的約束方程一般為非完整的。本文通過推導發現， 空間兩物體點接觸純滾動要滿足兩種幾何條件的限制: 兩接觸物體滾過跡線的長度相同（或為零）， 并且方向相切（如果存在）。兩種幾何條件限定的虛位移與此時速度約束方程的 Appell-Chetaev 條件所限制的虛位移相同。本文研究對于加強分析力學中虛位移原理的基本地位具有一定的意義。

［1］ 梅鳳翔， 尚玫. 理論力學Ⅱ: 專題教程. 北京: 高等教育出版社， 2012

［2］ Zhen Zhao， Liu Caishan. Contact constraints and dynamical equations in Lagrangian systems ［J/OL］. Multibody System dynamics， 2016 ［2016-02-13］. http://dx.doi.org/10.1007/s11044-016-9503-1

［3］ Pfeiffer F. Unilateral problems of dynamics. Archive of Applied Mechanics， 1999， 69（8）: 503-527

［4］ 陳濱. 分析力學. 2版. 北京: 北京大學出版社，2012

On Nonholonomic Constraints about the Pure Rolling of Point Contact

ZHAO Zhen1，?， LIU Caishan2， LU Jiandong3
1. School of Aeronautic Science and Engineering， Beihang University， Beijing 100191； 2. School of Engineering，Peking University， Beijing 100871； 3. Beijing Institution of Communication， Beijing 102600；? E-mail: bhzhaozhen@buaa.edu.cn

Nonholomonic constraints are involved for 3D point-contact problems. The virtual displacements restrictedby the constraints are usually given by Appell-Chetaev's rule. It has not been very clear of the geometric meaning in configuration space for Appell-Chetaev's rule of nonholonomic constraints. The authors investigate point contact with pure rolling by two rigid bodies in a multibody system to discover its geometric sense. First， the sufficient and necessary conditions of point contact are given. A ball-plane system is presented to demonstrate the validation of the conditions by deducing the system's obvious contact constraint originating from them. Two geometric restrictions for pure rolling are obtained by the nonholonomic constraints of pure rolling as well as the contact constraint in velocity level. It proves that the virtual displacements of the two restrictions are same as those of the constraints of point contact with pure rolling obtained by Appell-Chetaev's rule. So， it is thought that the constraints of pure rolling are constructed by the two geometric restrictions.

point contact； constraint equation； nonholonomic constraint； Appell-Chetaev's rule

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.084

國家自然科學基金（11572017）、北京市教育委員會科技計劃面上項目（KM201310015001）和北京市優秀人才培養項目（2012D005004000002）資助

2015-11-23；

2016-02-13； 網絡出版日期: 2016-07-12