基礎隔震框架結構動力時程分析的精細積分法

胡啟平，王麗娟

(1.河北工程大學土木工程學院， 河北邯鄲056038; 2.河北旅游職業學院， 河北承德067000)

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基礎隔震框架結構動力時程分析的精細積分法

胡啟平1，王麗娟2

(1.河北工程大學土木工程學院， 河北邯鄲056038; 2.河北旅游職業學院， 河北承德067000)

為了求得基礎隔震框架結構抗震性能的高精度數值解，基于層剪切模型建立了結構的動力方程。引入對偶變量，導出動力時程分析的哈密頓正則方程，應用初值問題的精細積分法求得數值解；最后應用MATLAB語言編制程序對一應用橡膠墊基礎的6層框架結構進行多遇地震作用下的動力時程分析。計算結果表明，在相同的地震波作用下，相對于傳統抗震結構，基礎隔震結構的層間位移減少了60%，速度和加速度減少了30%，頂層最大位移減少了15%。由此可見，基礎隔震結構具有優良的抗震性能。該方法是求解基礎隔震框架結構動力時程分析的新方法，計算數據精度高、可靠性好。

哈密頓正則方程；精細積分法；基礎隔震；MATLAB語言；動力時程分析

地震是不可預測的自然災害，給人類生命和財產安全帶來嚴重威脅。傳統的彈塑性抗震設計方法利用結構構件的強度和彈塑性變形，在保證人身安全的同時并不能充分滿足工程的實際需要。在這種背景下，基礎隔震技術[1-4]迅速發展起來。其主要減震原理是在基礎頂部與結構底部之間設置隔震層，使上部結構與基礎隔離開來[5]。這樣，在地震動過程當中，隔震層的變形吸收和消耗了大量的地震能量，同時延長結構體系的自振周期[6]、增大阻尼，從而有效的減少了地震反應。

經過國內外學者的不斷努力，基礎隔震技術在實驗研究與工程應用中都取得了很大的進步。Jenn等[7]對基礎隔震結構進行了振動臺實驗，程曉杰、方詠[8]和徐麗佳[9]利用有限元分析軟件SAP2000對基礎隔震結構進行了分析，結果表明基礎隔震結構減震效果明顯。至今為止，我國已經建成隔震結構近400棟，覆蓋了大部分抗震設防區。本文建立了基礎隔震框架結構動力時程分析的哈密頓對偶求解體系，應用初值問題的精細積分法進行數值計算，給出了一套基礎隔震結構動力時程分析的新方法。

圖1　動力模型Fig.1　Dynamic model

1　基本理論

對于多層現繞鋼筋混凝土框架隔震結構，其上部各層的層間剛度比較小，當地震來臨時，應將其視為多質點結構進行計算分析。本文基于層剪切模型，各層質點的質量采用集中質量法計算，并將其集中于樓層標高處。隔震層的水平剛度為所有隔震墊水平剛度的總和。橡膠墊產生的水平恢復力與水平位移成正比，認為其豎向剛度遠遠大于其水平剛度，故在地震動過程中只考慮水平變形。這種多質點平動體系的動力模型如圖1所示。在分析過程中忽略隔震層頂部樓板的變形，考慮剛性樓板將各平面抗側力結構連接在一起共同承受側向水平荷載。假定地震水平合力作用線通過框架結構的剛度中心，因此不考慮結構在水平荷載作用下繞豎軸的扭轉。

設框架結構共有n層，第i層的層間剛度為kj。將框架結構沿高度按樓層分為若干單元，記每層單元剛度矩陣[10]為：

(1)

應用有限元法由單元剛度矩陣集成上部框架結構整體剛度矩陣K*：

(2)

本文采用多質點模型，每層質量取上下半層之和，并將各層質量集中于樓層標高處，得上部框架結構的質量矩陣為：

M*=diag(M1,M2,…,MN)。

(3)

上部框架結構阻尼采用瑞雷阻尼，其計算公式為：

C*=a0M*+a1K*，

(4)

隔震層及上部框架結構運動方程分別為：

(5)

式中，x=[x1,x2,…,xi,…,xn]T為上部結構相對結構底層水平位移；M*，C*，K*分別為上部框架結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；M0,C0,K0分別為隔震層的質量、阻尼和剛度[11-12]；Mi為框架結構第i層集中質量；Xg為地面地震位移；X0為結構底層與基礎面之間的水平相對位移；I=[1,1,…,1]T為單位向量。

2　運動方程的整合

由式(5)隔震結構體系的運動方程，并令Xi=X0+xi(i=1,2,3,…,N)，將公式整理合并得整體結構的運動方程為：

(6)

M=diag(M0,M1,M2,…,MN),

(7)

(8)

(9)

3　哈密頓正則方程

基礎隔震結構整體動力方程表達式為：

(10)

(11)

精細積分法是求解線性定常微分方程的一種高精度數值解法，矩陣H為哈密頓矩陣，它是一個辛矩陣。哈密頓正則方程采用了狀態空間的描述，引入對偶變量將二階常微分方程組降為一階常微分方程組。因此,本文采用精細積分法(即直接積分法)來求解動力方程式。

取地震波時間間隔η，并將荷載作用時間按η分成若干段，即：

tk=kη,tk=tk-1+η,k=1,2,…,n

(12)

(13)

綜上可得，式(11)的解可以表示為：

(14)

4　計算實例

圖2　框架結構平面圖Fig.2　Plan view of the frame structure

工程實例為一棟6層鋼筋混凝土框架結構辦公樓，其結構平面圖如圖2所示。樓高21.6 m，層高均為3.6 m，框架柱、主梁、次梁和樓板的截面尺寸分別為450 mm×450 mm、300 mm×600 mm、250 mm×500 mm、120 mm，選用C30混凝土。設防烈度為7度，設計抗震分組為第一組，場地類別為三類。每根柱子下設置一個疊層橡膠支座，選用型號GZY300并根據《建筑抗震設計規范》(GB50011-2010)選取，其參數如表1所示。

地震波采用后14 s南北向天津波，間隔為0.01 s，加速度峰值為145.8 mm/s2，并將加速度幅值調整到0.35 m/s2，在多遇地震下對結構進行分析。

表1　隔震支座參數Tab.1　Parameters of the laminated

對上述鋼筋混凝土框架結構應用本文編制的MATLAB程序進行動力時程分析，得層間位移、速度、加速度值如表2所示。結構頂層速度、位移和加速度時程圖如圖3、圖4、圖5所示。

表2　時程分析計算結果Tab.2　The calculation results of time-procedure analysis

由表1可見：應用基礎隔震結構的層間位移相對傳統抗震結構減小明顯，減小率在58%～62%之間，層間位移的大幅度減小可以有效的降低結構在地震過程中的損傷，從而增強了結構的抗震性能，可以更好的保證生命和財產的安全。應用基礎隔震結構的速度和加速度相對于傳統抗震結構大幅減少，減小率在30%左右，而且層數越高，減小率越大。這是因為在地震動過程中，隔震結構的柔性隔震層在吸收了大量的地震能量的同時，也阻隔了地震能量向上部結構的傳遞。

從頂層速度、位移和加速度時程曲線(如圖3、圖4、圖5)可以看出，基礎隔震結構相對于傳統抗震結構的頂層最大速度、最大位移和最大加速度值分別由原來的0.46 m/s、0.07 m、2.31 m/s2降低到了0.31 m/s、0.06 m、1.40 m/s2，結構頂層的地震反應值的降低充分說明了基礎隔震結構對結構的抗震性能有所提高。在地震動過程中可以更好的保證生命和財產的安全。

圖3頂層速度時程曲線

Fig.3Top floor speed curve

圖4頂層位移時程曲線

Fig.4Top floor displacement curve

圖5　頂層加速度時程曲線

5　結　論

本文針對基礎隔震框架結構在多遇地震下的動力時程分析問題給出了一套新的求解方法。應用哈密頓正則方程和精細積分法并編制相應的MATLAB語言程序對一棟6層鋼筋混凝土結構進行了動力時程分析，計算結果表明：基礎隔震結構相對于傳統抗震結構的層間位移減少了60%，速度和加速度減少了30%，同時頂層的最大位移減少了15%，可見減震效果明顯。這樣在保證結構安全的同時,可以適當的降低鋼筋混凝土框架結構的抗震要求，從而降低工程造價，并起到改善房屋使用功能的作用。

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(責任編輯唐漢民梁健)

Precise integration method for dynamic time history analysis of base-isolation frame structures

HU Qi-ping1, WANG Li-juan2

(1.College of Civil Engineering, Hebei University of Engineering, Handan 056038, China；2.Hebei Tourism Vocational College, Chengde 067000,China)

Based on the story shear model, a dynamic equation of base-isolation frame structure is established for high-precision numerical solution of its seismic performance. Dual variables are introduced to derive the Hamiltonian canonical equation for the dynamic time history analysis. The precise integration method of initial value problems is applied to obtain the numerical solution. The MATLAB program is used to carry out the dynamic time history analysis of a rubber-base 6-story frame structure under earthquake excitation. According to the calculated results, under the same earthquake wave, compared with traditional seismic structures, the story displacement of the base-isolation structure is reduced by 60%, speed and accelerated speed are both reduced by 30%, and the maximum displacement of top story is reduced by 15%. Therefore, the base-isolation structure has excellent seismicity. It is a new method to solve the dynamic time history problem of isolation frame structures. And the data is precise and reliable.

Hamiltonian canonical equation；precise integration method； base isolation；MATLAB program；dynamic time history analysis

2016-03-21；

2016-06-06

河北省自然科學基金資助項目(E2011402057)

胡啟平(1963-)，男，安徽六安人，河北工程大學教授；E-mail:huqiping@hebeu.edu.cn。

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0939

TU352.1

A

1001-7445(2016)04-0939-06

引文格式：胡啟平，王麗娟.基礎隔震框架結構動力時程分析的精細積分法[J].廣西大學學報(自然科學版)，2016，41(4)：939-944.