廣義Maxwell阻尼器高層結構隨機風振響應解析法

李創第,王磊石,鄒萬杰,葛新廣,李　暾

(1.廣西大學土木建筑工程學院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學土木建筑工程學院， 廣西柳州545006)

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廣義Maxwell阻尼器高層結構隨機風振響應解析法

李創第1,2,王磊石1,鄒萬杰2,葛新廣2,李暾2

(1.廣西大學土木建筑工程學院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學土木建筑工程學院， 廣西柳州545006)

為解決設置廣義Maxwell阻尼器的非定常耗能結構在隨機風荷載作用下的隨機響應采用傳統方法比較繁瑣及精度不高的問題，針對此類結構提出基于傳遞函數法的精確分析方法。首先，用微分積分混合方程組建立了結構的動力運動方程；其次用傳遞函數法及巴斯金相關函數的隨機風振激勵模型，獲得了結構用第一振型表達的時域瞬態位移響應非擴階解析解；然后，根據獲得的解析解，運用隨機振動方法獲得了該類型耗能結構第一振型下的隨機風振響應及樓層處等效靜態風荷載設計取值的解析解，最后通過算例計算顯示：設置阻尼器后結構的位移減少約36.7%，同時與數值方法計算結果完全吻合，證明了本文方法的優越性。由于采用巴斯金相關函數的隨機風振激勵模型，本文方法可以應用其他諸如地震、路面不平等激勵下的振動響應。

廣義Maxwell阻尼器；高層建筑結構；隨機風振；風載取值；解析解

0　引　言

目前廣泛應于建筑結構的抗風耗能結構眾多，但其中粘滯阻尼器及粘彈性阻尼器由于其優良的減振效果及簡便的工程應用[1-2]，日益受到研究人員的重視。由于實際風荷載具有隨機性的特性，故對粘彈性阻尼器耗能高層結構隨機風振響應的分析具有理論和實際工程意義。Maxwell模型阻尼器本構方程簡單，易于擴階，模型計算參數便于從試驗數據擬合[3-4]，且一般流體阻尼器和粘彈性阻尼器均可用Maxwell模型近似表示或用廣義Maxwell模型表示[1-4]，故基于Maxwell模型阻尼器的耗能結構動力響應特性分析日益受到重視[5-8]。Maxwell阻尼耗能結構的現有解析分析方法分為擴階復模態法和非擴階近似法兩類。擴階復模態法主要是引入狀態變量對運動方程進行擴階，將Maxwell阻尼耗能結構的動力運動方程化為一階狀態方程組求解，目前非擴階近似法已用于耗能結構平穩隨機地震響應的數值分析[6-8]，但因擴階方程組物理意義不明確，變量個數劇增，計算效率低，使該法的實際應用受到限制；非擴階近似法有模態應變能法[1-2,9]和強行解耦法[10]。當前非擴階近似法得到廣泛應用，但該法采用頻域建模方式會導致耗能結構方程不能嚴格適用于強風和地震等非簡諧激勵的時域分析，且近似假設過多，精度較低和適用范圍有限[8]。

針對上述方法的不足，本文提出一種兼顧精確和效率的優效方法。由于傳遞函數法不用擴階，可直接獲得一般粘滯阻尼對稱線性定常結構的脈沖響應函數的精確解[11]。設置粘彈性阻尼器的建筑耗能結構，其具有頻率依賴的特性，目前對于該類型的結構傳遞函數法研究較少。當前隨機脈動風速(或風壓)有兩種表達方式，一種是應用功率譜表達式[12]，另一種是應用相關函數表達式[13-15]，由于功率譜和相關函數存在一一對應的傅氏變換關系，因此這兩種表達式在本質上是完全一樣的。因巴斯金提出的相關函數表達式包含有4個可調參數，可以統一表示工程上相當廣泛的一類隨機激勵，適用范圍更廣。為使分析方法更具一般性，本文采用巴斯金相關函數表征脈動風速或風壓隨機特性，應用傳遞函數方法獲得設置廣義Maxwell耗能結構受隨機風振作用的結構響應的分析法。

1　運動方程

(1)

(2)

式中：Kd為ki0組成的三對角平衡剛度(或模量)矩陣，i=1～n，r=1～m，且：

其中：i=1～n，r=1～m，x0= 0。

由式(1)、式(2)，可得結構的微分積分混合方程為：

(3)

由于在風荷載作用下，高層建筑結構振動響應主要受第一振型控制[16]，故高層結構的樓層處位移x按結構第一振型φ1展開：

x=φ1y1,

(4)

式中：y1為結構第一振型廣義坐標變量。

則結構方程(3)化為

(5)

圖1廣義Maxwel阻尼耗能結構計算簡圖

Fig.1Calculation diagram of energy dissipation structure with generalized Maxwell damper

圖2第i層廣義Maxwel阻尼器fi(t)計算簡圖

Fig.2Calculation diagram of generalized Maxwell damper of theilayer

2　基于傳遞函數法的瞬態響應分析

2.1結構特征值分析

設廣義位移初始條件為：

(6)

用拉氏公式對式(5)進行變換：

(7)

其中：

(8)

(9)

結構特征值方程為：

D(s)=0。

(10)

由式(10)可求出N個特征值sj，顯然，N=mn+2，說明耗能結構的振動方程特征值由mn個負實數及一對共軛復數組成。

2.2傳遞函數解析式

根據耗能結構振動方程的特征值sj是傳遞函數H(s)極點的原理，傳遞函數可用下列多項式表示[16]：

(11)

式中：ηj為待定常數。

根據洛必達法則可求出待定常系數ηj為：

(12)

2.3廣義位移時域響應解析解

由式(8)、(9)、(11)、(12)可得：

(13)

對式(13)作拉氏逆變換，由此可以獲得廣義位移(或坐標)的時域響應解析解為：

(14)

式中：δ(·)為Dirac delta 函數。

t>0時，廣義位移(或坐標)的響應可進一步表示為：

(15)

式中：aj(t)表示由初始條件對結構產生的響應影響，且：

(16)

對于零初始條件，aj(t)=0,j=1～N。

3　基于巴斯金相關函數的脈動風荷載模型

3.1基于巴斯金相關函數的平穩激勵模型

基于巴斯金相關函數，對均值為零的平穩隨機過程激勵f(t)，可知其相關函數Rf(τ)與譜密度函數Sf(ω)存在以下關系[15]：

(17)

式中：τ和ω分別為f(t)的時差和頻率變量；σ2、α、β、μ分別為f(t)的方差、相關因子、卓越頻率因子和正弦函數參與因子。

式(17)中，σ2、α、β、μ為可調參數，當這些參數取不同組合時，可表示工程上廣泛應用的平穩隨機過程模型，具體如下：

①當σ2=1時，有：

(18)

(19)

式(19)常用來表達脈動風的隨機風速譜[14-15,18]。

③當μ=0時，有：

(20)

式(20)作為有界噪聲模型[19-21]，不僅可以模擬寬帶和白噪聲模型激勵，也可模擬窄帶過程激勵。式(20)也常作為脈動風速譜[22-23]、隨機地震譜[14]和軌道及路面譜[24]。

(21)

式(21)為結構地震工程分析中使用較多的Kanai-Tajimi地震譜[14]，其中：ωg為結構所在地的地面特征頻率；ξg是結構所在地的地面特征阻尼比；s0是激勵譜常數，其數值可反映地震動的強弱程度。

(22)

⑥當σ2=1，β=0，μ=0時，有：

(23)

式(23)用來表示基于白噪聲輸入的一階線性濾波器的平穩輸出，常作輕軌路面譜激勵模型[27]。

⑦當σ2=α，β=0，μ=0，且α→∞時，有：

(24)

此時，巴斯金譜即退化為理想白噪聲模型激勵譜。

⑧當σ2=1，α=0，μ=0時，有：

Rf(τ)=cosbπ，

(25)

式中：δ(·)為dirac delta函數。

式(25)為隨機正弦波f(t)=sin(βt+φ)模型的激勵譜密度函數表達式，其中，相位φ在(0,2π)上滿足均勻隨機分布特點。

綜上所述，巴斯金相關函數統一描述工程上相當廣泛的平穩隨機激勵，從無限小帶寬的隨機正弦波到無限大帶寬的白噪聲。采用這一激勵模型的好處是易于獲得響應相關特性的解析表達式，如響應的功率譜與各階譜矩的解析公式等，這在結構的動力可靠性分析方面是重要的[14]。

3.2基于巴斯金函數的脈動風載模型

在高度為Hi的樓層處，建筑結構所受的脈動風荷載Fi(Hi,t)為[18]：

(26)

當規格化脈動風速平穩隨機過程f(t)用巴斯金相關函數及其譜密度表示時，表達式為[18]：

(27)

(28)

其中：E[·]表示取函數期望值；

(29)

由于脈動風荷載具有豎向高度的相關性，為此，脈動風荷載Fi(Hi,t)與Fj(Hj,t)的存在關系[11]：

E[Fi(Hi,t)Fj(Hj,t)]=ρijB(Hi)B(Hj)Rf(τ),

(30)

式中：Rf(τ)用式(27)表示，其參數σ2、μ、α、β按式(29)計算。

(31)

4　耗能結構平穩隨機風荷載作用下的位移響應分析

由式(15)和式(26)，可得廣義位移(或坐標)響應y1(t)的平穩解為：

(32)

故平穩響應y1(t)的相關函數為：

(33)

令：

(34)

利用歐拉公式：

(35)

將Rf(τ)的表達式(27)改寫為：

(36)

則y1(t)的相關函數表達式(33)可化為：

(37)

式中：

(38)

將式(38)代入式(37)，y1(t)的相關函數表達式簡化為：

(39)

式中：

(40)

特別的，令τ=0，得廣義位移(或坐標)y1的平穩方差解析解為：

(41)

5　結構設計響應分析

(42)

對于結構所受風載的計算，我國《荷載規范》(GB50009-2012)規定峰值因子Cf=2.5，故由式(42)可求得廣義位移y1的設計響應值y1max。

由于式(4)推導時，是對結構位移按第一振型展開的：

x(t)=φ1y1(t)。

(43)

因此，耗能結構各樓層處的風振動位移響應設計值：

Xmax=φ1y1max。

(44)

6　耗能結構樓層處等效靜態風荷載取值計算

由于耗能結構總剛度矩陣K+Kd、質量矩陣M與其第1振型φ1及頻率ω1存在恒等關系：

(K+Kd)φ1=ω12Mφ1，

(45)

故：

(46)

故要使結構產生的設計位移向量為Xmax，需施加的等效風振力向量為ω12MXmax，所以原主體結構第i樓層的等效風振力分量Pdi為：

Pdi=ω12miXimax=ω12miφi1y1max,

(47)

式中：mi為結構第i層的樓層質量；φi1為耗能結構第一振型φ1在第i層處的振型分量。

耗能結構順風向風壓作用效應可等效為平均風壓與風振動壓力共同作用的總效應。因此，耗能結構在第i層樓層處的順風向等效靜態風荷載設計取值可用下式表示：

(48)

7　算　例

用本文方法獲得的結構風振位移設計響應解析解和用數值積分獲得的風振位移設計響應數值解完全相同，如圖3所示(圖形已重合),從而驗證了方法的正確性。圖3給出了有無阻尼器控制的結構風振位移響應設計值的對比曲線，表1和表2分別列出了結構在是否設置阻尼器的情況下，各樓層的位移、等效靜態設計風荷載取值。計算結果表明，與無阻尼器控制相比，結構的位移設計響應減小了約36.7%。由此可見，阻尼器對于風振的減振效果是較為明顯的。

圖3　結構風振位移設計值

樓層未設置阻尼器結構/cm設置廣義Maxwell阻尼器結構/cm減少比例/%105.0533.19836.7194.9403.12636.7284.7172.98536.7274.3882.77736.7163.9622.50736.7253.4472.18136.7342.8541.80636.7232.1991.39136.7421.4940.94536.7510.7550.47836.69

表2　結構等效靜態設計風荷載取值Tab.2　The design value of structural equivalent static wind load

8　結　語

本文通過對設置廣義Maxwell阻尼器的高層建筑耗能結構在隨機風荷載激勵下振動響應和等效靜態風荷載設計取值進行了探究。首先，利用傳遞函數法對此類結構在隨機風振下的響應進行精確分析，并通過算例驗證了該方法相對與傳統方法具有精度高、計算量少的優點。其次，將復雜的隨機振動設計方法簡化為靜態等效設計方法，有助于此類被動控制結構在具體工程中推廣應用。此外，由于文中采用巴斯金相關函數及其譜密度函數作為一類典型的平穩隨機激勵，在工程分析中具有廣泛的代表性，可以用來描述諸如隨機風載、地震激勵、路面或軌道的隨機起伏以及有界噪聲激勵等激勵模型，故本文基于巴斯金模型隨機激勵所獲得的結構響應相關特性的解析解具有較好的工程應用意義。

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(責任編輯唐漢民梁健)

Analytic method for random wind-induced response of high-rise structure with general Maxwell dampers

LI Chuang-di1,2, WANG Lei-shi1, ZOU Wan-jie2，GE Xin-guang2, LI Tun2

(1.Institude of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China;2.Institude of Civil Engineering and Architecture, University of Science and technology of Guangxi, Liuzhou 545006, China)

An accurate analytic method based on transfer function is applied to solve the response of high-rise structures equipped with General Maxwell dampers under random wind load, while traditional methods are relatively complicated and low precision. Firstly, structural dynamic integral-differential response equations are established. Secondly, by using transfer function method, the exact solutions of structural transient response in time-domain are obtained by expanding the structural response with respect to the first mode. Thirdly, analytical solution of wind-induced structural random response and equivalent static design wind load of high-rise structure with general Maxwell dampers are obtained by using random vibration method. Finally, a numerical example is provided to show that the displacement of the structure with dampers is reduced by about 36.7% against that without dampers, and the results given by the proposed method are in good agreement with the numerical method, so the advantages of the method are proved. In addition, due to the adoption of Baskin correlation function of random wind vibration excitation model, the proposed method can be applied to excitation response induced by earthquake, random fluctuation of pavement or track, and so on.

General Maxwell damper; high-rise structure; wind-induced random response; wind load; analytic solution

2016-03-15；

2016-06-17

國家自然科學基金資助項目(51468005, 51368008)；廣西自然科學基金項目(2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學創新團隊支持計劃項目(2015)

李創第(1964—)，男，廣西柳州人，廣西科技大學教授，博士； E-mail：lichuangdi1964@163.com。

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0953

TU311.3

A

1001-7445(2016)04-0953-11

引文格式：李創第,王磊石,鄒萬杰,等.廣義Maxwell阻尼器高層結構隨機風振響應解析法[J].廣西大學學報(自然科學版)，2016，41(4)：953-963.