裝配式結構位移法分析中半剛性約束桿單元

韓明嵐，陳建林，王　燕，王　慧

( 1.青島理工大學理學院，山東青島266033； 2.青島理工大學土木工程學院， 山東青島266033)

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裝配式結構位移法分析中半剛性約束桿單元

韓明嵐1，陳建林1，王燕2，王慧2

( 1.青島理工大學理學院，山東青島266033； 2.青島理工大學土木工程學院， 山東青島266033)

為研究裝配式半剛性鋼框架結構的內力和變形，在各類理想約束桿轉角位移方程和固端力計算公式基礎上，根據半剛性節點剛度進行修正，得到各種半剛性約束等截面桿的轉角位移方程、固端力計算公式、桿端轉動剛度和傳遞系數等，并通過算例對半剛性鋼框架結構進行計算，計算結果表明：節點剛度對結構內力和變形有著較大的影響，當半剛性節點剛度和柱線剛度比達到一定數值后，計算結果趨于平穩，說明當半剛性達到一定范圍后可按照全剛性進行計算。

鋼框架結構；半剛性；位移法；轉角位移方程；固端彎矩；內力分析

0　引　言

位移法是一種基本且重要的結構力學計算方法，要順利采用位移法對結構進行計算，一個重要的前提就是桿件的轉角位移方程，無論是位移法基本方程還是典型方程，轉角位移方程都是核心。在傳統的結構中，理想的外部支座有固定端，固定鉸支座，可動鉸支座，定向支座等四種主要形式，內部節點簡化為鉸接或剛接，利用先拆后搭的思路，首先從結構中拆除桿件，即把結構中的構件全部拆成單跨桿件，桿件的約束取決于內部節點或外部支座。

隨著綠色建筑技術的發展，呈現出越來越多的裝配式建筑體系，各國專家也開展了裝配式結構受力性能等方面的一些研究[1-3]，對一些集成的構件或模塊進行現場安裝，具有快速、方便、節省人力、施工受外界環境因素影響小等優點，裝配式建筑技術是現代建筑工業技術發展的一種趨勢和典型代表，對于裝配式結構中梁柱節點，如圖1所示，它不同于傳統節點，也不同于新型延性耗能節點[4]，現場安裝的特點很難保證節點是完全剛性的，所以裝配式結構中多數節點均介于剛性和柔性之間，即為半剛性[5-6]，彈性范圍內不同形式梁柱節點彎矩—轉角關系見圖2[7]，可見半剛接變形介于鉸接和剛接之間，完全用剛接來取代是不合適的。因此探討半剛性約束超靜定等截面桿件的轉角位移方程是很有必要的[8]，對解決簡單裝配式平面框架結構的內力分析及變形計算是很有幫助的。

1　理想約束單跨桿單元

圖1　裝配式節點Fig.1　Fabricated node

忽略軸力變形的影響，等截面桿單元變形見圖3，桿長為l，剛度和線剛度分別為EI和i，桿兩端節點轉角分別為θA和θB，桿端彎矩分別用MAB和MBA表示，轉角和彎矩以順時針方向為正，兩端相對豎向線位移為Δ，桿端剪力分別用FQAB和FQBA表示，位移和剪力均以順時針轉動趨勢為正。

圖2彎矩—轉角關系

Fig.2Relationship of moment and rotation

圖3桿單元

Fig.3Bar element

傳統剛架中拆分的理想約束單跨超靜定桿單元主要形式及對應的轉角位移方程見表1，忽略桿件軸線變形，部分桿件形式可以進行合并。

表1　理想約束桿分類及其轉角位移方程Tab.1　Classification of bar with ideal constraint and slope-deflection equation

2　裝配式結構中半剛性約束桿單元

對于半剛性節點框架結構進行內力及變形計算，理想約束桿單元的轉角位移方程就不適用了，需要對其進行調整或修正[9-10]，忽略桿件軸向變形，半剛性約束桿單元的主要形式見圖4，用轉動彈簧來模擬節點的半剛性。

(a) beam-1(b) beam-2(c) beam-3

(d) beam-4(e) beam-5(f) beam-6

若得到上述幾種半剛性約束桿單元的轉角位移方程和固端力，就可以利用位移法對半剛性節點框架結構進行內力和變形等方面的計算。

3　轉角位移方程

由于桿端屬于半剛性約束，當支座有主動位移時，桿端相對于支座就會產生被動角位移，因此桿端角位移就包含支座主動角位移和桿端相對于支座的被動角位移兩部分，以下各桿單元中，桿長度均為l，桿兩端主動角位移分別用θA和θB表示，主動豎向相對線位移用Δ表示，被動角位移用θA′和θB′表示，支座處轉動剛度分別用KA和KB表示。不同類型約束桿單元對應著不同的轉角位移方程。

3.1beam-1桿轉角位移方程

若beam-1桿兩端支座處均出現主動角位移時，變形見圖5(a)，若beam-1桿兩端有豎向相對線位移Δ時，變形見圖5(b)。

(a) 兩端主動角位移

(b) 兩端相對豎向線位移

圖5beam-1變形圖

Fig.5Beam-1 deformation

圖5(a)對應的桿端彎矩為：

(1)

其中：K=4(KA+3i)(KB+3i)-KAKB。

圖5(b)對應的桿端彎矩為：

(2)

疊加式(1)和式(2)得到beam-1桿兩端有主動角位移和主動豎向相對位移所對應的桿端彎矩：

(3)

3.2beam-2桿轉角位移方程

當KB→∞時，beam-1轉化為beam-2形式，調整式(3)得到beam-2桿單元的轉角位移方程為：

(4)

3.3beam-3桿轉角位移方程

beam-2桿當Δ不作為位移基本條件，且MAB=-MBA，對應beam-3桿形式，調整式(4)得到beam-3桿端對應的彎矩為：

(5)

當KA→∞時，MAB=-MBA=iθA-iθB，此時與beam 3形式一致。

3.4beam-4桿轉角位移方程

beam-1桿當Δ不作為位移基本條件，且MAB=-MBA，對應beam-4桿形式，調整式(3)得到beam-4桿端對應的彎矩為：

(6)

當KB→∞時，beam-4桿形式轉化為beam-3桿形式，桿端彎矩對應式(5)。

3.5beam-5桿轉角位移方程

beam-1桿若KB→0，且θB不作為基本位移條件，此時與桿beam-5形式一致，調整式(1)得到beam-5桿端對應的彎矩為：

(7)

3.6beam-6桿轉角位移方程

beam-6桿右側拉壓彈簧剛度定義為KB，由力法導出桿端彎矩：

(8)

通過beam-1～beam-6桿單元轉角位移方程的推導，并進行彼此驗證，說明公式推導是正確的，只要知道約束處的剛度，根據對應的桿單元形式就可以利用轉角位移方程進行計算。

4　轉動剛度及傳遞系數

根據各種半剛性桿的轉角位移方程，可以得到桿端轉動剛度和傳遞系數，見表2，桿端轉動剛度和傳遞系數是力矩分配法計算的基礎。

表2　桿端轉動剛度及傳遞系數Tab.2　Rotational stiffness of bar end and carry-over factor

通過表2可以看出：半剛性約束桿轉動剛度均比理想約束桿轉動剛度降低，約束減弱，轉動剛度自然降低。beam-1桿A端由于半剛性，其轉動剛度介于0～4i，而B端為固定端，但受A端半剛性約束的影響，其轉動剛度介于3i～4i，傳遞系數介于0～0.5；beam-2桿轉動剛度介于3i～4i，傳遞系數介于0～0.5；beam-3桿和beam-4桿轉動剛度均介于0～i；beam-5和beam-6桿轉動剛度均小于3i。

5　固端彎矩

在位移法進行計算的過程中，除轉角位移方程還需要知道固端力，應用力法對beam-1～beam-6桿在常見外部荷載作用下的固端彎矩進行計算(計算過程略)，分別對全桿作用均布荷載，荷載集度為q，以及跨中作用集中力P兩種工況進行分析，固端彎矩計算結果見表3。通過表3可以看出：半剛性約束減弱，桿端的承載力較剛性約束桿端承載力相應降低。

表3　桿固端彎矩Tab.3　Bar fix-end moment

6　算例分析

利用本文推導的轉角位移方程和固端彎矩對半剛性框架結構進行計算，結構見圖6，假設圖6(a)和圖6(b)中B節點和C節點均為半剛性，剛度分別為KB和KC，且KB=KC，梁柱剛度均為EI，則兩個框架均為對稱結構，利用對稱性取半結構進行計算，半結構見圖6(c)和圖6(d)，柱線剛度用i表示，則半結構中梁線剛度為2i。

(a) 均布荷載作用半剛性框架

(b) 側向力作用半剛性框架

(c) 均布荷載作用半結構

(d) 側向力作用半結構

圖6半剛性鋼框架結構

Fig.6Semi-rigid steel frame structures

圖6(c)中，基本位移未知量為θB，AB桿對應beam-2形式，BE桿對應beam-3形式，利用對應的轉角位移方程和固端彎矩進行計算桿端彎矩：

利用B節點彎矩平衡可以得到：

用MATLAB數值語言描述E處和B處截面彎矩數值與KB/i的關系，見圖7。從圖7中可以看出：節點剛度對跨中彎矩及梁端彎矩有著較明顯的影響，隨著節點剛度的增加梁端彎矩值增加，跨中彎矩值減小，當KB/i值小于10時影響較明顯，當KB/i值大于20時，趨于平穩，逐漸逼近全剛接框架內力值。

圖6(d)中BE桿對應beam-5形式，基本位移未知量為θB和側移Δ，見圖6(d)，則對應的桿端彎矩分別為：

計算后得到B端轉角，側向位移△和梁端彎矩MBA分別為：

剛架側移量Δ和梁端彎矩與B節點剛度關系見圖8和圖9，從圖8和圖9中可以看出B節點剛度與框架側移以及梁端彎矩成非線性關系，側移量隨剛度的增加而減小，梁端彎矩隨剛度增加而增加，當KB/i值小于10時影響較明顯，當KB/i值約大于20時，趨于平穩，逐漸逼近全剛接框架計算結果。

圖7梁端、跨中彎矩值與B節點剛度關系

Fig.7Relationship of beam end moment, middle-span moment andBnode stiffness

圖8側移Δ與B節點剛度之間的關系

Fig.8Relationship of lateral sway Δ and B node stiffness

圖9梁端彎矩值與B節點剛度關系

Fig.9Relationship of beam end moment andBnode stiffness

7　結　語

針對裝配式半剛性鋼框架結構進行內力和變形分析，通過理論推導并進行計算得到結論：

①通過對半剛性約束桿單元進行分析，得到等截面直桿的轉角位移方程、桿端轉動剛度，傳遞系數以及固端彎矩等量，為半剛性約束鋼框架結構進行內力及變形分析提供方便，只要獲取節點的初始剛度，可以借助有限元或實驗方法獲取節點剛度，就可以對簡單框架套用本文推導出來的公式進行計算，或者將本文推導公式程序化，這樣對半剛性框架結構進行計算時只需要輸入外部荷載，外部約束以及內部節點的剛度就可以進行內力和變形的分析。

②分析表明半剛性約束較理想剛接約束，其剛度降低，桿端承載力降低，桿端轉動剛度及傳遞系數也相應下降，理想約束和半剛性約束條件不同，因此在實際工程中，尤其是裝配式結構中，考慮節點的半剛性是很有必要的，若按照理想約束進行計算，將高估節點的承載能力。

③計算表明當節點剛度與柱的線剛度比超過一定值后，計算結果趨于平穩，說明當節點并非全剛性，但剛度相對比較大時，其計算結果與全剛性差別不大。

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(責任編輯唐漢民梁碧芬)

Semi-rigid constraint bar in displacement method analysis of fabricated structure

HAN Ming-lan1, CHEN Jian-lin1，WANG Yan2, WANG Hui2

(1.School of Science, Qingdao University of Technology, Qingdao 266033, China;2.Department of Civil Engineering, Qingdao University of Technology, Qingdao 266033, China)

To analyze the internal force and displacement of fabricated semi-rigid steel frame structures, based on the slope-deflection equation and fixed-end moment formulation of bars with ideal constraints, the slope-deflection equation, fixed-end moment formulation, rotational stiffness and transfer coefficient of semi-rigidly constrained bar are deduced according to node stiffness, and a semi-rigid steel frame structure is analyzed. The results show that node stiffness has great effect on the internal force and displacement of the structure. However, calculated results are steady when the ratio of semi-rigid stiffness to column linear stiffness is up to certain value, which indicates that it can be calculated under the condition of full rigid when semi-rigid reaches a certain range.

steel frame structure; semi-rigid；displacement method；slope-deflection equation；fixed-end moment；internal force analysis

2016-02-25；

2016-04-01

山東省自然科學基金資助項目(ZR2012EEL26)；青島市建設科技計劃項目(JK2014-08)；青島理工大學名校工程建設教學改革子項目(MX4-009)

韓明嵐(1974—)，女，山東日照人，青島理工大學副教授，博士;E-mail:zihanc@163.com。

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.1037

TU391;TU311

A

1001-7445(2016)04-1037-08

引文格式：韓明嵐，陳建林，王燕,等.裝配式結構位移法分析中半剛性約束桿單元[J].廣西大學學報(自然科學版)，2016，41(4)：1037-1044.