基于Kane方法的雙旋彈飛行動力學建模及仿真

鐘揚威, 王良明, 常思江, 傅健

(南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094)

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基于Kane方法的雙旋彈飛行動力學建模及仿真

鐘揚威, 王良明, 常思江, 傅健

(南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094)

針對雙旋彈飛行動力學建模,提出了基于Kane方法建立樹形多剛體系統動力學方程的方法。分析了雙旋彈后體和前體的運動,并分別建立了其動力學方程,綜合得到了雙旋彈的七自由度飛行動力學方程。基于四元數轉換,建立了雙旋彈轉動運動學方程。通過編程對雙旋彈的無控和有控運動特性進行了仿真分析。結果表明,雙旋彈無控時以小迎角穩定飛行;有控飛行時彈體產生配平迎角,且縱向和橫向修正會出現交叉耦合。

飛行動力學; 多體系統動力學; Kane方法; 雙旋彈

0　引言

近年來,雙旋彈作為一種極具潛力的二維彈道修正彈,引起了國內外眾多專家學者的關注。雙旋彈由地面火炮平臺發射,采用低成本GPS/MIMU等測量彈丸的速度、位置、姿態等信息,通過預測算法快速預測彈丸的落點,獲得落點與預定目標距離和方向的二維偏差信息。彈載控制系統根據預測落點偏差信息和彈道修正策略,形成距離和方向修正指令,由鴨舵執行機構按規定的時序修正彈丸的落點和方向偏差。鴨舵執行機構(前體)安裝在彈丸頭部,與后體由滾轉軸承連接,在飛行過程中前體以低速繞彈體縱軸旋轉[1-2]。

與傳統旋轉彈相比,雙旋彈多了一個滾轉自由度,彈道修正階段還會受到鴨舵控制力和控制力矩的作用,使得其飛行動力學模型不同于傳統彈箭。Wernert等[3]在非滾轉彈體系下建立了裝有CCF引信的旋轉彈的七自由度非線性運動模型,并通過該模型計算了彈丸的平衡性及操縱性。該模型含有迎角和側滑角的導數,便于分析彈丸的角運動。文獻[4-5]根據牛頓第二定律和動量矩定理,推導了七自由度剛體的質心運動方程和繞質心運動方程,采用該模型對鴨式布局雙旋彈的彈道特性進行了仿真分析。王志剛等[6]采用凱恩方法建立了包含彈頭和后體動力學特征的雙旋火箭彈動力學模型,綜合考慮了彈頭和后體的相互作用,最終得到了7個標量的動力學方程。王毅等[7]研究了修正組件、彈體運動與彈丸運動的關系,分析了彈丸飛行過程中兩剛體間的相互作用,綜合兩剛體的運動學和動力學方程建立了7D彈道模型。張開創等[8]分別建立了彈丸與修正組件的六自由度彈道模型,并通過兩者的運動耦合關系建立了具有相對滾轉向量的七自由度彈道模型。

本文利用Kane方法在解決多剛體動力學問題方面的優越性,通過多剛體系統的樹形結構描述和運動描述,給出了用Kane方法建立系統動力學方程的一般計算公式。在此方法的基礎上,通過對雙旋彈后體和前體的運動分析,綜合建立了雙旋彈七自由度飛行動力學模型,并對雙旋彈無控和有控時的彈道特性進行了仿真分析。

1　樹形多剛體系統動力學建模

1.1多剛體系統的樹形結構描述

在圖1所示的系統中,剛體1是其他所有剛體的參考體,稱為系統的主剛體。對兩個相互聯結的剛體,與主剛體相距較近的剛體稱為上級剛體,相距較遠的稱為下級剛體。

圖1　系統樹形結構Fig.1　Tree structure of the system

為了建立系統的動力學方程,可以先把各部分看成相互獨立的系統,分別建立各自的動力學方程,再利用各部分的連接關系,將已有的各部分的動力學方程合并為系統的動力學方程。

根據Kane方程的思想,廣義速度矩陣up確定以后,剛體上任意質點相對于慣性參考系的絕對速度v及剛體的絕對角速度ω可以表示為偏速度vp和偏角速度ωp的線性迭加,即:

(1)

式中:p=1,2,…,n為該剛體的廣義速度的個數。因此,對一個剛體來說,其偏速度vp和偏角速度ωp反映了其運動特征。同樣,對于一個系統,其運動特征也可由其偏速度和偏角速度來表示。這樣,系統的動力學方程便可由各個剛體的偏速度和偏角速度組合得到[9]。

1.2多剛體系統的運動描述

如圖2所示,剛體a和b為多剛體系統中兩個相鄰的剛體,其中a為b的上級剛體,選擇b相對于a做剛性運動的廣義速度為坐標變量;da點為剛體a自身運動的參考點;dba為剛體b相對于剛體a運動的參考點;db為剛體b上的某參考點。在db點建立與剛體a在該點的運動固連的坐標系,稱為sba坐標系;在db點建立與剛體b的剛性運動固連的坐標系,稱為sb坐標系。

圖2　系統運動描述Fig.2　Description of the system motion

剛體b相對于剛體a的運動可以用db點相對于dab點的相對運動和sb坐標系相對于sba坐標系的相對轉動來描述。設剛體a屬于A系統,且A系統的廣義速度為up0(p0=1,2,…,nA),剛體b為A系統外與剛體a相連接的剛體。設剛體b相對于剛體a的自由度為nba,則對于剛體b的相對運動可以選擇nba個廣義速度。描述剛體b運動的廣義速度為nb個,則:

(2)

按照廣義速度的展開式,剛體b上任一點pb的偏速度和偏角速度可表示為:

(3)

(4)

1.3多剛體系統動力學方程的一般形式

設剛體b屬于B系統,且與A系統中的剛體a相連,則可建立由B系統和A系統形成的C系統的Kane動力學方程。

各系統的廣義慣性力矩陣Δf*(k)中的元素為:

(5)

(6)

(7)

式中:k=A,B;I為轉動慣量矩陣。

各系統的廣義主動力矩陣f(k)中的元素為:

(8)

式中:F(k)和M(k)為作用在系統k上做功的力和力矩的合力。根據Kane方程,系統的廣義主動力和廣義慣性力之和為零,即:

(9)

其中:

因此,系統的動力學微分方程為:

(10)

2　雙旋彈飛行動力學建模

2.1坐標系的定義

(1)地面坐標系Oxyz:O點為炮口;Ox為射擊面與水平面的交線,指向射擊方向為正;Oy在鉛垂平面內,向上為正;Oz按右手法則確定。地面坐標系為動坐標系,在忽略地球自轉的情況下可將其視為慣性系。

(2)基準坐標系C(1)xyz:C(1)點為后體質心,該坐標系由Oxyz平動而得到。其三軸的單位向量設為i,j,k。

(3)彈道坐標系C(1)x2y2z2:C(1)x2與彈體速度v的方向一致;C(1)y2在包含速度v的鉛垂平面內垂直于C(1)x2,向上為正;C(1)z2按右手法則確定。

(4)彈軸坐標系C(1)ξηζ:C(1)ξ與彈軸一致,指向彈頭方向為正;C(1)η在鉛垂平面內垂直于C(1)ξ,向上為正;C(1)ζ按右手法則確定。其三軸的單位向量設為iξ,jη,kζ。

(5)后體坐標系C(1)xayaza:C(1)xa軸沿彈軸方向;C(1)ya軸和C(1)za軸固連在后體上,并與后體一起繞C(1)xa旋轉。后體坐標系可視為由彈軸坐標系轉動γa角得到。

(6)前體坐標系C(2)xfyfzf:C(2)為前體質心;C(2)xf軸沿彈軸方向;C(2)yf軸和C(2)zf軸固連在前體上,并與前體一起繞C(2)yf旋轉。后體坐標系可視為由彈軸坐標系轉動γf角得到。

2.2坐標轉換

彈軸坐標系C(1)ξηζ由基準坐標系C(1)xyz按3-2次序轉動φ1和-φ2角度得到,對應的四元數qna為:

(11)

其中:

2.3后體的運動描述

后體質心的位置及速度矢量、后體的轉動角速度、彈軸坐標系的轉動角速度分別為:

(12)

(13)

(14)

(15)

選取廣義速度矩陣為:

(16)

利用廣義速度,后體的速度和角速度表示為:

(17)

表1　偏速度、偏角速度及其導數Table1　Partialvelocities,partialangularvelocitiesandtheirderivatives

2.4前體的運動描述

選擇前體質心C(2)作為參考點,前體繞過C(2)的軸線作單自由度轉動。C(2)點的位置矢量為:

(18)

式中:r(2,1)為前體質心對后體質心的矢徑,取彈軸系中的分量形式。

前體的轉動角速度矢量為:

(19)

式中:ω(2,1)為前體相對后體的轉動角速度,表示為:

(20)

選取廣義速度矩陣為:

(21)

后體C(2)點的速度矢量為:

(22)

利用廣義速度,后體的速度和角速度表示為:

(23)

(24)

(25)

(26)

表2　偏角速度及其導數Table2　Partialangularvelocitiesandtheirderivatives

2.5雙旋彈動力學方程的一般形式

(27)

(28)

式中:F(k)和M(k)的計算參見文獻[2]。F(k)需要向基準系投影,M(k)向彈軸系投影。

系統動力學方程為:

(29)

其中:

2.6雙旋彈運動學方程

(30)

(31)

彈道系的轉動角為:

(32)

后體滾轉角γ1和前體滾轉角γ2分別為:

(33)

3　彈道仿真

3.1無控飛行仿真

圖3　雙旋彈彈道軌跡Fig.3　Trajectory of the dual-spin projectile

圖4　雙旋彈總迎角曲線Fig.4　Curve of total AOA of the dual-spin projectile

圖5　前后體轉速曲線Fig.5　Curves of spin rate for front and rear parts

由圖3和圖4可以看出,雙旋彈無控飛行的最大彈道高為4 538 m,飛行距離為13 547 m。迎角振蕩衰減并且趨向于零,表明其無控飛行是穩定的。

由圖5可以看出,雙旋彈后體轉速雖然隨時間逐漸衰減,但依然保持高速旋轉狀態。前體的轉速在出炮口后約1 s內衰減到-5 rad/s 左右,并一直維持在這個轉速附近。

3.2有控飛行仿真

仿真初始條件與無控時相同,在彈道頂點處開始控制,前體滾轉角γ2分別固定為0°,90°,180°和270°,落點修正距離如表3所示,雙旋彈的總迎角如圖6所示。固定舵偏角δw=8°時,前體的修正量與前體滾轉角γ2的對應關系如圖7所示。

表3　前體修正距離Table3　Correcteddistancesoffrontpart

圖6　雙旋彈總迎角曲線Fig.6　Curves of total AOA of the dual-spin projectile

圖7　修正量與滾轉角對應圖Fig.7　Reciprocal diagram between correction distances and roll angles

由表3可以看出,進行射程修正(γ2=0°,180°)時,對偏流產生了影響。對偏流修正(γ2=90°,270°)時也會對射程產生影響,這主要是由于雙旋彈的縱向和橫向運動存在交叉耦合造成的。這種現象從圖7中也可以清晰地看出。

此外,由圖6可知,加入控制力后,總迎角不再振蕩趨近于零,而是產生了配平迎角。特別是加入向左的控制力后(γ2=270°),迎角在結束階段出現增大的趨勢?？梢?橫向控制力對彈丸的飛行穩定性產生了影響。

4　結束語

本文給出了基于Kane方程建立樹形多剛體系統動力學方程的一般方法,該方法推導過程簡潔、規范,方程中不出現理想約束力,最后得到的模型較簡單，便于計算機編程求解?；谠摲椒ń⒘穗p旋彈飛行動力學方程,并對某型雙旋彈開展了無控和有控仿真計算。得到了雙旋彈總迎角、前后體轉速、修正量等彈道參數的運動規律,為后續開展雙旋彈飛行穩定性分析、修正方案研究等提供了參考。目前,國內對雙旋彈的研究尚處于初步階段,實際飛行過程中的角運動特性、控制特性等還需進一步開展研究。

[1]許諾,于劍橋,王亞飛,等.固定翼雙旋彈動力學特性分析[J].兵工學報,2015,36(4):602-609.

[2]朱大林.雙旋彈飛行特性與制導控制方法研究[D].北京:北京理工大學,2015.

[3]Wernert P,Theodoulis S.Modelling and stability analysis for a class of 155 mm spin-stabilized projectiles with course correction fuse [R].AIAA-2011-6269,2011.

[4]Chang S J,Wang Z Y,Liu T Z.Analysis of spin-rate property for dual-spin-stabilized projectiles with canards [J].Journal of Spacecraft and Rockets, 2014,51(3):958-966.

[5]常思江,王中原,劉鐵錚.鴨式布局雙旋彈飛行動力學建模與仿真[J].彈道學報,2014,26(3):1-6.

[6]王志剛,李偉,張振寧.雙旋制導火箭彈動力學建模[J].兵工學報,2013,34(7):910-915.

[7]王毅,宋衛東,佟德飛.固定鴨舵式彈道修正彈二體系統建模[J].彈道學報,2014,26(4):36-41.

[8]張開創,劉秋生,王龍.基于固定鴨舵的彈道修正彈建模與仿真[J].彈道學報,2015,27(1):40-44.

[9]張延教,王良明.多體系統動力學中的偏速度綜合法[J].華東工學院學報,1989(2):55-62.

[10]周江華,苗育紅,李宏,等.四元數在剛體姿態仿真中的應用研究[J].飛行力學,2000,18(4):28-32.

(編輯：李怡)

Modeling and simulation of flight dynamics for dual-spin projectile based on Kane’s method

ZHONG Yang-wei, WANG Liang-ming, CHANG Si-jiang, FU Jian

(School of Energy and Power Engineering, NUST, Nanjing 210094, China)

As to the modeling for the flight dynamic model of dual-spin projectile, a method to establish the dynamic model for multi-rigidbody systems with tree structures was given based on Kane’s equations. The motions of the front and rear parts were analyzed. Afterwards, the dynamic models of both parts were established, and the 7-DOF flight dynamic equations were built. The kinematics equations were set up based on the quaternion transformation. The simulation analyses for uncontrolled and controlled kinetic characteristics were carried out by programming. The results show that the projectile flies stably with small angles of attack while uncontrolled. The trim angle of attack is generated while the projectile is controlled. Moreover the cross coupling will appear between the longitudinal correction and lateral correction.

flight dynamics; multi-body dynamics; Kane’s method; dual-spin projectile

2015-09-21;

2016-01-11; 網絡出版時間:2016-02-29 16:38

國家自然科學基金資助(11402117)

鐘揚威(1989-)，男，湖北宜昌人，博士研究生，研究方向為外彈道與飛行控制、飛行力學。

TJ760.12

A

1002-0853(2016)04-0059-05