不定復空間型中具有常數量曲率的完備全實2-調和類空子流形

陳亞力，宋衛東

(安徽師范大學數學計算機科學學院，中國 蕪湖　241000)

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不定復空間型中具有常數量曲率的完備全實2-調和類空子流形

陳亞力*，宋衛東

(安徽師范大學數學計算機科學學院，中國 蕪湖241000)

不定復空間；完備；2-調和；類空

當H=0,p=0時，與文獻[5]結論一致.

當H=0,p=0時，與文獻[5]結論一致.

1　基本公式和引理

e1,…,en+p,e1*,…,e(n+p)*,

使得限制于Mn時，{e1,…,en}與Mn相切.本文約定各類指標取值范圍

A,B,C,…=1,…,n+p,1*,…,(n+p)*;i,j,k,…=1,…,n;α,β,γ,…=n+1,…,n+p,1*,…,(n+p)*.

其中

這里(JAB)為線性變換J關于{eA}的變換矩陣.

限制在Mn上有[8]

(1)

若以R表示Mn的標準數量曲率，則有

n(n-1)R=n(n-1)-n2H2+S,

trHα=0,(α≠(n+p)*),

由文獻[10]有，

(2)

由上述公式不難計算：

因此

(3)

2　定理的證明

(4)

(5)

由式(4)及式(2)可得(4)改寫成

將此式兩端關于指標i求共變導數，并關于i求和，得

調整式(5)指標，可得

引理2[12-13]設Mn是Ricci曲率有下界的完備黎曼流形，f是Mn上C2類有界函數，則對?ε>0,都存在一點x∈Mn,使得在x處

‖gradf‖≤ε,Δf>-ε,f(x)

證由式(1),

水泥砂漿試件為正方體試件，邊長為70.7 mm。膠砂比為1∶2，水灰比包括3種，即0.55、0.60和0.65。試件經標準養護28 d后，然后放到凍融試驗機內進行凍融。凍融溫度為±20℃，當凍融循環次數分別為0次、25次和50次后，將試件取出進行單軸壓縮試驗。在進行單軸壓縮試驗時，加載的應變速率分為4種，即分別為10-2 s-1、10-3 s-1、10-4 s-1和10-5 s-1。

定理1的證明由式(3).

(6)

其中

(7)

(8)

(9)

(10)

由于R為常數,

ΔS=Δ(n2H2).

(11)

由上述各式可知，

(12)

(13)

由引理3可知，f滿足引理2的條件，對任意序列εm,εm>0且εm→0(m→∞),都存在Mn上的一點列xm,使得

(14)

由式(13)和式(14)可以看到，

(15)

當εm→0時，f(x)達到下確界，S(x)達到上確界，在式(15)中令m→∞，結合式(12)得

(16)

由上式可知，若-2n2H2+n-1≥0,即

必有Mn全測地.

那么，

nH2≤S≤(2p+n)(2n2H2-n+1),

即

定理1證畢.

定理2的證明Mn是偽臍的，即

(17)

由式(6),(7),(8),(9),(10),(11),(17)可得

(18)

和定理1證明同理，應用引理2結合式(15)和式(18)可得，

(19)

由式(19)可知，若-nH2(n+1)+n-1≥0,即

必有Mn全測地.

那么，

即

定理2證畢.

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(編輯HWJ)

Indefinite Complex Space form with Constant Scalar Curvature in a Complete Totally Real Space-Like Biharmonic Submanifold

CHEN Ya-li*, SONG Wei-dong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

indefinite complex space form; complete; biharmonic; space-like

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.03.012

2016-03-04基金項目：安徽省教育廳自然科學研究重點項目(KJ2010A125)；安徽師范大學科研培育基金(2016XJJ017)*通訊作者,E-mail：chenylwuhu@qq.com

O186.15

A

1000-2537(2016)03-0069-06