定滑輪中的力學原理

冀　敏　蔣　平

(復旦大學物理系， 上海　200433)

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教學研究

定滑輪中的力學原理

冀敏蔣平

(復旦大學物理系， 上海200433)

定滑輪是最簡單的機械，但其運行原理卻涉及諸多方面; 它內涵豐富，幾乎可涵蓋非物理專業力學部分的全部教學范圍.本文全面分析定滑輪運行涉及的力學原理，包括選取的體系不同動力學方程有不同的表現形式，或同一種表現形式適用不同體系時有不同的解釋；著重討論摩擦力矩是定滑輪的轉動動力.為此選擇與輪緣接觸的任一無窮小繩元，其兩端張力合力的法向分量產生繩元和輪緣間的摩擦力.所有繩元對輪緣的摩擦力矩的總和使輪子的角動量變化，而輪緣對繩元的摩擦力則與張力合力的切向分量平衡.靜摩擦力起中介作用將定滑輪兩邊懸掛的重物和地球體系勢能變化的一部分轉化為輪子的轉動動能.文章最后指出隨著選取的體系不同重力既可理解為外力也可理解為內力，從而功能原理的具體表現也有所區別.

定滑輪；靜摩擦力；功能原理

幾乎所有的基礎物理教科書都會提到定滑輪.在初中物理教材里是作為改變力的方向的簡單機械；而在高校基礎物理課里往往作為剛體動力學的典型應用實例[1-4].然而就大多數教材而言，鮮有對定滑輪運行過程中涉及的物理學原理作詳細、充分討論的.定滑輪又稱阿特武德機.事實上，阿特武德機的運行涉及質點動力學、剛體繞定軸轉動、靜摩擦力、功能原理、機械能守恒等諸多方面，幾乎可以涵蓋非物理專業力學部分的全部教學范圍，可謂簡單機械蘊含著豐富的力學原理.本文即擬對此作較為詳細的討論.

1　同一動力學過程的不同解釋

典型的阿特武德機的構成：一個輪軸固定、質量為M的滑輪，輪緣上跨接一根繩子，其兩端分別連接質量各為m1和m2的兩個物體，如圖1所示.如m1>m2，則在軸承潤滑良好的情形下滑輪將逆時針加速旋轉，而m1和m2也將各自分別向下、向上加速運動.在略去輪軸摩擦力的前提下，通常列出如下3個動力學方程，即

m1g-T1=m1a

(1)

T2-m2g=m2a

(2)

(3)

圖1　阿特武德機構成示意

以上3式中a為兩物體加速度的大小;T1、T2為滑輪左、右兩邊繩子中的張力;R為輪半徑;I和β分別為輪子的轉動慣量和角加速度.顯然以上3式即為兩物體以及輪子的動力學方程；而且采用的是隔離法，即獨立處理兩物體m1、m2和輪子M的運動.式(1)與式(2)屬質點動力學牛頓第二定律，而式(3)則為剛體繞定軸轉動的動力學方程.關于式(3)，大多數教材的解釋或隱含的解釋是方程的左邊是繩子的張力加在輪子上力矩的代數和，而右邊則為輪子繞輪軸轉動對輪軸角動量的變化率.其實，這一解釋從原理上看并不妥當，因為張力T1和T2并不作用在輪子上而是作用在繩子上.因而T1R和T2R原則上都不是作用在輪子上的力矩，不能使輪子的角動量發生變化.然而式(3)無疑又是正確的，只是必須予以恰當地解釋.如果將輪子和跨接其上的繩子(不包括兩邊的兩個物體m1和m2)一起看作同一體系，則式(3)左端即為施加在該體系上的外力矩，應與體系角動量的變化率相等.由于通常作輕繩假設，繩子對轉軸的角動量可略去，體系角動量的變化率就是輪子角動量的變化率，也就是如式(3)右邊所示.

m1gR-m2gR=I β+Rm1a+Rm2a

(4)

圖2　滑輪運轉受力分析用圖

圖3　繩緣受力分解用圖

(5)

2　輪、繩間的摩擦力不能忽略

由上面的分析可以看出，作為定滑輪的運行動力，輪緣和繩子間的摩擦力不能略去.有一些中學教學輔導書籍中常以略去這一摩擦力作為滑輪兩邊繩子中張力相等的理由，并不恰當.因為如將輪緣與繩子間的摩擦力略去，定滑輪便和一光滑的桿子無異，輪子不會轉動.這說明滑輪絕不是滑在輪緣上.滑輪之所以叫滑輪是滑在輪軸的軸承處.當軸承的摩擦力矩可略去時，式(3)成立；否則式(3)左方還應加上軸承與輪軸間的摩擦力形成的阻力矩.這就是為什么輪軸常須潤滑或采用滾珠軸承的原因.如果加上輪子質量很小因而也可略去這一近似，則在此兩個前提下滑輪兩邊的張力相等.而且，值得注意的是，由于繩子與輪緣間并無相對滑動，摩擦力屬靜摩擦力，即繩元和輪子間的摩擦力數值應由繩元的力學平衡條件決定，而不應視為最大靜摩擦力，即dN和摩擦系數的乘積.這和絞盤的情形不同.對絞盤通常針對繩子將要滑動的臨界情形；因此摩擦力取為與正壓力及摩擦系數的乘積相等.

3　功能轉換

綜上可見，定滑輪這一簡單機械的運行包含多方面的物理內涵.相信高校基礎物理教學如果在力學部分講授完成之后，以此為典型例子組織學生討論，一定會取得良好的教學效果.

[1]梁勵芬， 蔣平.大學物理簡明教程[M].3版. 上海： 復旦大學出版社，2011.

[2]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程 力學卷[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]吳百詩.大學物理(上)[M].西安：西安交通大學出版社，1994.

[4]Resnick R, Halliday D, Krane K S. Physics, Volume 1[M]. Fifth Edition. New York: John Wiley & Sons, INS., 2002: 192, Sample Problem 9-10.

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MECHANICAL PRINCIPLES OF FIXED PULLEY

Ji MinJiang Ping

(Department of Physics,Fudan University, Shanghai 200433)

Perhaps the fixed pulley, also known as Atwood’s machine, consisting of a disk that can rotate about a fixed axis with a string passing over it and two blocks connected to the two ends of the string, is the simplest machine. However its operation involves plenty of mechanical principles, including dynamics of mass point, rotation of rigid body about a fixed axis, dynamical significance of static friction, and the law of energy conservation. This paper comprehensively analyzes the mechanics principle relevant to the fixed pulley, including the different forms of dynamic equation in different selected system, and the different explanations of the same equation form used in different systems. Especially, we focus on the friction torque, which is the turning power of the fixed pulley. Analysis shows it is the friction between the string and the disk rim that causes the disk to rotate, transferring part of the potential energy change of the two blocks into the rotational kinetic energy of the disk. Meanwhile it is shown that the forces of gravity acting on the blocks can be considered either internal forces or external forces, depending on which objects are included in the system considered.

fixed pulley; static friction; energy conservation

2016-01-17

冀敏，女，副教授，主要從事物理教學與研究，科研方向為醫學物理.jimin01@fudan.edu.cn

引文格式: 冀敏，蔣平. 定滑輪中的力學原理[J]. 物理與工程，2016，26(3)：9-11.