科赫雪花孔的衍射圖案

邱為鋼

(湖州師范學院理學院,浙江 湖州　313000)

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科赫雪花孔的衍射圖案

邱為鋼

(湖州師范學院理學院,浙江 湖州313000)

假設光波是標量波，對衍射孔作格點剖分，文章給出了接受屏上光強度的格點求和計算表達式.對零到四級科赫雪花孔圖形作正方形格點剖分，對四級科赫雪花孔圖形作正三角形格點剖分，數值計算得到了科赫雪花孔的衍射圖案.計算結果發現，衍射圖案保持了科赫雪花的對稱性，并給出了衍射圖案對稱性細節.

科赫雪花;衍射

平面波通過特殊形狀衍射屏后的衍射圖案的研究，是波動光學教學研究的一個熱點.這些形狀包括方孔[1]、正三角形與正六邊形孔[2]、康托分形[3]、斯賓基三角形[4]等.衍射振幅與孔的傅里葉變換有關，保持了孔的對稱性[5].科赫雪花[6]也是一個典型的分形物體，平面波通過科赫雪花孔，衍射圖案有什么特征，具有哪些對稱性？這就是本文主要探討的問題.

形成科赫雪花的操作如下：先從一個正三角形開始，每一條邊中間選兩點，向外作一個等邊三角形，然后把兩點之間的線段去掉，再對每一條邊作同樣的操作，依次迭代下去，直至無窮，最終得到的圖形就是科赫雪花.圖1是零到三次迭代操作的圖形.

圖1　零到三級科赫雪花

(1)

這一點的強度為

(2)

(3)

格點選取也有兩種方法，第一種是正方形格點，數值計算得到正方形格點剖分對應的衍射圖案如圖2～圖5所示.

圖2　正方形格點剖分一級科赫雪花孔的衍射圖案

圖3　正方形格點剖分二級科赫雪花孔的衍射圖案

圖4　正方形格點剖分三級科赫雪花孔的衍射圖案

圖5　正方形格點剖分四級科赫雪花孔的衍射圖案

第二種格點選取是正三角形格點，保持原有各級近似科赫雪花的對稱性，四級科赫雪花的格點分布和衍射圖案如圖6所示.

圖6　正三角形格點四級科赫雪花孔的衍射圖案

由圖2～圖5可以看出，衍射圖案保持原有孔的對稱性，即正三角形對稱性.衍射圖案與原有孔還有“互補”關系.即如果原有孔有一部分是凹陷的，那么衍射圖案在相應位置是凸出的.圖5中的正方形格點有1883個，圖6中正三角形格點有1261個，對于四級科赫雪花孔，兩種格點剖分得到衍射圖案一樣，都保持科赫雪花的對稱性：旋轉對稱和反射對稱.

這樣，利用簡化的衍射振幅表達式，選取正方形和正三角形格點剖分，求和近似代替積分，數值計算得到了零到四級科赫雪花孔的衍射圖案，這些圖案保持了原有圖形的對稱性.

[1]劉東州,侯志青,劉立芳.方孔夫瑯禾費衍射的數值模擬[J].大學物理，2011，30(4)：38-42.

[2]鄭建華,梁華秋,周小莉.正三角形與正六邊形夫瑯和費衍射光強分布[J].光學儀器，2005，27(5):106-108.

[3]李平.Cantor型分形光柵的夫瑯禾費衍射特性研究[J].大學物理，2002，21(11)：11-14.

[4]田磊,戴冬云,劉生華.互補Sierpinski 地毯光柵夫瑯和費衍射現象的研究[J].應用光學，2005，26(5):17-20.

[5]戴又善.二維小孔的對稱變換與夫瑯禾費衍射光強分布[J].大學物理，2011，30(11)：22-27.

[6]科赫雪花[EB/OL][2015-09-03]http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html.

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THE DIFFRACTION PATERN OF KOCH SNOWFLAKE HOLE

Qiu Weigang

(School of Science, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

Assuming the light wave is a scalar wave and making a lattice subdivision of the diffraction hole, the finite summation expression of light intensity distribution on the accept screen is given. The numerical solution of diffraction pattern is obtained from the square and equilateral triangle lattice subdivision of the Koch snowflake hole from zero to forth order. Results show that the diffraction patterns keep the original symmetry of Koch snowflake, and also present some special symmetry details in the diffraction patterns.

Koch snowflake; diffraction

2015-04-22;

2015-09-15

國家自然科學基金(11475062，11275067).

邱為鋼,男,副教授，主要從事大學物理的教學和研究.wgqiu@hutc.zj.cn

引文格式: 邱為鋼. 科赫雪花孔的衍射圖案[J]. 物理與工程，2016，26(3)：18-19，23.