電勢的多級展開與對稱性的關系

張曉秋艷　徐　巖　宋仁剛　王學水

(山東科技大學電子學院應用物理系，山東 青島　266590)

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電勢的多級展開與對稱性的關系

張曉秋艷徐巖宋仁剛王學水

(山東科技大學電子學院應用物理系，山東 青島266590)

研究電荷分布在小區域內的情況時，常用多級展開的方法.本文研究了對稱分布的帶電體的電勢場與電多極矩的關系，并用圖像的方法說明了電勢的各級展開多電荷勢的物理意義和疊加形式.從電多極矩的公式出發，分析了有對稱性的帶電體的電勢場與電多極矩的關系，并給出了對稱變換的正交矩陣.可以通過電荷分布的對稱性，迅速判斷多級展開的各級近似是否為零，并進而得到簡化的多級展開式.這對加深電多極矩展開內容部分的學習理解和具體計算十分有益.

多級展開；電偶極矩；電四極距；對稱性

1　多級展開的物理思想

研究電荷分布在小區域內的情況時，可以用多級展開的方法，將它在遠處某點的電勢表示成各級多電荷勢的疊加形式，求出電勢的近似值.下面用電勢多級展開圖像來說明.

圖1　多級展開圖像

現在用○表示等量的正、負電荷±q重合在一起，⊕表示正電荷+q，?表示負電荷-q.如圖1(a)為一帶電體，設O點為帶電體的幾何中心，而帶電體的電中心偏離幾何中心，在這種情況下，電荷系統才能做多電極展開[1].如圖1(a)所示的電荷系統可以分解為(b)+(c).(b)的電中心與幾何中心重合，相當于一個點電荷，(c)是一個電偶極子，其電中心與幾何中心不重合.用同樣的方法，(c)所示的電荷系統可以分解為(d)+(e).(d)為電中心與幾何中心重合的電偶極子，(e)為電中心與幾何中心不重合的電四極子.(e)所示的電荷系統可以分解為(f)+(g).(f)為電中心與幾何中心重合的電四極子，(g)為電中心與幾何中心不重合的電八極子.電八極子也可以繼續分解.

依此類推，在不同近似取項中只有最后一個多極子的中心點不在原點上.但隨著取項的增加,最后多極子的中心點將更加靠近多極展開的中心(O點)，對應著φ(x)的計算精度越來越高[2].如圖2，帶電體(a)可以看做點電荷(b)加電中心與幾何中心重合的電偶極子(d)加電中心與幾何中心重合的電四極子(f)加電中心與幾何中心重合的電八極子(h)….

圖2　各級近似疊加

由此可見，電多極矩展開的實質是把一個中心不在原點的電荷體系在遠處某點產生的電勢，看作一個中心位于原點的點電荷在該處產生的電勢與一系列電中心與幾何中心重合的電多極子產生的電勢的疊加.

2　電勢的多級展開

已知真空中電荷密度ρ(x′) 激發的電勢為

(1)

(2)

把上式代入式(1)得

(3)

則式(3)可寫為

上式是電荷體系激發在遠處的多級展開式.具體的推導過程詳見電動力學教材[3]，這里不再贅述.

3　多級展開與電勢場的對稱性的關系

對帶電體產生的電勢多極矩展開的意義，主要是為了得到一種求電勢的方法，特別是在帶電體電荷分布具有某種對稱性時，多級展開不失為一種行之有效的方法.

我們可以通過電荷分布的對稱性，迅速判斷多級展開的各級近似是否為零，并進而得到簡化的多級展開式.

哪些對稱性與電勢的多級展開有關？下面討論各級展開與對稱性的關系.

1) 電勢的一級近似

2) 電勢的二級近似

電偶極矩表達式為p=∫Vρ(x′)x′dV′，當電荷分布過原點對稱(對稱1)時，有ρ(-r)=ρ(r)，于是rρ(r)dV′+(-r)ρ(-r)dV′=0，得到p=0.在三維情況下，電荷坐標分布的中心反演的正交變換可以寫成

所以當帶電體電荷分布對原點對稱時，p=0，電勢的二級近似φ(1)=0.

3) 電勢的三級近似

電四極矩表達式為

三維情況下，帶電體電荷坐標分布對x軸對稱的正交變換可以寫成

關于y軸對稱的正交變換

關于z軸對稱的正交變換

式中：u,v∈{1,2,3}表示T1、T2和T3之間任意兩個時段的索引，Tu和Tv可以相同也可以不同；PEi,u表示電動汽車i在分時電價體系下Tu時段的充電需求；PEi(t)為在基本時間間隔t內的充電功率；ρv表示Tv時段內的分時電價價格；和分別表示非分時電價體系下的電動汽車各時段充電需求和電價，其中

在平面情況下，由式可知當x2=y2時，即電荷分布相對對稱軸l:x=±y對稱時(對稱3)Dij=0.

在三維情況下，滿足x2=y2=z2時，由D11+D22+D33=0得，Dij=D11=D22=D33=0.

下面分析滿足x2=y2=z2的空間對稱操作.

當電勢場分布對稱性分別滿足上面對稱2且滿足對稱3或者對稱3′時，電四極矩為零Dij=0，即電勢的三級近似φ(2)=0.

4　電勢場對稱性的應用

可以用上面總結的電荷分布的幾種對稱性，快速判斷出電勢的多級近似值.

例1球對稱分布的電荷系的電勢

例2一均勻帶電環，電荷量為q，半徑為a.環外為真空.試求它在離環心為r(r≥a)處產生的電勢.

圖3　(例2)

例3[4]長為a的正方形的4個頂點上各有一個點電荷，它們的電荷量依次為q,-q,q和-q，如圖4所示，對于r≥a的區域來說，這4個點電荷構成一個平面電四極子.試求這平面電四極子在P點(P點與平面電四極子在同一平面內)產生的電勢φ.

圖4　(例3)

例4均勻帶電的長形旋轉橢球體半長軸為a，半短軸為b，帶總電荷Q.

可以得到以下基本結論：D33=0，可以推定帶電體是球形的；D33>0，可以推定帶電體為長旋轉橢球形;D33<0，可以推定帶電體為扁橢球形； |D33|的值越大，帶電體偏離球形越遠. 因此，在原子核物理中，電四極矩是重要的物理量，它能夠反映原子核偏離球形形變的大小[3].

5　結語

本文研究了有對稱性的帶電體的電勢場與電多極矩的關系，并給出了對稱變換的正交矩陣.從帶電體電多極矩的展開公式出發，給出了用圖像求解的方法來形象直觀地說明帶電體電勢的各級多電荷勢的物理意義和疊加形式.這樣，可以通過電荷分布的對稱性，迅速判斷多級展開的各級近似是否為零，并進而得到簡化的多級展開式.在論文中給出了在帶電體系具備3種對稱性時如何快速寫出多級勢，論文的研究內容對加深電多極矩

展開內容部分的學習理解和具體計算十分有益.

[1]陳義成.電動力學及其計算機輔助教學[M].北京：科學出版社，2007：73-75.

[2]蔣德瀚.電勢多極展開的物理圖像[J].甘肅高師學報，2004(02):12-15.

[3]郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社，2008：63-67.

[4]林璇英，張之翔.電動力學題解[M].北京：科學出版社，2007:233-236.

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THERELATIONSHIPBETWEENMULTIPOLEEXPANSIONOFTHEELECTRICPOTENTIALANDTHESYMMETRYOFELECTRICFIELD

ZhangXiaoqiuyanXuYanSongRengangWangXueshui

(DepartmentofAppliedPhysics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590)

Onthestudyofthechargedistributioninthesmallregion,weoftenusemultipoleexpansionmethod.Therelationshipbetweenthesymmetryofchargedistributionandtheelectricmultipolemomentisinvestigatedinthispaper.Methodofimageisusedtodescribethephysicalmeaningandsuperpositionformofmultiplechargepotentialinthemultipoleexpansionofelectricpotential.Startingfromtheformulaofelectricmultipolemoment,therelationbetweenthesymmetryofchargedistributionandtheelectricmultipolemomentisanalyzed,andtheorthogonalmatrixforsymmetrytransformispresented.Wecanquicklyjudgewhethertheapproximationsofthemulti-stageexpansionsequaltozerothroughthechargedistributionofsymmetry,andthensimplifythemulti-stageexpansion.Thismethodisveryusefulforlearningandunderstandingofthecontentoftheelectricmultipolemomentexpansion.

multipoleexpansion;electricdipolemoment;electricquadrupolemoment;symmetry

2015-05-24;

2015-09-13

山東科技大學教學研究項目(GJ201304，qx2013129，JG201506)和山東科技大學研究生教育創新項目(KDYC13026)資助課題.

張曉秋艷，女，山東科技大學電子學院應用物理系12級本科生.779090424@qq.com

引文格式: 張曉秋艷，徐巖，宋仁剛，王學水. 電勢的多級展開與對稱性的關系[J]. 物理與工程，2016，26(3)：78-81，86.