應變模態分析及其與位移模態的關系研究

陳　晗，宋漢文

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092）

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應變模態分析及其與位移模態的關系研究

陳晗，宋漢文

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092）

振動實驗分析中，動態應變信息與位移信息具有互補性，位移響應大的地方應變響應一般較小，反之亦然。基于動態應變測量的應變模態分析理論及參數辨識與基于位移（或速度、加速度）測量的位移模態分析理論同源，但二者之間的理論關系及其相互修正方法缺乏深入有效的研究。以等截面直梁為對象，首先導出激勵力-動態應變響應的頻率響應函數表達式，討論應變模態參數的辨識方法。在此基礎上，進一步構建屬于同一特征值的應變振型與位移振型之間的變換關系，并詳細分析應變-位移變換矩陣的特性。仿真算例表明所建立變換關系的合理性與正確性。

振動與波；應變模態分析；頻響函數；模態參數辨識

上世紀90年代初，李德葆等從原理和方法上系統地總結了實驗應變模態分析，給出了推導公式、應變傳遞函數矩陣及測量方法和模態參數測量方法，并且只用應變測量得到了位移模態［1］。接著，李德葆等通過應變模態分析建立了振動應變響應預測的模態模型，使結構的動應力響應計算更為準確［2，3］。之后，人們大量運用應變模態理論做損傷識別和故障診斷，但對應變模態理論的進一步研究幾乎沒有。國外，Ewins等則著眼于先進的應變測量技術［4-7］。還有一些文獻雖然探討了應變模態和位移模態的關系，但并未詳細討論應變和位移的變換關系矩陣，也未探究應變模態數據應用于位移振型細化和修正的方法［8-10］。本文在前人的基礎上，重新構建了應變模態理論，建立了應變位移的變換關系并詳細分析了應變位移變換矩陣的特性，并提及了模態振型細化的過程。

1　基于應變的模態分析理論的構建

我國的模態分析技術發軔于20世紀60年代，80年代開始應變模態的研究，現在在理論和實踐方面均取得一定進展。

李德葆等在文獻［11］中認為應變模態和位移模態相互對應，是同一個平衡狀態的兩種不同表現形式，給出了幾種應變響應模態模型的推導方法。基于位移的振動方程為

其中｛f（ t）｝是外激勵，無論是簡諧激勵、脈沖激勵還是隨機激勵，都可直接施加并可測。

因為模態理論是一個在線性范圍內適用的理論，所以文中假設應變和位移有如下線性變換關系

將式（2）代入式（1），左乘［S］T，并整理得

令

可得

由位移模態理論易知

得出能用SIMO方式分析并可測的應變頻響函數矩陣（SFRF）為

這個應變頻響函數矩陣［Hε］不對稱，若只在j點激勵測i點響應，則應變頻響函數為

則［Hε］的第j列為

［Hε］的第i行為

測第i點激遍所有點即可得到這一行。這樣就可以得到位移模態振型｛?r｝。像分析位移模態一樣對這些應變頻響函數曲線進行模態分析便能得到相應的模態參數（固有頻率、阻尼比等）。

但是在實際測量中，激遍所有點比較麻煩，所以采用加速度傳感器和應變片對位布置的測量方法，這樣只需激勵1點測遍所有點就可以同時得到位移模態和應變模態。因此，由文獻［11］整理可得進行應變模態試驗分析的較優方法是：

（1）在一個選好的t點激振，結構其余點無激勵力輸入，而在結構的各點用加速度傳感器測得加速度響應，得到加速度頻響矩陣［H］的一列，然后用成熟的位移模態參數識別方法得到 kr、mr、cr及｛?r｝；

（2）在t點激振后可用與加速度傳感器對位布置的應變片同時測得結構各點的應變響應，得到［Hε］的一列的n條應變頻響函數曲線（ω）（i=1，2，...，n）；

（3）考慮為實模態情況，采用下式作為曲線擬合的依據

mr、νr和?tr已由位移模態分析中得到。

2　應變和位移關系的建立

從上述應變模態理論和應變模態試驗分析可知：建立具體的n測點應變數據和n測點位移數據之間的關系是理論成立的關鍵。

已知需要建立的關系式為：［Φ］=［S］［Ψε］，［S］矩陣為滿秩常矩陣，維數為n×n，因此有n×n個未知量，n為測點數；［Ψε］和［Φ］矩陣可以通過上節的應變模態試驗分析方法求得，維數為n×m，m為模態階數。在工程實際中，模態分析一般是多測點、少模態，即布置成百上千的測點去分析結構振動的前幾階或十幾階模態。這是因為

（1）高階模態對結構響應的貢獻很小，可以忽略；

（2）如果測點布置不合理，在某階模態之后就會出現模態分析的定性錯誤，再也不能得出正確的模態振型，布置再多的測點也沒用。在對一個未知結構做模態測試時，并不能提前知道如何最合理地布置測點，一般等間距布置或根據工程經驗，這就導致布置n個測點并不能得出正確的n階模態振型。

但實際結構往往比較復雜（復雜的連接方式、組成材料的復雜、局部自由度等），有限元建模不夠準確，以致應變和位移的關系難以準確建立，導致具體應用時具有局限性。所以，先討論較簡單的梁結構模型，見圖1。

圖1　等直梁模型示意圖

設如上等截面直梁只做橫向彎曲振動，并沿梁長方向建立坐標系，布置n+1個測點，根據文獻［7］則有

為測點位移列向量。式（18）可進一步寫為

其中

B1和B2為［B］的分塊矩陣

在模態坐標下則有

對客戶而言，這個行業沒有最好的月嫂，也沒有最貴的月嫂，只有合適的月嫂。并且，標準不能取代服務，標準的機械化可能還會影響服務效果。母嬰服務就是要形成人性化的服務，母嬰服務的核心競爭力就是人性化，要逐漸地讓母嬰服務變為價值性、稀缺性、不可替代性、難以模仿的服務。那在母嬰服務中如何體現核心競爭力呢？這就要求我們的母嬰護理師具備以下四個要素：職業忠誠度、職業適應力、溝通能力和法律素養，要讓母嬰服務變成有感情的服務。

轉角的計算值取

在非測點處認為

在測點處認為

則有下列矩陣表達式

數值積分第二次可得

由式（26）進一步推得

以懸臂梁為例，有約束?0r=0，ψεnr=0，θ0r=0（其它約束情況以此類推），則可得

進一步記為

這就得出了位移、轉角和應變模態振型之間的關系。［P1］、［P2］和［Q］都只與測點坐標值有關，為常矩陣。易知，如果位移、轉角和應變模態振型之間是相互對應的，即滿足下面關系

圖2　懸臂梁模型示意圖

記U-1=L，則

推出：

3　算例和仿真

3.1關系矩陣［Sπ］的準確性

表1　計算位移振型和理論位移振型誤差值

圖3　前4階計算位移振型和理論位移振型

（1）［Sπ］間的偏差

易知模態階數相差越大，［Sπ］間的偏差也越大，故前10階［Sπ］間的最大偏差［S10，10］與 ［ S11］的差σ=norm（［S10，10］-［S11］）隨測點數n的變化關系見圖4。

圖4　偏差σ變化趨勢圖

圖6　偏差變化趨勢圖

4　結語

［1］李德葆，諸葛鴻程，王波.實驗應變模態分析原理和方法［J］.清華大學學報（自然科學版），1990（2）：105-112.

［2］李德葆.結構動力分析的應變模態法［J］.機械強度，1990（3）：56-61.

［3］李德葆，張元潤，羅京.動態應變/應力場分析的模態法［J］.振動與沖擊，1992，12（4）：15-22.

［4］MILENA MARTARELLI，DAVID J EWINS.Continuous scanning laser Doppler vibrometry and speckle noise occurrence［J］.MechanicalSystemsandSignal Processing，2006，（20）:2277-2289.

［5］MAIO D DI，EWINS D J.Continuous Scan，a method for performing modal testing using meaningful measurement parameters；PartI［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011（25）:3027-3042.

［6］GIULIANI P，MAIO D DI，SCHWINGSHACKL C W，et al.Six degrees of freedom measurement with continuous scanninglaserdopplervibrometer［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013（38）:367-383.

［7］ANTHONY B STANBRIDGE，MILENA MARTARELLI，DAVID J EWINS.Measuring strain response mode shapes with a continuous-scan LDV［EB/OL］.http://proceedings. spiedigitallibrary.org/on 02/23/2014 Terms of Use:http:// spiedl.org/terms.

［8］YAM L Y，LEUNG T P，LI D B，et al.Theoretical and experimental study of modal strain analysis［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，191（2）:251-260.

［9］魏少東，何小斌.自由梁的位移、應變和聲模態分析［A］.現代振動與噪聲技術（9卷）［C］.2011：296-299.

［10］KRANJC T，SLAVIC J，MBOLTE ZAR.A comparison of strain and classic experimental modal analysis［J］.Journal ofVibrationandControl，2014，DOI:10.1177/ 1077546314533137.

［11］李德葆，陸秋海.實驗模態分析及其應用［M］.北京：科學出版社，2001.

［12］F′ABIO LUIS MARQUES DOS SANTOS，BART PEETERS，HERMAN VAN DER AUWERAER，et al. Strain-based experimental modal analysis:use of mode curvature and strain-to-displacement relations［EB/OL］. 2015-3-10.http://www.researchgate.net/publication/ 278963104.

Analysis of Strain Modals and the Relationship between the Strain Modals and Displacement Modals

CHENHan，SONG Han-wen

（School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China）

In the vibration test analysis，there is a mutual complementarity between dynamic strain data and dynamic displacement data，i.e.strong displacement response usually corresponds to weak strain response and vice versa.Strain modal analysis theory and parameter identification based on the measurement of dynamic strain are considered to be homologous with displacement modal analysis theory based on the measurement of displacement（or velocity，or acceleration），but the relationship and mutual modification of them are lack of further study.In this paper，taking a cantilever beam model as an example，the expression of the dynamic strain frequency response function to the exciting force is derived and the strain modal parameter identification method is discussed.On this basis，the transformation relation between the displacement modal and the strain modal with the same eigenvalue is established，and the characteristics of straindisplacement transformation matrix are deeply analyzed.The numerical simulation and example show the rationality and correctness of the transformation relation.

vibration and wave；strain modal analysis；frequency response function；modal parameter identification

O32

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.002

1006-1355（2016）04-0007-07

2016-01-29

國家自然科學基金資助項目（11272235）

陳晗（1991-），男，湖南省人，碩士生，主要研究方向為模態分析。

宋漢文，男，教授，博士生導師。E-mail:hwsong@tongji.edu.cn