正交各向異性功能梯度材料平板振動分析

徐　坤，陳美霞，謝　坤

（華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074）

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正交各向異性功能梯度材料平板振動分析

徐坤，陳美霞，謝坤

（華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074）

基于一階剪切理論，研究四邊簡支正交各向異性功能梯度材料（FGM）板的自由振動和受迫振動。假設剪應力沿厚度方向呈拋物線分布，利用剪切應變能與剪切余能相等原理，得到正交各向異性功能梯度平板的剪切修正系數。利用虛位移原理得到功能梯度平板運動方程，并采用Navier方法對運動方程進行求解。通過與有關文獻及有限元計算結果對比，驗證該方法的正確性。在此基礎上，分析厚度方向上由纖維和基體按照不同體積梯度分布的三種（P-，S-，C-FGM）平板的固有振動和受激振動特性，結果表明纖維體積分數變化區間越大，梯度型式及梯度指數對其振動特性影響越顯著；纖維體積分數關于平板中面反對稱分布（S-FGM）時，平板振動特性受梯度指數影響較小。

振動與波；功能梯度材料；一階剪切理論；剪切修正系數

功能梯度材料（FGM）是一種新型復合材料，其具有空間連續梯度變化的微觀結構，可引起材料屬性的梯度變化。功能梯度材料板相比層合板消除了材料連接處的宏觀界面，實現了材料內部功能的漸變，具有緩和熱應力、避免或降低層間應力集中等優點。此外，功能梯度材料具有良好的可設計性，可通過合理設計來改變材料的組成及梯度變化形式，實現不同功能的組合和優良的力學特性。

目前，功能梯度材料板殼的彎曲和振動問題研究與層合板［1-2］類似，主要有基于板理論的解析方法以及有限元方法等。Chi等［3-4］根據經典板理論和Fourier級數展開，分析了功能梯度平板彎曲問題，認為功能梯度平板彎曲剛度不同于均質板，是關于材料參數分布的復雜組合。曹志遠［5］和Loy［6］采用經典板理論分別分析了矩形平板和簡支功能梯度材料圓柱殼的固有頻率。Nguyen［7］基于1階剪切變形理論，分析了功能梯度材料平板的彎曲問題。Reddy［8］和Akbarzadeh［9］基于3階剪切變形理論，分別得到了功能梯度平板的理論方程，以及通過Fourier級數展開和Laplace變換，分析了梯度平板在動載荷作用下的響應。Ferreira［10］基于1階、3階剪切變形理論及MQ徑向基函數分析了功能梯度板的自由振動。Qian［11］基于高階剪切變形理論及局部彼得洛夫-伽遼金法分析了功能梯度平板的靜力及動力變形問題。對于功能梯度材料夾芯板，李華東［12］將位移和橫向剪力用三角級數展開，研究了四邊簡支功能梯度夾層板的自由振動問題。

由于工藝等條件的限制，實際的功能梯度材料很少是各向同性的，而是大多表現出正交各向異性［13］。Ramirez［14］采用離散分層理論結合Ritz法分析了各向異性功能梯度板的彎曲問題。Batra［15］基于1階剪切變性理論及有限元法，分析了纖維鋪角對各向異性功能梯度平板固有頻率的影響。Zhang［16］基于3階剪切變形理論，分析了正交各向異性功能梯度平板的非線性振動問題。陳偉球［17］通過引入位移函數和應力函數，結合分層近似理論分析了橫觀各向同性功能梯度材料板的自由振動。

文獻［3-11］的研究對象主要為各向同性材料功能梯度板，而且大都只假設材料的楊氏模量在厚度方向上梯度變化，未考慮梯度材料中密度等其他材料參數變化。此外，采用1階剪切變形理論求解功能梯度平板的振動問題同高階方法［8-16］相比，不僅具有足夠的精度［17］，且公式中變量的物理意義明確、步驟更加簡便、求解效率更高。

文中基于1階剪切變形理論，假設了剪力沿厚度方向上的分布形式，導出了正交各項異性功能梯度板的剪切修正系數計算式及四邊簡支功能梯度平板自由振動及受迫振動的理論公式，并分析了不同組分體積梯度分布的三種（P-，S-，C-FGM）正交各向異性功能梯度平板的自由振動和受迫振動。

1　基本公式

考察受到橫向載荷作用且材料參數沿厚度方向變化的正交各向異性梯度材料矩形板。圖1是一種由纖維和基體在厚度方向上按照不同比例混合得到的正交各項異性梯度平板。由于厚度方向上組分體積分數梯度變化，平板沿厚度方向材料參數呈現梯度變化。此外，增強纖維的方向性使得平板呈正交各向異性。假設平板等厚度，平板材料彈性主軸方向與圖1中平板分析坐標系一致，板長為a，寬為b，厚度為h。

根據平板1階剪切變形的假設［18］，平板內任意一點的位移為

圖1　纖維與基體梯度混合的功能梯度平板

沿厚度方向的剪應變為

在1階變形假設下，板的應力應變關系滿足

式中Q11、Q12、Q22、Q44、Q55、Q66分別為板厚方向上的剛度系數，計算公式［18］為

G12、G13、G23為材料的剪切模量。截面合力N=（Nx，Ny，Nxy）T及截面彎矩M=（Mx，My，Mxy）T為

其中

矩陣元素Aij，Bij是關于Qij及厚度方向坐標z的積分，表達式分別為

由于梯度材料平板的材料參數沿板厚方向呈梯度變化，沿厚度方向的剪切變形不能忽略。采用1階剪切變形假設分析功能梯度材料平板的動力學問題時，由于廣義胡克定律和橫向剪切剛度為有限值，該假設下橫向剪應力沿厚度方向均勻分布，這與平板上下表面剪應力為零的邊界條件相矛盾，為了解決這個矛盾，需要對剪切系數進行修正［18］。這里對文獻［19］中的剪力分布假設進行擴展，假設梯度材料平板截面厚度方向上的應力分布與均勻材料梁的剪應力分布類似，即假設沿厚度h方向的平板截面的剪應力有式（8）中的拋物線型的分布形式

其中Qx和Qy分別為平板垂直于x和y單位長度截面上的剪力的合力。由于功能梯度平板材料厚度方向上的梯度變化，實際剪應力一般不再呈拋物線型式分布，但工程上采用該拋物線分布假設分析梯度平板得到的結果有足夠精度。根據剪切余能的定義，單位面積功能梯度板的剪切余應變能為

將式（8）代入式（9），得到應變能的表達式

假設C44、C55為修正后的剪切剛度，用C44、C55表示功能梯度平板的剪切余應變能密度為

按照剪切余應變能密度相等得到

修正前單位長度截面剪力表達式為

修正后的截面剪力的表達式為

由剪切修正系數的定義，得到剪切修正系數為

由式（15）可知，功能梯度材料平板的剪切修正系數是關于假設的剪應力分布函數以及功能梯度平板厚度方向的材料剪切模量的分布函數共同作用的表達式，在已知材料剪切模量分布的情況下，通過式（15）得到功能梯度平板修正后的剪切剛度。

根據虛位移原理，類比層合板的振動平衡方程［16］，得到功能梯度平板的動力學方程為

對于四邊簡支功能梯度板，平衡方程可采用雙三角級數方法求解［18］，假設功能梯度平板的位移滿足式（18）中的雙三角級數表達式

其中umn、νmn、φxmn、φymn和wmn為廣義位移幅值，式中的m和n分別為平板振動時在x方向及y方向的半波數。同樣，將橫向載荷展開成

截取位移函數表達式（18）前N項，代入平衡方程（16）中，并在平衡方程等式兩邊分別乘上對應的三角函數表達式，利用三角函數正交性解耦，得到關于廣義位移幅值的線性方程組

其中m，n，k，l=1，2…N，等式左邊是關于廣義位移為未知變量的線性組合，等式右邊為橫向載荷廣義力。求解得到功能梯度平板各個廣義位移幅值，得到平板在橫向力作用下的響應。

對于功能梯度平板的固有頻率，令qmn=0，由任意階振型（m，n）下廣義位移幅值不全為零，由式（21）系數矩陣的行列式為零，可得對應振型下的功能梯度板固有頻率值。

其中系數矩陣中的各元素即為平衡方程式（16）中對應振型廣義位移幅值的系數。

2　數值分析

2.1方法驗證

首先將本文方法的結果同文獻［20］各向同性功能梯度材料平板的固有頻率進行對比，如表1所示（無量綱化及p見文獻［20］）。本文方法結果同文獻結果差別較小，表明本方法能夠較準確退化分析各向同性功能梯度材料的固有振動。

對于正交各向異性功能梯度板，考察圖1所示的纖維和基體沿平板厚度方向按照一定梯度變化的比例混合而成的簡支平板，板長a=1.2 m，板寬b= 0.8 m，厚0.02 m。在平板厚度方向材料參數與纖維和基體的比例存在如式（22）的關系［19］。

其中E1為梯度板縱向楊氏模量，E2為橫向楊氏模量，ν12為主泊松比，G12為剪切模量。假設G23=G12，Gf和Gm分別為纖維和基體的剪切模量，纖維和基體均為各向同性材料，取纖維楊氏模量Ef=72 000 Mpa，基體楊氏模量Em=6 900 Mpa，纖維泊松比νf=0.22，基體的泊松比νm=0.4，纖維的密度ρf=2 500 kg/m3，基體的密度ρm=1 200 kg/m3，且剪切模量滿足式（22）中的關系。

假設基體材料體積分數Vm沿厚度方向呈梯度變化，且存在式（24）中的P、S、C三種型式的體積分數分布函數

S分布：

三種分布型式的表達式（24）中，V1、V2分別是功能梯度平板中基體體積分數Vm的最小值和最大值。特別地，對于P、C兩種分布，V1、V2分別為功能梯度平板下表面和上表面處的基體體積分數。式（27）中的指數γ選取不同的值，基體體積分數Vm的曲線也會呈現不同的變化趨勢，稱γ為梯度指數。圖2是V1=0.25，V2=0.75時，P、S、C三種分布型式功能梯度板厚度方向Vm隨γ變化曲線。

如圖2（a），P型分布下功能梯度平板厚度方向上基體材料的組分呈現冪律變化，梯度指數較大或較小時，基體體積分數會在平板一側表面出現較大梯度的變化。S型分布情況下，基體體積分數曲線關于平板中面呈類似“S”反對稱分布，C型分布情況基體材料體積分數關于平板中面對稱。

分別計算P分布形式下不同γ值下梯度平板的固有頻率，并將固有頻率同有限元方法結果進行對比。鑒于目前尚沒有功能梯度材料有限元分析的商用軟件，采用層合平板來近似等效功能梯度平板，即在有限元建模中，將梯度平板沿厚度方向上離散分成多層，每一層視為均勻材料，各相鄰層之間實現材料參數階梯變化，來近似模擬材料參數沿厚度方向上的連續的梯度變化。文中分層數為20時有限元結果已收斂，故有限元模型均采用20層等效。通過有限元方法同本文方法的對比驗證本文方法的正確性。表2是本文方法與有限元方法計算功能梯度板不同振型對應的固有頻率結果對比。

表1　不同厚寬比及p值下Al/ZrO2功能梯度方板基頻對比

為驗證梯度平板動響應分析正確性，計算梯度平板在受到點力作用下的頻響。激勵力作用于距離平板長邊和短邊各1/4處，如圖1，方向垂直于板平面，大小為1 N。圖3（a）和圖3（b）分別是本文方法與有限元方法計算P分布下激勵點速度頻響和平板均方振速的對比曲線。

模態分析和諧響應分析結果表明1階剪切方法與有限元方法吻合得較好，本文方法適用于梯度平板的動力學分析。

2.2功能梯度平板固有振動分析

對2.1中的模型，當V1=0.25，V2=0.75時P、S、C梯度型式平板的基頻隨γ變化如圖4。

由圖4可知，P、C分布梯度平板的基頻隨著梯度指數γ的增加而增大。這是由于γ越大，富含纖維的材料沿厚度方向的分布范圍越大。纖維的楊氏模量比基體的楊氏模量相比要大很多，兩者按照比例混合后，纖維的體積分數主要決定了梯度平板的剛度。纖維豐度高的材料沿厚度方向的分布范圍越大，平板的剛度也就越大，相應振型的固有頻率也就越高。對于S分布梯度板，隨著梯度指數變化，關于中面對稱的位置纖維體積分數總是呈現相反的變化，板的質量及剛度變化較小，因此γ對其固有振動特性影響不大。

表2　功能梯度板各階振型固有頻率同有限元結果對比

圖2　不同梯度指數γ下基體體積分數的分布曲線

圖3　本文方法與有限元結果對比

圖4　功能梯度板基頻隨梯度指數變化曲線

圖5（a）—圖5（c）所示的是V1和V2取不同組合時P、S、C梯度型式平板基頻隨γ的變化曲線。

由圖5（a）可知，P分布功能梯度平板的基頻總是隨著梯度指數的增加而增大，且（V2-V1）的差值越大，這種增加的趨勢越明顯。由圖5（b）可知，對于S型分布功能梯度平板，基頻隨著梯度指數的增加先增大，后減小。由圖5（c）可知，對于C型分布梯度平板，（V2-V1）對基頻的影響同P分布具有類似的規律。P、S分布中，（V2-V1）決定了平板上下兩個表面基體材料體積分數的差異，這表明功能梯度材料平板兩側材料差異越小，梯度指數對基頻的影響越小。C分布中，（V2-V1）決定了功能梯度材料板厚度中心位置與上下表面的基體材料體積的差異，這種差異越小，γ對基頻的影響越小。

2.3功能梯度平板受迫振動分析

對2.1中的模型，分析平板在點力作用下的均方振速，圖6（a）—圖6（c）是不同γ值下平板均方振速。

由圖6（a）可知，P型分布梯度平板的均方振速峰值頻率隨著γ值的增加而增大，這與平板固有頻率隨γ的變化規律一致。此外，大部分頻率下均方振速隨著γ值的增大而減小，這與平板中纖維體積分數增加，剛度有所增加有關。由圖6（b）可知，S分布梯度板的均方振速變化隨γ變化并不明顯，這是由于平板的材料參數總是關于平板的中面呈現相反規律的變化，對平板的振動特性影響起到了相互削減的作用。由圖6（c）可知，當γ=1與γ=1/5時梯度平板的均方振速差異較小，若P繼續增加，當γ=5時，平板的均方振速峰值頻率增大，且大部分頻率下均方振速水平有所下降。這是由于γ＜1時，材料參數隨γ的變化并不明顯，均方振速隨γ變化不大。γ從1到5，厚度方向上纖維的比例顯著增加，使得均方振速水平有所降低。

圖5　平板基頻隨體積分數變化曲線

圖6　功能梯度板均方振速隨梯度指數變化曲線

3　結語

基于1階剪切理論得到簡支正交各向異性梯度平板的自由振動及受橫向載荷激勵下的諧響應分析方法，通過對特定體積梯度混合得到的正交各向異性梯度復合材料平板的振動特性的數值分析，可以得到以下結論：

（1）采用1階剪切方法分析正交各向異性功能梯度平板的振動特性，通過與有限元方法的對比，表明本文方法具有較高的精度，利用該方法能夠較準確地分析功能梯度材料平板的固有振動和受迫振動問題；

（2）功能梯度材料平板的固有振動特性受到組分材料體積分數變化區間、梯度型式、梯度指數等因素的綜合影響。平板中纖維的體積分數的變化區間越大，梯度型式及梯度指數對其振動特性影響作用越顯著。當纖維材料的體積分數變化區間一定時，類似S型反對稱分布型式的平板受到梯度指數的影響較小，而冪律（P-）及對稱分布型式（C-）功能梯度平板的振動特性受梯度指數的影響較大；

（3）功能梯度材料平板的受迫振動特性受到組分體積分數、梯度型式以及梯度指數的影響，影響規律同固有振動特性規律一致，表現為平板厚度上纖維分布范圍越大，平板剛度變大，均方振速有減小的趨勢。

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VibrationAnalysis of Orthotropic Functionally Graded Plates

XUKun，CHEN Mei-xia，XIEKun

（School of NavalArchitecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）

Based on the first order shear deformation theory（FSDT），free and forced vibrations of orthotropic functionally graded material（FGM）plates with simply supported boundary conditions are analyzed.Utilizing the principle of shear strain energy and assuming that the shear stress distribution has the parabola form across the plate thickness，the shear correction coefficient of the orthotropic FGM plate is obtained.The dynamic equations of the plate are deduced by the principle of virtual displacement and solved by the Navier’s double Fourier series method.The present method is verified by finite element solutions.On this basis，the free and forced vibration characteristics of the plates with three different functional gradient types indicated by P-，S-and C-FGM respectively，are obtained and analyzed.These different functional gradients across the thickness of the plate are realized by different fibre-to-matrix volume ratios.The results show that the effects of gradient type and gradient exponent on FGM plates’vibration characteristics are more obvious when the volume fraction of the fibre varies in a larger range.The gradient exponent has little effect when the volume fraction of the fibre is antisymmetrically distributed（indicated by S-FGM）across the plate thickness.

vibration and wave；functionally graded material；first order shear deformation theory（FSDT）；shear correction coefficient

O327

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.003

1006-1355（2016）04-0014-07

2016-01-02

國家自然科學基金資助項目（51179071）

徐坤（1989-），男，湖北省隨州市人，碩士生，主要研究方向為振動與噪聲控制。

陳美霞，女，碩士生導師。E-mail:chenmx26@hust.edu.cn