影響復(fù)擺周期誤差因素的分析研究

許敏明， 王萍

(河池學(xué)院　物理與機(jī)電工程學(xué)院， 廣西　宜州　546300)

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影響復(fù)擺周期誤差因素的分析研究

許敏明， 王萍

(河池學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院， 廣西宜州546300)

針對(duì)復(fù)擺擺角、空氣浮力和復(fù)合阻力對(duì)復(fù)擺周期的影響，分別給出了相應(yīng)的周期修正公式和周期普遍修正公式，并利用給出的相關(guān)公式結(jié)合實(shí)驗(yàn)實(shí)際，定量評(píng)估了上述因素對(duì)測(cè)量復(fù)擺周期的影響，分析發(fā)現(xiàn)，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，擺角、空氣浮力的影響應(yīng)該考慮，而復(fù)合阻力的影響可忽略不計(jì)。

復(fù)擺；實(shí)驗(yàn)；誤差；修正

0　引言

1　復(fù)擺實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)介

1.1實(shí)驗(yàn)原理

圖1　復(fù)擺

如圖1表示一個(gè)形狀不規(guī)則的剛體，掛于過(guò)O點(diǎn)的水平軸(回轉(zhuǎn)軸)上，若剛體離開(kāi)豎直方向轉(zhuǎn)過(guò)θ角度后釋放，它在重力力矩的作用下將繞回轉(zhuǎn)軸自由擺動(dòng)，這就是一個(gè)復(fù)擺。擺動(dòng)過(guò)程中，復(fù)擺受重力和轉(zhuǎn)軸的反作用力，而重力矩起著回復(fù)力矩的作用。

設(shè)質(zhì)量為m的剛體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，讓剛體繞固定軸O在豎直平面內(nèi)作左右擺動(dòng)，G是該物體的質(zhì)心，質(zhì)心與軸O的距離為h，θ為其擺動(dòng)角度。

此時(shí)剛體受到一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的作用而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，此力矩為

M=-mghsinθ

(1)

其中，θ為轉(zhuǎn)動(dòng)角位移，負(fù)號(hào)表示力矩的方向，它總是與角位移方向相反。

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M應(yīng)為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與角加速度的乘積，即

(2)

將式(1)的M代入式(2)中稍加整理得

(3)

當(dāng)轉(zhuǎn)角很小，滿足θ<5°時(shí)，上式成為

由上式可看出此時(shí)剛體的運(yùn)動(dòng)是一種諧振動(dòng)，其振動(dòng)的圓頻率為

(4)

此時(shí)復(fù)擺的振動(dòng)周期為

(5)

設(shè)a為復(fù)擺對(duì)質(zhì)心軸G的回轉(zhuǎn)半徑，則剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心G且平行于回轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量TG=ma2，根據(jù)平行軸定理得

I=ma2+mh2

將此公式代入式(5)，得

(6)

上式即為復(fù)擺在無(wú)空氣阻力、支點(diǎn)光滑無(wú)摩擦、擺角無(wú)窮小的理想情況下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期公式，我們把T0稱為理想周期，ω0則為理想狀態(tài)下的圓頻率。通過(guò)測(cè)量復(fù)擺在不同支點(diǎn)擺動(dòng)的周期和回轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心軸的距離h，就可以利用公式(6)近似地算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。

1.2實(shí)驗(yàn)儀器裝置

圖2　復(fù)擺

以如圖2所示實(shí)驗(yàn)裝置為例，實(shí)驗(yàn)所用復(fù)擺為一均勻鋼板，寬約幾厘米，長(zhǎng)約100厘米。它上面從中心向兩端對(duì)稱地開(kāi)有數(shù)量相同的小孔。測(cè)量時(shí)分別將復(fù)擺通過(guò)小圓孔懸掛在固定刀刃上。

常用的計(jì)時(shí)儀器有數(shù)字毫秒計(jì)(精度為0.000 1 s)或電子秒表(精度0.01 s)和機(jī)械秒表(精度為0.1 s)；測(cè)量長(zhǎng)度所用的鋼尺精度為0.001 m。

2　影響復(fù)擺實(shí)驗(yàn)誤差的因素

2.1影響復(fù)擺實(shí)驗(yàn)誤差因素概述

影響復(fù)擺實(shí)驗(yàn)誤差的因素有系統(tǒng)誤差也有隨機(jī)誤差。解決誤差問(wèn)題的重點(diǎn)在于解決系統(tǒng)誤差問(wèn)題，而系統(tǒng)誤差的難點(diǎn)在于分析實(shí)驗(yàn)方法帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，其中包括了實(shí)驗(yàn)原理的近似性、實(shí)驗(yàn)條件與理論要求的偏差、測(cè)量方法等因素，以下重點(diǎn)分析和評(píng)估復(fù)擺的擺角、浮力以及阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)帶來(lái)的影響。

2.2復(fù)擺周期的理論公式

2.2.1任意擺角的復(fù)擺周期公式

可得出

上式是第一類勒讓德橢圓積分[1]，其模數(shù)為k,按其級(jí)數(shù)解可求得

略去高次項(xiàng)，得

(7)

由式(7)可看出，考慮擺角影響后的運(yùn)動(dòng)周期大于理想周期。

2.2.2在浮力作用下的復(fù)擺周期公式

設(shè)復(fù)擺受浮力為f，則復(fù)擺總的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為

M=(-mgh-fh)sinθ

將上式代入式(2)中稍加整理得

設(shè)空氣密度為ρ0，復(fù)擺密度為ρ，當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，則上式化為

則周期為

(8)

因此可從式(8)看出引入了浮力之后的周期大于理想周期。

2.2.3在復(fù)合阻力作用下的復(fù)擺周期公式

在流體中運(yùn)動(dòng)的物體受到的阻力比較復(fù)雜，一般與物體的截面積、流體的密度成正比，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，影響轉(zhuǎn)軸處摩擦阻力的因素也很復(fù)雜，摩擦阻力的大小與轉(zhuǎn)軸的光滑程度及壓力狀況等有關(guān)，摩擦阻力不可能消除。因此復(fù)擺在空氣中振動(dòng)時(shí)受到的阻力很復(fù)雜，與具體復(fù)擺的大小、形狀、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)還有支點(diǎn)狀態(tài)都有關(guān)系[2]。設(shè)復(fù)擺振動(dòng)時(shí)受到的總阻力fr的大小與復(fù)擺的質(zhì)心速度大小v成正比，阻力的方向都與質(zhì)心速度方向相反，即

上式中χ是與真實(shí)復(fù)擺及媒質(zhì)有關(guān)的阻力系數(shù)，在通常情況下χ的量級(jí)為(10-3～10-2)kg·s-1。則剛體受到的力矩為

將式(2)和式(4)代入上式，復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)方程為

按照微分方程理論，因阻尼較小(β﹤ω0)，由上式可求出復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)方程為

θ=θ0e-βtcos(ωt+φ)

(9)

將上式按二項(xiàng)式展開(kāi)得

上式略去高次項(xiàng)得

(10)

從式(10)可見(jiàn)，復(fù)擺在空氣中受到復(fù)合阻力的周期T大于理想復(fù)擺的周期T0.

3　復(fù)擺周期普遍修正公式

在任意擺角的復(fù)擺周期公式(7)中，如果把空氣浮力考慮進(jìn)去，則式(7)成為

(11)

(12)

令

(13)

再考慮復(fù)合阻力，這里把式(9)中的ω寫(xiě)為

把復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)周期寫(xiě)為

將式(13)代入上式化簡(jiǎn)按二項(xiàng)式展開(kāi)，然后整理、略去高次項(xiàng)得

(14)

即考慮了空氣浮力、阻尼、擺角的大小后復(fù)擺周期的近似公式為

(15)

4　對(duì)影響復(fù)擺周期因素的討論

以下將在普通的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)影響復(fù)擺周期的因素進(jìn)行討論和評(píng)估。

4.1角振幅θ0的影響

表1　不同角振幅時(shí)振動(dòng)周期的修正量

設(shè)復(fù)擺的周期為2s，則擺角小于5°時(shí)ΔT<0.000 95 s。如果測(cè)量時(shí)間用的是秒表，精度為0.1 s或0.01 s，則0.01 s比0.000 95(擺角5°時(shí))高2個(gè)數(shù)量級(jí)，若只對(duì)周期進(jìn)行單次測(cè)量，則此時(shí)由擺角所引起的系統(tǒng)誤差可以忽略。如果用的是數(shù)字毫秒計(jì)時(shí)裝置，精度為0.000 1 s，此時(shí)對(duì)復(fù)擺周期作單次測(cè)量，2°～5°的擺角對(duì)周期的影響依然能表現(xiàn)出來(lái)，而1°以下的擺角對(duì)周期的影響就體現(xiàn)不出來(lái)了。

4.2空氣浮力的影響

4.3復(fù)合阻力的影響

由式(10)知，復(fù)合阻力的影響為

(16)

由式(9)知，復(fù)擺作小角振動(dòng)由于阻力的影響，角振幅隨時(shí)間的增加按指數(shù)方式衰減，規(guī)律為

若經(jīng)過(guò)t時(shí)間，角振幅從θ0變化到θ1，則阻力系數(shù)

把上式代入式(16)得

(17)

為算出?T/T0還必須知道剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和角振幅從θ0變化到θ1所用的時(shí)間t.

表2　不同支點(diǎn)的復(fù)合阻尼修正量

設(shè)擺的周期為2 s，從表2知，當(dāng)懸掛點(diǎn)為第10個(gè)時(shí)，空氣阻尼對(duì)復(fù)擺周期的影響為?T/T0=3.04×10-5，則?T=6.08×10-5s，用數(shù)字毫秒計(jì)測(cè)量得的周期已不能體現(xiàn)出阻尼產(chǎn)生的影響。對(duì)比表1和表2的數(shù)據(jù)可知，其他的懸掛點(diǎn)的阻尼對(duì)復(fù)擺周期的影響比小擺角和浮力對(duì)周期的影響小約2～3個(gè)數(shù)量級(jí)，因此，在實(shí)驗(yàn)中一般情況下可忽略不計(jì)。而小擺角對(duì)復(fù)擺周期的影響與空氣浮力對(duì)周期影響是同一個(gè)數(shù)量級(jí)的，而且其影響能被數(shù)字毫秒計(jì)時(shí)器記錄下來(lái)，因而在測(cè)量精度較高的時(shí)候應(yīng)該對(duì)此進(jìn)行修正，此時(shí)，式(15)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，用上式作為復(fù)擺的周期公式已能滿足較高測(cè)量精度的要求。

[1]王梓坤.常用數(shù)學(xué)公式大全[M].重慶:重慶出版社,1991:465-467.

[2]何松林,黃焱.復(fù)合阻力作用下復(fù)擺振動(dòng)的研究[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,35(4):220-223.

[3]何松林,黃焱,戴祖誠(chéng)．復(fù)擺實(shí)驗(yàn)修正阻力影響的研究[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2010,29(7):41-43.

[Abstract]Aiming at the influence of compound pendulum swing angle, air buoyancy and composite resistance on compound pendulum period, this paper puts forward some corresponding periodic correction formula and cycle generally modified formula, and by using the given formula to combine with the experiment practice, carries out a quantitative assessment of the effects of mentioned factors on the measurement of compound pendulum.Analysis found that in college physical experiments, swing angle and air buoyancy’s effects should be taken into account, and impact of composite resistance can be ignored.

[Key words]compound pendulum; experiment; error; correction

[責(zé)任編輯劉景平]

Analysis Research on Factors Influencing Compound Pendulum Period Error

XU Min-ming, WANG Ping

(School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Hechi University,Yizhou, Guangxi 546300, China)

G642；O321

A

1672-9021(2016)02-0111-07

許敏明(1976-)，男，廣西宜州人，河池學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院講師，主要研究方向：大學(xué)物理、核物理。

廣西高校中青年教師基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目(KY2016YB385)；河池學(xué)院青年科研基金資助項(xiàng)目(XJ2015QN002)；河池學(xué)院教學(xué)軟件資助課題(2015ER07)。

2016-03-01