基于IFS法的分形圖形生成及優化設計

朱海祥

?

基于IFS法的分形圖形生成及優化設計

朱海祥[1]

（蘇州市職業大學 教育與人文學院，江蘇 蘇州 215104）

分形圖形具有自相似性、自仿射性和無標度性等特性，以系列壓縮仿射變換為基礎，輔以不同的初始函數、變量、顏色、漸變條、Xaos和三角變換等．利用IFS方法可以模擬生成許多數學分形和自然分形，在絲綢印染、藝術創作、廣告設計等領域有著廣泛的應用．

IFS；分形圖形；仿射變換

分形幾何研究的對象是一類不規則的、具有自相似性的幾何形體．自然界中自相似性現象是普遍存在的，分形幾何作為描述自然界的幾何語言，具有傳統歐氏幾何無法比擬的優勢，更加趨近于客觀事物的真實屬性和復雜性態，發現復雜無序對象中的規律性，同時又與人工繪圖有較大的差異．能夠更加逼真地任意描述圖形的精細結構，在藝術、廣告、壁紙、服裝和信息等方面有著廣泛的應用．

分形是研究自然界復雜現象的一種全新思想方法．很多在歐氏空間中無法描述的現象，用分形理論可以得到很好的解釋[1]．分形在通常的幾何變換下具有標度不變性，即圖形局部放大或縮小時滿足自相似性，該特性決定了分形無法用傳統的一維、二維、三維整數維度來刻畫．通過分形結構分析，對復雜不規則形態提供了一種數學框，從而得以定量描述．而分形結構分析中最具重要性的特征參數是分形維數（簡稱分維）[2]．如著名的Koch曲線，用一維的長度來描述是無窮大，用二維的面積來描述是0，分數維度是1.26，介于一維和二維之間；Menger海綿用二維的面積來描述是無窮大，用三維的面積來描述是0，而實際分數維度是2.73，介于二維和三維之間．這種自相似性都可以用圖形或函數的迭代、遞歸過程來描述，如仿射變換和復函數迭代生成法，本文主要研究基于仿射變換的分形IFS生成方法．

1分形圖形中的仿射變換

仿射變換是一種二維坐標到二維坐標之間的線性變換，除了滿足對于任意，，，有，條件外，變換前后須滿足，其中：，，，，，為實系數；，為未知數．復雜的仿射變換可以通過旋轉、傾斜、平移和縮放等基本子變換復合而成，圖形經過仿射變換后，仍保持二維圖形的“平直線”和“平行性”．常見的數學經典分形和自然分形都具有自仿射性，對于簡單分形而言，通過收縮的仿射變換，即壓縮映射，可以反復生成該圖形的縮小版復制品；對于復雜的自然圖形而言，一般需要若干個仿射變換共同作用于初始圖形才能生成縮小版復制品．每個子圖都是整體圖形的一個仿射變換，因此，一個迭代函數系統實際上是一組仿射變換的集合[3]．

迭代函數系統（iterated function system，IFS）生成法認為，幾何對象的整體和局部在仿射變換的意義下具有自相似結構．因此，可以通過定義對象的整體并選定若干仿射變換，將整體形態變換到局部，通過反復迭代過程直至得到滿意的圖形[4]．

2基本分形圖形的IFS生成

基本的分形圖形有Cantor集、Box分形、Koch曲線、Peano曲線、謝爾賓斯基三角墊和Menger海綿等．

以常見的分形圖——謝爾賓斯基三角墊為例，通過仿射變換分析其IFS的生成過程及原理，并以此為基礎，引入計算機分形圖形的IFS生成規則．

2.1分形圖形中的仿射變換

2.2分形圖形的計算機生成原理

Apophysis分形軟件繪制各種分形圖形的步驟為：（1）隨機選擇一個位置后，隨機選擇一個變換作用在該位置上，生成一個新的位置；（2）再隨機選擇一個變換作用在新的位置上，重復若干次后，得到第1個點；（3）隨機選擇一個變換作用在第1個點上，反復進行，可生成一個點序列，最后再回到（1）重復這個過程，即可根據所選擇的仿射變換生成對應的分形圖形．要注意的是初始仿射變換的個數必須大于或等于2，同時可利用非線性函數等內置算法作用于已生成的圖形，以期得到更絢麗的分形圖形．

2.3分形圖形的IFS碼

相對于謝爾賓斯基三角墊來說，可以利用Apophysis來生成更復雜的分形圖形，當然也需要選擇更多更復雜的仿射變換．為了直觀清楚地認識這些壓縮性的仿射變換，可根據各個變換的系數和概率值，生成該分形圖形的IFS碼．以Box分形為例，圖2a中Box分形由13個壓縮仿射變換生成，相應壓縮變換見圖2b．

a　5×5型Box分形 b　變換示意圖

通過分析Box分形中包含的13個仿射變換，可以生成該分形的IFS碼（見表2）．其它分形也可以通過類似的方法生成對應的IFS碼．

表2　55型Box分形的IFS碼

表2　55型Box分形的IFS碼

變換系數概率變換系數概率 abcdefabcdef 10.2000.2000.07780.2000.20.80.40.077 20.2000.20.400.07790.2000.20.20.60.077 30.2000.20.800.077100.2000.20.60.60.077 40.2000.20.20.20.077110.2000.200.80.077 50.2000.20.60.20.077120.2000.20.40.80.077 60.2000.200.40.077130.2000.20.80.80.077 70.2000.20.40.40.077

同樣也可改變仿射變換的個數和系數，生成各種變形的Box分形，創造出更漂亮的圖形．

2.4常見自然分形圖形的生成方法

除了經典的數學分形外，利用Apophysis軟件還可以生成樹葉、花草和山脈等自然分形．要生成這些圖形，關鍵是發現與之對應的幾個壓縮仿射變換，即目標圖形可分解為若干部分，而每部分通過一個仿射映射（即沿各個方向的放大率不同）與整體重合[5]．應用IFS系統的吸引子模擬自然景物，生成的圖像形態特征是由壓縮映射族和伴隨概率集共同決定的[6]．以圖3a中生成的蕨葉為例，分析其生成過程中所需要的各種仿射變換，整個蕨葉可以看成由左下角的小葉子、右下角的小葉子、中間的葉莖和其它的葉片4部分組成．由于蕨葉都是具有自相似、自仿射的圖形，因此4部分可分別通過對蕨葉進行壓縮仿射變換而得到．在Apophysis中用變換三角形表示仿射變換（見圖3b），圖3b中上面的變換是將整體稍微縮小后順時針偏移小的角度（記為變換1）；左下角的變換是將整體縮小并逆時針旋轉左右（記為變換2）；右下角的變換是將整體縮小后垂直翻轉并逆時針旋轉左右（記為變換3）；下面的變換是將整體方向上縮短，方向上收縮為一點（記為變換4）．這樣經過反復的隨機迭代后，即可生成圖3a中對應的蕨葉．在實際創作過程中，一般要對初步生成的分形圖形進行位置、大小和旋轉上的微調，以期生成更漂亮而逼真的圖形．最終分形蕨葉對應的４個仿射變換的IFS碼見表3，這里要特別注意的是最后一列概率值，與表２中各個變換等概率值不同，由于4個仿射變換的三角形面積不一樣，上面的變換最大，需要出現的次數更多，下面的變換最小，需要出現的次數較少，因此需進一步調整Weight值，改變選擇各個變換概率的大小，這樣才能生成比較完整的分形，否則會出現太過稀疏的分形蕨葉．對于一般的圖形，通過合理地選擇仿射變換系數，也能取得較好的模擬效果，但仿射變換系數的選擇仍然是一個值得探討的問題[7]．

表3 分形蕨葉的IFS碼

3自然分形圖形的優化設計

利用IFS可以模擬生成許多自然分形，其中最關鍵的是確定仿射變換的系數或IFS碼．為了設計出更具藝術效果的分形圖形，除了利用Apophysis仿射變換功能外，還可以選擇非線性函數、對數密度顯示與結構著色等Apophysis中內置的算法．在通曉這些功能的數學理論背景后，可以進行更廣泛的藝術創作，這樣設計出的分形圖形更具實用價值．

以分形花為例（見圖4），分析其形成過程中的各項功能選擇和設置．圖4中的分形花共包含4個變換三角形，每個變換三角形由不同的初始函數、仿射變換和顏色漸變等共同作用，結果分別對應于分形花的不同部分．變換三角形對應于花瓣；變換三角形對應于花叢；變換三角形對應于花蕾；變換三角形也對應于花叢．初始函數包括pre_blue，julian，separation，bubble等，其中bubble函數為

同時通過三角變換的反復作用，形成該分形花的IFS碼（見表4）．

表4　分形花的IFS碼

IFS方法程序編寫簡單，但IFS碼的取得比較復雜．該方法不僅可用于分形植物的繪圖，而且還可以用于圖像壓縮領域[8]．

4結語

分形圖形具有自相似性和自仿射性等性質，以壓縮仿射變換組為基礎，輔以不同的初始函數及其變量、顏色漸變條和三角變換等．利用IFS方法可以模擬生成許多數學分形和自然分形，這時生成的分形圖形往往比較單調，需要數學和藝術上的進一步改進和優化，才能形成絢麗的分形圖形，并能在絲綢印染、廣告設計和藝術創作上得到廣泛的應用．

[1] 孫洪泉．分形幾何及其分形插值研究[J]．河北工業大學學報，2002（1）：56-60

[2] 王東升，湯鴻霄，欒兆坤．分形理論及其研究方法[J]．環境科學學報，2001（S1）：10-16

[3] 潘陸益．IFS分形圖擬仿射變換模型及其實現[J]．計算機系統應用，2008（1）：83-86

[4] 朱華，姬翠翠．分形理論及其應用[M]．北京：科學出版社，2011：101

[5] 文志英，井竹君．分形幾何和分維數簡介[J]．數學的實踐與認識，1995（4）：20-29

[6] 章立亮．迭代函數系統IFS隨機分形的生成方法[J]．計算機工程與設計，2008（15）：3947-3950

[7] 翟俊海，劉振鵬．基于IFS的圖形模擬方法[J]．河北大學學報：自然科學版，2004（1）：87-90

[8] 趙慧蘭．基于分形幾何學的植物圖像計算機模擬[J]．浙江師范大學學報：自然科學版，2007（3）：299-302

Based on IFS method of fractal pattern generation and optimization design

ZHU Hai-xiang

（School of Education and HumanitiesSuzhou Vocational University，Suzhou 215104，China）

Fractal graphics has self-similarity，self-affine and scale-free feature．Based on a series of compressed affine transformation，and complementary with different initial functions，variables，change colors，edit the gradient and Xaos，triangle，etc，by the IFS method，simulate many mathematical fractal and fractal nature．In the silk printing，art making and advertising design，and other fields，it has been widely used．

IFS；fractal graphics；affine transformation

O189.3

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.007

2016-01-07

江蘇省絲綢織繡產品功能檢測試驗基地建設項目——分形圖形的IFS生成法及其在絲綢紋樣上的應用；蘇州市職業大學青年基金項目（2014SZDQ02）——基于J集和M集的分形圖形生成及其在絲綢紋樣上的應用

朱海祥（1981-），男，江蘇海安人，講師，碩士，從事數學教育和數學應用研究．E-mail：895887941@qq.com

1007-9831（2016）04-0028-04