大道至簡 回歸原點 觸類旁通

許峰

大道至簡 回歸原點 觸類旁通

許峰

原題：蘇科版七下第166頁第13題

13.（1）如圖1，AB∥CD，試用不同方法證明∠B+∠D=∠E.

圖1

圖2

【分析】回歸原點：條件中有AB∥CD，關于平行，我們只是學習了平行的有關性質與判定“三線八角”，如圖2，其中，關鍵的就是兩條平行線，一條截線.類比發現，圖1中，如果著眼于平行線，發現缺少截線，那么只要延長BE或DE即成截線，如果著眼于一條平行線與一條截線，那么需要添加另一條平行線.

證法一：

延長DE交AB于F，∵AB∥CD（已知），

∴∠D=∠DFB（兩直線平行，內錯角相等）.

∵∠DEB是△BEF的外角（已知），

∴∠DEB=∠B+∠DFB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），

∴∠DEB=∠B+∠D（等量代換）.

圖3

圖4

證法二：延長BE交CD于F，

∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠DFB（兩直線平行，內錯角相等），

∵∠DEB是△DEF的外角（已知），

∴∠DEB=∠D+∠DFB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），

∴∠DEB=∠B+∠D（等量代換）.

證法三：過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，EF∥AB（已知），

∴EF∥CD（平行線的傳遞性），

∴∠D=∠DEF（兩直線平行，內錯角相等）.

∵EF∥AB（已知），

∴∠B=∠BEF（兩直線平行，內錯角相等）.

又∠BED=∠BEF+∠DEF（已知），

∴∠DEB=∠B+∠D（等量代換）.

圖5

【歸納】這個類型的問題的解決，知識涉及平行線的性質與三角形的內外角和定理，方法是通過構造，使圖形符合基本圖形“三線八角”，這種轉化的解決方法，是非常重要的方法，它可以解決一類問題.

數學家華羅庚談到解題時說，“退”到最原始的地方去，是解決問題的一個訣竅.最原始的地方有二層意思，一層是題干信息中的關鍵詞：或語句、或點、或線（段）、或位置、或運動、或形的直觀、或式的特征、或形的對稱等，它驅動著思維起航，催生著解題思路的流暢，詮釋著解法是怎樣想到的；二層意思是概念、法則、公式、定理、基本圖形、基本思想方法，退回原點，溝通知識之間聯系，突破問題的難點.

變式1（2014·菏澤）如圖6，直線l∥m∥n，等邊△ABC的頂點B、C分別在直線n 和m上，邊BC與直線n所夾的角為25°，則∠α的度數為（）.

A.25°B.45°C.35°D.30°

變式2（2015·江蘇泰州）如圖7，直線l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，則∠2=_______°.

圖6

圖7

變式3（2016·安徽模擬）如圖8，直線AB∥CD，∠C=44°，∠E為直角，則∠1等于（）.

A.132°B.134°C.136°D.138°

圖8

變式4（2015·畢節）如圖9，直線a∥b，直角三角形ABC的頂點B在直線a上，∠C= 90°，∠β=55°，則∠α的度數為（）

A.15°B.25°C.35°D.55°

圖9

圖10

變式5（2015·河北）如圖10，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，則∠ACD=（）.

A.120°B.130°C.140°D.150°

變式6 如圖11，已知平面內有兩條直線AB、CD，且AB∥CD，P為一動點.

圖11

（1）當點P移動到AB、CD之間時，如圖（1），這時∠P與∠A、∠C有怎樣的關系？

證明你的結論.

（2）當點P移動到AB的外側時，如圖（2），是否仍有（1）的結論？如果不是∠P=∠C-∠A，請寫出你的猜想（不要求證明）.

（3）當點P移動到如圖（3）的位置時，∠P與∠A、∠C又有怎樣的關系？能否利用（1）的結論來證明？還有其他的方法嗎？請寫出一種.

化繁為簡是一種大格局、大智慧、大能力，在解決問題的過程中，同學們要有化繁為簡的意識，鍛煉自己快捷的思維方式，遇到一個問題，需要綜合考慮，將煩瑣之處、障礙之處真正地變得簡便、順暢，才能更加容易地解決問題，得出正確的結果.這種技能需要教師的幫助，更需要同學們自己的不斷探索.化簡要有理有據，要方法得當，恰到好處地將問題解決.同學們不斷地深化自己“化繁為簡”的數學思想，利用這種思想去科學合理地解決問題，努力讓化簡成為自身的一種常態化行為、一種非常熟練的技能.

答案：變式1.C，變式2.140度，變式3.B，變式4.C，變式5.C.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）