“證明”與中考

宋新陽

“證明”與中考

宋新陽

同學們，本章的學習對于數學體系的形成是非常重要的，因而各地的中考對它是很“關照”的.現列舉數例，大家共享：

一、考查命題或命題真假的判斷

1.（2015·長沙）下列命題中，為真命題的是（）.

A.六邊形的內角和為360度

B.多邊形的外角和與邊數有關

C.矩形的對角線互相垂直

D.三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】根據六邊形的內角和、多邊形的外角和、矩形的性質和三角形三邊關系判斷即可.

解：A.六邊形的內角和為720°，錯誤；

B.多邊形的外角和與邊數無關，都等于360°，錯誤；

C.矩形的對角線相等，錯誤；

D.三角形的兩邊之和大于第三邊，正確.

故選D.

【點評】本題考查命題的真假性，是易錯題.注意對六邊形的內角和、多邊形的外角和、矩形的性質和三角形三邊關系的準確掌握.（矩形的性質八年級將詳細地進行學習）

2.（2015·慶陽）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內，下列四條命題：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中是真命題的是__________.（填寫所有真命題的序號）

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案.

解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故①正確；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命題，故②正確；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，故③錯誤；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命題，故④正確.

故答案為：①②④.

【點評】本題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫作假命題，難度適中.

二、考查平行線的性質和判定

1.（2015·聊城）直線a、b、c、d的位置如圖1所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）.

A.58° B.70°C.110°D.116°

【分析】根據同位角相等，兩直線平行這一定理可知a∥b，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可解答.

圖1

圖2

解：如圖2，∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，

即∠5=180°-∠3=180°-70°=110°，

∴∠4=∠5=110°，故選C.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵.

2.（2015·泰州）如圖3，直線l1∥l2，∠α= ∠β，∠1=40°，則∠2= ______.

圖3

【分析】先根據平行線的性質，由l1∥l2得∠3=∠1=40°，再根據平行線的判定，由∠α=∠β得AB∥CD，然后根據平行線的性質得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入計算即可.

解：如圖4，延長AE交l2于B，

圖4

∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，

∵∠α=∠β，∴AB∥CD，

∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180° -40°=140°.故答案為140°.

【點評】本題考查了平行線的性質和平行線的判定.定理1：兩直線平行，同位角相等.定理2：兩直線平行，同旁內角互補.定理3：兩直線平行，內錯角相等.定理4：內錯角相等，兩直線平行.

三、考查平行線的性質、三角形內角和與垂直等知識的綜合應用

1.（2015·常州）如圖5，BC⊥AE于點C，CD∥AB，∠B=40°，則∠ECD的度數是（）.

A.70° B.60°

C.50°D.40°

圖5

【分析】根據兩直線平行，內錯角相等得到∠DCB=∠ABC.

由垂直定義得∠DCB+∠ECD=90°，從而∠ECD=∠ECB-∠DCB，

可得出答案.

解：∵CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB=40°，

∵BC⊥AE，∴∠ECB=90°，

∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=90°-40° =50°，故選C.

本題主要考查了平行線的性質與垂直的定義

2.（2015·宜昌）如圖6，AB∥CD，FE⊥DB，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數是（）.

A.60° B.50° C.40° D.30°

圖6

【分析】先根據直角三角形的性質求出∠D的度數，再由平行線的性質即可得出結論.

解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°.

∵∠1=50°，∴∠D=90°-50°=40°.

∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°.故選C.

【點評】本題考查的是平行線的性質，垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余.

四、考查平行線的知識與簡單實物的結合（如直角三角形，長方形）

1.（2015·湖北）如圖7，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在矩形直尺的一組對邊上.如果∠2=60°，那么∠1的度數為（）.

A.60° B.50°C.40°D.30°

圖7

【分析】根據三角形外角性質可得∠3= 30°+∠1，由于平行線的性質即可得到∠2= ∠3=60°，即可解答.

解：如圖8，

圖8

∵∠3=∠1+30°，∵AB∥CD，

∴∠2=∠3=60°，

∴∠1=∠3-30°=60°-30°=30°.

故選D.

【點評】本題考查了平行線的性質.也利用了三角形外角性質和垂直的定義.

2.（2015·鹽城）一塊等腰直角三角板與一把直尺如圖9放置，若∠1=60°，則∠2的度數為（）.

A.85° B.75°C.60°D.45°

圖9

【分析】首先根據∠1=60°，判斷出∠3=∠1=60°，進而求出∠4的度數；然后根據對頂角相等，求出∠5的度數，再根據∠2=∠5+∠6，求出∠2的度數為多少即可.

解：如圖10，∵∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠4=90°-60°=30°，

∵∠5=∠4，∴∠5=30°，

∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°.

故選：B.

圖10

【點評】此題考查了平行線的性質、對頂角相等、三角形外角的性質和對等腰直角三角板的認識，較為綜合.

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