二維奇異擾動問題的非等距有限差分格式

李 恬，王彩華，鄭尚昆

（天津師范大學 數學科學學院，天津300387）

二維奇異擾動問題的非等距有限差分格式

李 恬，王彩華，鄭尚昆

（天津師范大學 數學科學學院，天津300387）

通過對一維非等距中心差分格式引入擬合因子，構造了一類新型非等距中心差分格式，將其推廣到二維情形，得到一類針對二維奇異擾動問題的新型非等距五點差分格式，對該格式進行了截斷誤差估計.數值實驗部分采用4種非等距網格進行處理，結果表明該非等距差分格式對含邊界層的奇異擾動問題有很好的實用性.

奇異擾動問題；非等距網格；有限差分格式；擬合因子；截斷誤差估計

奇異擾動問題的解具有多尺度特性，由于擾動參數的引入，導致解在局部區域的改變很劇烈，而在其他區域平穩變化，即出現邊界層性狀.Pearson［1］首先嘗試將有限差分格式結合網格寬度來解決這類問題，之后，這種方法被Abrahamsson［2］做了深入探討，闡明奇異擾動問題差分方法的精度不會超過O（ε）.許多學者進一步對奇異擾動問題進行了研究.文獻［3］和文獻［4］針對奇異擾動問題得到了精度為O（h）和O（h2）的差分近似；文獻 ［5］改進了對流擴散方程的擾動差分方法，該方法對邊界層高Reynolds數效應有極高的分辨能力；文獻［6］對于一維奇異擾動邊值問題描述了10種產生Il′in差分格式的方法，并分析了相關方法的特點；文獻［7］建立了二維對流擴散方程的變步長擾動有限差分格式，該格式具有精度高、穩定性與收斂性好的特點；文獻［8］提出了非均勻網格上一維對流擴散方程的高階緊致差分方法；文獻［9］對一維定常對流擴散方程構造了二階精度的非等距網格差分格式，并給出格式的截斷誤差.對于二維奇異擾動問題，文獻［10-13］給出了利用Taylor級數展式構造高精度指數型五點差分格式的方法；文獻［14］給出了二維對流擴散方程的緊致差分格式；文獻［15］研究了用正交梯度網格構造二維高精度有限差分格式的方法.上述二維問題的差分格式都是基于等距網格的.在實際的流場計算中，非等距網格可以在邊界層進行細網格處理，因而相比采用相同結點數的等距網格，可以得到更精確的數值結果，且能反映出邊界層變化.本研究對于一維非等距中心差分格式，通過增加擬合因子，結合系數常數化，構造了一種指數型差分格式，并將此差分格式推廣到二維情形，得到一類針對二維奇異擾動問題的新型非等距五點差分格式，對該格式進行了截斷誤差估計.數值實驗在4種不同的非等距網格上進行，實驗結果表明本研究格式對于邊界層問題具有很好的實用性.

1 一維非等距差分格式的構造

考慮區間I=［0，1］上一維奇異擾動邊值問題

其中：u=u（x）為待求函數；ε為一正常數，0＜ε?1；a、b為給定的邊界值；p（x）為對流項系數，f（x）為源匯項，且p（x）、f（x）充分光滑.一般地，當p（x）＜0時，邊界層在x=0附近；當p（x）＞0時，邊界層在x=1附近.

將區間I=［0，1］剖分為N份，用xi表示節點坐標，設0=x0＜x1＜…＜xN-1＜xN=1，定義h=xi+1-xi，，并簡記.在等距情形下有.

記u0，u1，…，uN為方程（1）在剖分節點的精確值，U0，U1，…，UN為待構造的離散差分格式在剖分節點的計算值.

一維奇異擾動問題（1）在常系數情形下的精確解為

對等距中心差分格式引入擬合因子σi，設差分格式在節點處滿足

將精確解代入，求得

其中：ρi=pih/ε，σi=σ（ρi）.即得到Il’in差分格式

其中：

針對非等距網格引入擬合因子σi，設差分格式滿足

則離散方程在內點相應的差分格式為

將精確解

代入式（7），可得擬合因子

故可得新的非等距中心差分格式

其中：

2 二維非等距五點差分格式

考慮二維定常奇異擾動問題

求解區域為Ω=｛（x，y）|a＜x＜b，c＜y＜d｝，函數p、q、f、γ在Ω內充分光滑.對于五點差分格式，記（xi，yj）為0點，（xi+1，yj）為1點，（xi-1，yj）為3點，（xi，yj+1）為2點，（xi，yj-1）為4點，如圖1所示.

圖1 矩形網格的五點Fig.1 Five spots of rectangular mesh

二維奇異擾動問題（9）可分解為如下2個方程

對其在x、y方向上應用差分格式，引入擬合因子σh、σk，則得x、y方向上的一維非等距格式

結合以上2式可得非等距五點新差分格式

其中：

下面考慮非等距五點差分格式（13）的截斷誤差.對格式（13），利用Taylor級數展開式可得

于是

3 數值算例

對常系數和變系數帶邊界層的奇異擾動問題進行數值實驗，利用Gauss-Seidel方法進行計算機求解，為便于比較誤差，所給問題已知精確解.

實驗在4種非等距網格情形下進行.

（1）伸縮變換網格1.使用如下網格生成函數剖分［0，1］區間

其中：參數λ為網格伸縮系數，滿足|λ|≤1.當0＜λ≤1時，網格點隨著λ值的增大集中分布在x=1附近；當-1≤λ＜0時，網格點隨著λ值的減小集中分布在x= 0附近；當λ=0時，網格點均勻分布在［0，1］中.

（2）伸縮變換網格2.使用如下網格生成函數剖分［0，1］區間

其中：參數c為網格伸縮系數，滿足c＞0.當c較大時，網格點集中分布在x=1附近；當c→0時，網格點相對均勻地分布在［0，1］中.

（3）等比網格.當公比r＜1時，得到逐漸稠密的網格；當公比r＞1時，得到逐漸稀疏的網格.

（4）分塊均勻網格.將區間I=［0，1］均勻剖分為n份，然后再將其中1個或幾個子區間剖分為m等份.

例1 考慮二維常系數對流擴散方程

該問題的精確解為

計算區域為（x，y）∈［0，1］×［0，1］，邊界為

圖2給出了當Re=10、102、103、104時的精確解的曲面圖.表1給出了4種不同非等距網格下數值解與精確解的最大絕對誤差.前3種網格區域進行64×64的非等距剖分，方程為齊次情形，當Re=1時沒有出現邊界層，隨著Re的增大在x=1和y=1處出現邊界層.分塊等距網格中將區間先等距剖分51份，然后將最后一個區間等距剖分14份.

圖2 當Re=10、102、103、104時精確解曲面圖（例1）Fig.2 Exact solutions for Re=10，102，103，104（Example 1）

表1 4種非等距網格下的精確解與數值解的最大絕對誤差（例1）Tab.1 Maximum absolute errors of exact solutions and numerical solutions on four kinds of non-uniform meshes（Example 1）

例2 考慮變系數二維對流擴散方程

該問題的精確解為

計算區域為（x，y）∈［0，1］×［0，1］，邊界為

圖3給出了當P=10、102、103、104時精確解的曲面圖.表2給出了4種不同非等距網格下數值解與精確解的最大絕對誤差.前3種網格區域進行64×64的非等距剖分，方程為非齊次情形，當P=1時沒有出現邊界層，隨著P的增大在x=1和y=1處出現邊界層.分塊等距網格中將區間先等距剖分51份，然后將最后一個區間等距剖分14份.

表2 4種非等距網格下的精確解與數值解的最大絕對誤差（例2）Tab.2 Maximum absolute errors of exact solutions and numerical solutions on four kinds of non-uniform meshes（Example 2）

由表1和表2可知，對于不同的奇異擾動問題，本研究格式對含小邊界層模型的數值結果比較理想，隨著參數的增大，數值解和精確解的誤差逐漸變小，當網格點在邊界層內密集時，該格式能反映解在邊界層內的變化，因此本研究的非等距五點差分格式對邊界層問題具有很好的實用性.

圖3 當P=10、102、103、104時精確解曲面圖（例2）Fig.3 Exact solutions for P=10，102，103，104（Example 2）

［1］PEARSON C E.On a differential equation of boundary layer type［J］.Journal of Mathematics and Physics，1968，47：134-154.

［2］ABRAHAMSSON L R，KELLER H B，KREISS H O.Difference approximations for singular perturbations of systems of ordinary differential equations［J］.Numerische Mathematik，1974，22（5）：367-391.

［3］KELLOGG R B，TSAN A.Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points［J］.Mathematics of Computation，1978，32（144）：1025-1039.

［4］BERGER A E，SOLOMON J M，CIMENT M.Uniformly accurate difference methods for a singular perturbation problem［J］.Computational and Asymptotic Methods，1980（3）：14-28.

［5］陳國謙，楊志峰.對流擴散方程的指數型攝動差分法［J］.計算物理，1993，10（2）：197-207.CHEN G Q，YANG Z F.A perturbational finite difference scheme of exponential type for the convection-diffusion equation［J］.Chinese Journal of Computational Physics，1993，10（2）：197-207（in Chinese）

［6］ROOS H G.Ten ways to generate the Il＇in and related schemes［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，1994，53（1）：43-59.

［7］李桂波，李明軍，高智.對流擴散方程的變步長攝動有限差分格式［J］.水動力學研究與進展：A輯，2005，20（3）：293-299.LI G B，LI M J，GAO Z.The perturbational finite difference（PFD）scheme of variational step of convection-diffusion equation［J］.Journal of Hydrodynamics，2005，20（3）：293-299（in Chinese）.

［8］田芳，田振夫.非均勻網格上求解對流擴散問題的高階緊致差分方法［J］.寧夏大學學報：自然科學版，2009，30（3）：209-212.TIAN F，TIAN Z F.A high order compact finite difference method for convection diffusion problems on non uniform grids［J］.Journal of Ningxia University：Natural Science Edition，2009，30（3）：209-212（in Chinese）.

［9］曹廣滿，王彩華，齊海濤.對流擴散方程的非一致網格有限差分方法［J］.天津師范大學學報：自然科學版，2010，30（1）：7-10.CAO G M，WANG C H，QI H T.Non-uniform finite difference scheme method for convection-diffusion equations［J］.Journal of Tianjin Normal University：Natural Science Edition，2010，30（1）：7-10（in Chinese）.

［10］TIAN Z F，DAI S Q.High-order compact exponential finite difference methods for convection-diffusion type problems［J］.Journal of Computational Physics，2007，220（2）：952-974.

［11］WANG C H.A new way to generate an exponential finite difference scheme for 2D convection-diffusion equations［J］.Journal of Applied Mathematics，2014（5）：63-76.

［12］SANYASIRAJU Y，MISHRA N.Exponential compact higher order scheme for nonlinear steady convection-diffusion equations［J］.Communications in Computational Physics，2011，9（4）：897-916.

［13］RADHAKRISHNA PILLAI A C.Fourth-order exponential finite difference methods for boundary value problems of convective diffusion type［J］.International Journal for Numerical Methods in Fluids，2001，37（1）：87-106.

［14］王峰峰，王彩華，齊海濤.二維對流擴散方程的緊致差分格式［J］.天津師范大學學報：自然科學版，2011，31（1）：11-16.WANG F F，WANG C H，QI H T.Compact difference scheme for twodimentional convection-diffusion equations［J］.Journal of Tianjin Normal University：Natural Science Edition，2011，31（1）：11-16（in Chinese）.

［15］SPOTZ W F.Formulation and experiments with high-order compact schemes for nonuniform grids［J］.International Journal of Numerical Methods for Heat&Fluid Flow，1998，8（3）：288-303.

（責任編校 馬新光）

Finite difference scheme on non-uniform mesh for two-dimensional singularly perturbed problems

LI Tian，WANG Caihua，ZHENG Shangkun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A new five-point finite difference scheme on non-uniform mesh by adding fitting factors to the central difference scheme is presented for two-dimensional singularly perturbed problems，and the truncation error estimate is given.Numerical experiments are implemented on four kinds of non-uniform mesh，and the results show that the scheme is well applicable to singularly perturbed problems with boundary layers.

singularly perturbed problems；non-uniform mesh；finite difference scheme；fitting factor；truncation error estimate

O241.82

A

1671-1114（2016）03-0008-05

2015-10-15

國家自然科學基金資助項目（11071123）.

李 恬（1992—），女，碩士研究生.

王彩華（1973—），女，副教授，主要從事微分方程數值解方面的研究.