索賠服從伽馬分布的經典風險模型的破產概率

高嘉卉，王秀蓮

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

索賠服從伽馬分布的經典風險模型的破產概率

高嘉卉，王秀蓮

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

針對連續時間的經典風險模型，當索賠變量服從伽馬分布時，根據對Lundberg基本方程的求解，得到了罰金函數為指數形式的期望貼現罰金函數的表達式，從而得出了相應的破產概率.

經典風險模型；伽馬分布；罰金函數；Lundberg基本方程；破產概率；期望貼現罰金函數

對于連續時間的經典風險模型，保險公司的盈余｛U（t），t≥0｝為

其中：U（0）=u為公司的初始盈余；c＞0為常數，表示保險公司單位時間內收到的保費；Xj是保險公司的第i次索賠額，｛Xj，j=1，2，…｝為獨立同分布的非負隨機變量，分布函數為P（x），密度函數為p（x）；｛N（t），t≥0｝是參數為λ＞0的Poisson過程，表示到時刻t為止的索賠次數.｛Xj，j=1，2，…｝和｛N（t），t≥0｝相互獨立.

假設T為破產時間，T=inf｛t|U（t）＜0｝（當破產沒有發生時T=∞），最終破產概率是一個初始盈余U（0）=u≥0的函數

設隨機變量U（T-）表示破產前盈余，U（T）表示破產盈余，取ω（x，y）為定義在x＞0、y＞0的非負函數，則u＞0時的期望貼現罰金函數φ（u）可以表示為

其中δ＞0是折現利息率.

顯然，若取ω=1，δ=0，則φ（u）=ψ（u）.令β＞0，定義函數Ф（u），

則當ω（x，y）=e-βy時，Ф（u）=φ（u）.

對于經典風險模型問題，許多學者從不同的角度得到了許多結果.文獻［1］給出了ψ（u）所滿足的更新方程，研究了經典模型的破產概率，得出索賠服從指數分布和混合指數分布的破產概率.文獻［2］在馬氏調節環境下給出了索賠服從泊松分布的貼現罰金函數滿足的積分微分方程，并計算了初值u=0對應的函數值φ（0）.文獻［3］將時間按觀察時刻離散化后，給出了貼現罰金函數滿足的積分微分方程，并在指數索賠情況下進行了進一步求解.文獻［4］研究線性紅利邊界下兩步保費率風險模型的Gerber-Shiu貼現罰金函數，同時給出了線性紅利邊界下Lundberg基本方程.文獻［5］針對2類更新風險模型，利用Laplace變換求出了最終破產概率，并研究了相應的期望貼現罰金函數.伽馬分布在保險和經濟數據分析中應用非常廣泛，是用來擬合理賠額的重要分布［6］.本研究選取指數形式的罰金函數，基于對Lundberg基本方程的求解，推導出索賠變量服從伽馬分布時的期望貼現罰金函數的表達式，從而得出了相應的破產概率.

1 Ф（u）的表達式

取φρ（u）=e-ρuφ（u），φρ（u）滿足的方程為

定義

則l（ρ）為式（5）中φρ（u）的系數.考慮等式

式（7）是Lundberg基本方程，設ρ是Lundberg基本方程的非負解，則有

對式（8）從u=0到u=z積分，并乘以eρ z，則函數φ（u）滿足更新方程

令

當ω（x，y）=e-ρy時，有

由式（4）可知

對式（13）進行Laplace變換，得

這里

將式（15）代入式（14），化簡得

設-r1，-r2，…，-rm是g?（ξ）=1的m個不同的根，n1，n2，…，nm為根的重數，由Heaviside擴張公式［7］得

當n1=n2=…=nm=1時，可得Ф（u）的簡式為

由式（10）可知

則有

令u=0可得1-Ф（0），最終得到

2 索賠為伽馬分布的破產概率

設索賠的密度函數為

2.1 Lundberg基本方程的解

p（x）的Laplace變換為

由Lundberg基本方程可得

式（26）的非負值解ρ是Ф?（ξ）的奇點.設

對f（ξ）求導，有

時，f′（ξ）＜0.

顯然f（ξ）是連續函數，計算得

（1）若n為奇數，由單調性分析知方程有1個負值解，設這個解為-r0，則有0＜r0＜θ.

（2）若n為偶數，令ξ=-θ-q，其中q＞0，則有

當q足夠大時，f（ξ）＞0，方程有2個負值解，設這2個解為-r1、-r2，則有0＜r1＜θ＜r2.

2.2 破產概率

由式（25）有

（1）當n為奇數時，方程的解為-r0，此解為m0重，由式（23），Ф（u）的簡式為

（2）當n為偶數時，方程的解為-r1、-r2，其重數分別為m1、m2，由式（23），Ф（u）的簡式為

另一方面，由式（10）可得

由于

故有

代入ξ=ρ，得到

由式（13）、式（32）和式（33）得到

對式（31）求導可得

式（29）、式（30）與式（36）均為破產概率，它們在數值上是相等的.特別地，當n=1時，伽馬分布是參數為λ的指數分布，因此

當索賠服從指數分布時，有

由式（4）Ф（u）的拓展意義，可得當u≥0時，有

這個結果與式（37）相同.

［1］GERBER H U，SHIU E S W.On the time value of ruin［J］.North American Actuarial Journal，1998，2（3）：48-78.

［2］ZHANG X.On the ruin problem in a Markov-modulated risk model［J］.Methodol Comput Appl Probab，2008，10：225-238.

［3］HANSJORG A.Randomized observation periods for the compound Poisson risk model：The discounted penalty function［J］.Scandinavian Actuarial Journal，2010（1）：1-29

［4］楊莉，孫浩，田興虎.線性邊界下兩步保費率風險模型的Gerber-Shiu罰金函數［J］.數學的實踐與認識.2007，37（11）：58-67.YANG L，SUN H，TIAN X H.On the discounted penalty function in a two-step premium rate model with linear dividend barrier［J］.Mathematics in Practice and Theory，2007，37（11）：58-67（in Chinese）.

［5］趙永霞.若干風險模型中期望折現罰金函數和最優分紅的研究［D］.上海：華東師范大學，2014.ZHAO Y X.Research on the Expected Discounted Penalty Function and the Optimal Dividend in Some Risk Models［D］.Shanghai：East China No-rmal University，2014（in Chinese）.

［6］王丙參，魏艷華.伽瑪分布的優良特性及其在風險管理中的應用［J］.寧夏師范學院學報，2010，31（6）：21-24.WANG B C，WEI Y H.Properties of Gamma distribution and its applications to risk management［J］.Journal of Ningxia Teachers University：Natural Science，2010，31（6）：21-24（in Chinese）.

［7］于慎根，楊永發，張相梅.復變函數與積分變換［M］.天津：南開大學出版社，2006.YU S G，YANG Y F，ZHANG X M.Complex Variables Functions and Integral Transformation［M］.Tianjin：Press of Nankai University，2006 （in Chinese）.

（責任編校 馬新光）

Ruin probability with Gamma claim in classical risk model

GAO Jiahui，WANG Xiulian
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

For the classical risk model of continuous time，the expression of expected discounted penalty function is given on the basis of Lundberg＇s Fundamental equation，when the penalty function is certain exponential form and claim variable is Gamma distribution.The ruin probability is obtained correspondingly.

classical risk model；Gamma distribution；penalty function；Lundberg＇s Fundamental equation；ruin probability；expected discounted penalty function

O211.67

A

1671-1114（2016）03-0013-03

2015-09-26

國家自然科學基金資助項目（11401436）.

高嘉卉（1990—），女，碩士研究生.

王秀蓮（1965—），女，副教授，主要從事概率統計及其應用方面的研究.