基于極值波延拓的端點效應處理方法

楊小強, 李　沛, 黃　杰, 韓艾洋

(1. 解放軍理工大學野戰工程學院, 江蘇 南京 210007;2. 北京外國語大學英語學院, 北京 100089)

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基于極值波延拓的端點效應處理方法

楊小強1, 李沛1, 黃杰1, 韓艾洋2

(1. 解放軍理工大學野戰工程學院, 江蘇 南京 210007;2. 北京外國語大學英語學院, 北京 100089)

為解決總體平均經驗模態分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)的端點效應問題,提出了一種基于極值波延拓的端點效應處理方法。該方法從波形匹配延拓的模板子波和尋優起始點著手,以最靠近端點處的極值波為模板子波,以與端點處極值點同型的極值點為匹配起始點,使尋優的目的性更強,過程更加優化。同時,提出了一種客觀有效的端點效應評價方法——區域等分的端點效應評價指標,避開了數據長度的干擾,突出了端點效應的影響。通過對仿真和實測信號的應用分析,并與采用鏡像對稱延拓方法比較,證明了極值波延拓法對抑制端點效應的有效性。

總體平均經驗模態分解; 極值波延拓; 端點效應

0　引　言

經驗模態分解(empirical mode dcomposition, EMD)方法是由美國科學家 Huang[1]于1993提出的,它是對傳統的基于傅里葉變換的穩定性、線性頻譜分析的突破和創新。EMD利用信號的局部特征時間尺度,提取出信號的多階固有模態函數和一個殘余量,分解出的各階模態函數凸顯了信號的局部特征,殘余分量則是信號中緩變量的表現。對各階模態分量進行分析，有助于準確把握信號的多種特征信息。但EMD在應用中仍存在比較嚴重的問題,如單獨的模態分量含有全異尺度,以及相同尺度出現在不同的模態分量中。為此,法國Flandrin教授和Huang[2]本人的研究團隊在EMD算法的基礎上提出了總體平均經驗模態分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)算法。EEMD算法的主要做法是將白噪聲加入到所需分解的信號中，以補充計算過程中所缺失的一些,進而達到更好的分解結果,這也就是EEMD中模態分析的基本思路。

但在運用EEMD對信號進行分解時,會存在端點效應問題。由于信號長度有限,且兩端點不能同時既為極大值又為極小值,在采用三次樣條曲線對極值點進行插值擬合包絡線時,會在端點處失去約束,導致包絡線在端點處產生發散現象。并隨著篩分過程的進行,發散所產生的誤差逐漸向內傳播,“污染”整個數據序列,致使分解的結果出現嚴重失真。

針對端點效應,國內外學者提出了許多有效的方法,主要有極值延拓法[3]、鏡像延拓法[4]、數據預測法[5]、多項式擬合法[6]、波形匹配延拓法[7-8]等。這些方法都能在一定程度上抑制端點效應,但也存在需要進一步改善的地方。通過對鏡像對稱延拓法和波形匹配法的研究,本文提出了一種基于極值波延拓的端點效應處理方法。通過仿真分析,能有效抑制端點效應影響。

1　區域等分的端點效應評價指標

在評價端點效應的影響程度時,大多文獻中采用Hilbert時頻譜圖的方法,觀察端點處是否發散,這種方法主觀性太強。另外,也通過固有模態函數(intrinsic mode function, IMF)分量與各成分的對比來判斷,但只適用于各成分表達式明確的信號,因為實測信號的成分表達式往往是不確定的。針對上述情況,文獻[9]提出了一種客觀的端點效應評價方法——基于能量的端點效應評價指標θ1,理論上,如果分解不受到端點效應的影響,各IMF分量互相正交,IMF能量總和與原信號能量相等,但實際上端點效應是不可避免的,所以分解必然會造成能量的變化,因而可以將能量的變化作為端點效應評價指標。由于端點效應影響一般在數據兩端的局部區域,而且造成的能量變化相對于整個數據的能量來說是比較小的,所以在文獻[9]的方法中,考慮全部數據長度而計算的RMSi很可能將端點效應的影響淹沒掉。

(1)

式中,RMS為數據有效值;RMSi為第i階IMF的有效值;RMSorginal為原信號的有效值;n為數據長度;m為IMF的個數。

文獻[10]對文獻[9]所提方法進行一定改進,提出了基于有效數據的端點效應評價指標θ2,引入左右兩端有效數據點數li和ri,將RMSi的計算范圍縮小在li和ri表示的區域,取得了比較好的效果。但是li和ri的確定比較繁瑣,實際操作時會增加很大的工作量。

(2)

式中,li為左端有效數據點數;ri為右端有效數據點數；其他參數同式(1)。

在上述二者的基礎上,本文提出了一種更為簡單有效的評價方法——區域等分的端點效應評價指標θ。將數據作k等分,計算首末兩個等分區域能量之和的變化,以此為評價指標,等分數k可根據端點處發散的大致區域來確定。

(3)

式中,round(x)函數為取最接近x的整數(四舍五入法)；k為等分數；Nd為所取點數；其他參數同式(1)。

2　極值波延拓法

波形匹配延拓法以靠近端點處的一段波形作為模板子波,通常取端點和靠近端點的兩個極值點間的波形,稱為邊界波。波形匹配延拓法通過在信號內部尋找與邊界波最相似的對應子波,再截取相似子波的前一段波形(后一段波形)作為左(右)端延拓部分,這種方法考慮了端點處的變化趨勢與信號內部的波動規律之間的聯系,而用來分析的實際信號大都具有波形重復的規律,所以波形匹配延拓法是一種遏制端點效應非常有效的方法。波形匹配延拓法在應用時涉及到模板子波、尋優起始點、匹配公式和延拓波長的設置問題,本文從這4個方面著手,提出了一種新的波形匹配延拓方法——極值波延拓法。定義極值波為任意3個相鄰的極值點組成的波形,信號的延拓包括左右兩端,下面以左端的延拓為例來說明極值波延拓法。

(1) 確定與端點對應的極值波序列{R}

信號x(t)有m個極大值點和n個極小值點,組成的集合分別為{E}和{e},t(Ei)、x(Ei)分別表示第i個極大值點的時間序列和數值,t(ei)和x(ei)分別表示第i個極小值點的時間序列和數值。假設x(t)的第一個極值點為極小值,由于是進行左延拓,所以定義左極值波序列{S}為任意兩個相鄰的極小值和它們之間的極大值組成的極值波,顯然第i個左極值波Si為由ei、Ei和ei+1組成的波形。

(2) 選取模板子波與匹配子波

定義靠近左端點的第1個左極值波S1為模板子波,除S1外的所有左極值波Si(i≠1)為匹配子波。

(3) 計算匹配誤差

對于兩個三角形,如果它們對應的3條邊都相等,則這兩個三角形全等。如果匹配子波Si的3個極值點組成的三角形ΔeiEiei+1與特征子波S1中的三角形Δe1E1e2全等的程度越高(見圖1),則Si與S1相似的程度也就越高。根據這一原理,設定匹配誤差計算公式為

(4)

(5)

(6)

式中,i∈[2,n-1]；d(e1,ei+1)表示e1點到ei+1的距離；其他類似。

圖1　極值波匹配Fig.1　Extreme wave matching

(4) 尋找最優匹配子波

計算除S1以外的所有左極值波Si(i≠1)與模板子波的匹配誤差P(i-1)(i∈[2,n-1]),找到最小的min(P(i-1))=P(k-1),說明左極值波Sk與S1的相似程度最高,如果同時存在多個最小P(i-1),取與Si最遠的Sk。

(5) 截取延拓波形

如圖2所示,尋找到最佳匹配子波Sk后,截取Sk左邊的一段波形S′(一般選取左極值波的整數倍,圖2中取為2個左極值波),由于模板子波S1的起始點為第一個極值點ei而不是左端點O,所以還需對S′作一定處理才能作為延拓波形。在S′中找到點B,使波形Bei對應的時間與Oei對應的時間一致,如式(3)所示,最后確定ek-2B對應的波形S″為延拓波形。

(7)

圖2　截取延拓波形Fig.2　Prolongation wave capture

(6) 左右端點的延拓

將截取的延拓波形S″平移至左端點處,使B點與左端點O重合,左延拓結束,再用同樣的方法對右端點進行延拓。

(7) 分解結果的截取

對經左右延拓的信號進行EEMD分解,在分解結束時,再對IMF分量進行截取,保留與原信號數據長度與時刻一致的部分。

3　仿真信號分析

文獻[2]所提的EEMD方法中IMF的求取是通過10次包絡均值相減循環得到,且IMF分量個數由信號長度決定。本文應用的EEMD方法是在文獻[2]所提EEMD方法的基礎上改進的,其中的分解過程不再是簡單的循環相減,而是嵌入了完整的EMD分解。本文EEMD中內嵌的EMD程序為法國學者Rilling G所編[4],該程序內EEMD的分解層數，也就是其中嵌入的EMD的分解層數,由EMD分解的IMF篩分終止條件決定,也即分解過程持續至分解所得差值函數不存在負的局部極大值和正的局部極小值,否則說明所得函數還不是一個IMF函數,還需繼續分解。程序內的端點處理方法為鏡像對稱延拓法(下文中直接進行EEMD分解時就等同于端點處理采用鏡像對稱延拓法),這種處理方法延拓簡單、計算量小、效果明顯,所以被廣泛采用。在檢驗本文極值波延拓方法對抑制端點效應的效果時,均通過與鏡像對稱延拓方法的比較來評價,選擇仿真信號形式為

(8)

3.1仿真信號的分解結果對比

信號長度對端點效應的影響非常大,在對一個周期性信號進行延拓時,有兩種情形:①信號內部有與模板子波完全一致的子波,經延拓后的信號走勢與信號的真實走勢幾乎無差別；②信號內部沒有與模板子波完全一致的子波,此時,匹配到的最優子波是與模板子波相似程度最高的子波,延拓后的信號走勢與信號的真實走勢有一定差別。下面分別對這兩種情形進行EEMD的分析比較。

3.1.1情形1

選取式(8)信號的時間t∈[-23,223],經延拓(左右各延拓2個極值波)后的波形如圖3所示。

圖3　情形1信號延拓圖Fig.3　Signal prolongation of situation 1

由圖3可知,信號在延拓時,模板子波匹配到了完全一致的子波,信號的延拓部分與信號的真實走勢完全重合。這種情形在分析一些較長(1個周期以上)周期性的信號時,是必然會出現的。下面分別對信號進行EEMD(端點處理采用鏡像對稱延拓方法)以及經極值波延拓后EEMD(噪聲標準差設置的非常小),如圖4所示。

圖4　情形1下兩種延拓后的EEMD對比Fig.4　EEMD prolongations comparison in situation 1

分解各得到了3階IMF分量,對比可以看出,圖4(b)中的IMF分量波動的規律性要好于圖4(a)對應的IMF分量。為進一步分析,分別作出IMF分量與信號相應成分的對比圖,如圖5所示。

圖5　情形1下兩種延拓后分解的IMF與信號分量對比Fig.5　Comparison of IMF and signal component after prolongations in situation 1

圖5(a)中,3階IMF分量的端點效應都非常明顯,尤其是IMF3,與信號中的x3差別甚大,基本已失真。反觀圖5(b),3階IMF分量與信號中對應的3個成分基本重合,可見,延拓的效果是非常有效的。

(9)

3.1.2情形2

選取式(8)信號的時間t∈[-23,124],經延拓(左右各延拓2個極值波)后的波形如圖6所示。

圖6　情形2的信號延拓圖Fig.6　Signal prolongation of situation 2

從圖6中可以看出,由于信號較短的緣故,信號內部沒有與模板子波完全一致的子波,所以模板子波只能匹配到與其相似程度最高的子波,經延拓的信號與信號的真實走勢有一定出入。這種情況下的延拓能否改善端點效應,還需進一步驗證。圖7(a)是直接EEMD的結果,圖7(b)是經極值波延拓后的EEMD結果。

圖7　情形2下兩種延拓后的EEMD對比Fig.7　EEMD Prolongations comparison in situation 2

由圖7可知,兩種分解都得到了3階IMF分量,大致能與信號中的3種成分相對應,為進一步比較分解結果的端點效應,分別作出IMF分量與對應信號成分的對比圖,如圖8所示。

圖8　情形2下兩種延拓后分解的IMF與信號分量對比Fig.8　Comparison of IMF and signal component after prolongations in situation 2

從圖8的對比可以看出,經過極值波延拓后分解的IMF分量與對應信號成分的擬合程度更加吻合,端點處的發散得到了明顯改善,說明即便在信號序列較短,模板子波匹配不到完全一致的子波,而只能匹配到相似程度較高的子波時,延拓對于抑制端點效應依然是有效的。

3.2仿真信號的端點效應評價指標

對圖9所示實驗信號進行EEMD(端點處理采用鏡像對稱延拓)、以及經極值波延拓后的EEMD,結果如圖10所示。

圖9　實驗信號的延拓圖Fig.9　Experimental signal prolongation

圖10　兩種延拓方法的EEMD結果Fig.10　EEMD results of two prolongation methods

分別對情形1信號和情形2信號的兩種延拓方法的EEMD結果進行處理,得到它們的端點效應評價指標θ1和θ(等分數k取為8),如表1所示。

表1　仿真信號的端點效應指標

表1中兩種情形下的極值波延拓的端點效應指標θ1和θ都要小于鏡像對稱延拓,說明經極值波延拓后端點效應得到了明顯改善,與圖5和圖8所反映的信息一致。同時,指標θ比θ1的反應更為靈敏,故采用區域等分的端點效應評價指標θ能更加有效地評價端點效應的影響程度,下文中只采用指標θ。

4　實驗信號分析

通過上述仿真信號分析,可以知道極值波延拓方法對于抑制EEMD的端點效應具有較好的效果。選擇液壓故障平臺上測得的某故障信號為實驗信號,采樣頻率為5 000 Hz,采樣點數為2 048,考慮到數據長度較短時端點效應更為明顯,所以截取其中的505個點作為研究對象,圖9是經過極值波延拓的實驗信號(左右各延拓10個極值波)。圖10(a)端點處理采用鏡像對稱延拓方法,分解得到了8階IMF分量,其IMF3左端存在明顯發散,右端波形存在較大畸變,IMF4和IMF5的右端也存在發散現象。圖10(b)是經過極值波延拓后的EEMD結果,也得到了8階IMF分量,其IMF3的波形平穩性明顯改善,而且左右兩段基本不存在端點發散,從總體上來看,圖10(b)的分解是要好于圖10(a)的。為了更加客觀的評價,分別求出兩種方法下的端點效應指標θ(以IMF3中發散區域與整個數據長度的大致比值為依據,k取為15),如表2所示。

表2　端點效應指標

從表2可以看到,采用極值波延拓法后分解的端點效應指標明顯小于采用鏡像對稱延拓法的,也就說明較之于鏡像對稱延拓法,極值波延拓法能更好地抑制端點效應。

5　結　論

(1)針對EEMD中出現的端點效應問題,本文在綜合比較兩種端點效應評價方法的基礎上,結合EMD理論與EEMD算法,提出了一種更為簡單有效的評價方法——區域等分的端點效應評價指標。將數據多等分,計算首末兩個等分區域能量之和的變化,有效避開了數據長度的干擾,突出了端點效應的影響。

(2)基于波形匹配延拓法應用時所涉及到的4個方面,即模板子波、尋優起始點、匹配公式和延拓波長的設置問題,提出了新的波形匹配延拓算法,該方法以最靠近端點處的極值波為模板子波,以與端點處極值點同型的極值點為匹配起始點,使最佳匹配波形的尋找過程更加優化,目的性更強。

(3)在對EEMD方法進行改進的基礎上,本文開發了算法程序,其中借用了文獻[4]的EMD部分程序,從而完成了波形匹配延拓算法的具體實現。通過與鏡像對稱延拓分解結果的比較,證明本文的延拓算法對抑制端點效應的有效性,端點效應指標的比較也證明了這點。

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李沛(1991-),通信作者,男,碩士研究生,主要研究方向為測試技術。

E-mail:yangsecond@126.com

黃杰(1990-),男,博士研究生,主要研究方向為信號處理。

E-mail:medi1114@126.com

韓艾洋(1997-),女,主要研究方向為科技英語翻譯。

E-mail: yangchief@126.com

Method based on extension of extreme wave in dealing with end effect

YANG Xiao-qiang1, LI Pei1, HUANG Jie1, HAN Ai-yang2

(1.SchoolofFieldEngineering,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,China;2.SchoolofEnglishandInternationalStudies,BeijingForeignStudiesUniversity,Beijing100089,China)

In order to solve the problem of end effect on ensemble empirical mode decomposition (EEMD), a new method based on extension of extreme wave in dealing with end effect is proposed. This method focuses on the template wavelet and the optimization starting point in waveform matching and extension. The nearest extreme wave is used to the endpoint as the template wavelet, and the same type extreme point with the one nearest is taken to the endpoint as the optimization starting point. With this method, the purpose of optimization is clearer and the process is more optimized. In the meantime, an objective and effective evaluation method of end effect is provided, which is the end effect evaluating indicator in equal parts. It effectively avoids the interference of data length, and highlights the influence of end effect. Through the application of the method based on extension of extreme wave in the simulation signal and measured signal, and comparing with the result of the mirrored symmetry extension method, it is proved that the method base on extension of extreme wave can effectively restrain the end effect.

ensemble empirical mode decomposition(EEMD); extension of extreme wave; end effect

2015-12-15；

2016-04-03；網絡優先出版日期：2016-06-07。

江蘇省青年科研基金(BK2012061)資助課題

TH 137

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.04

楊小強(1967-),男,副教授,博士,主要研究方向為信號處理與故障檢測。

E-mail:yanglab@126.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160607.1605.022.html