低速非達西滲流動邊界移動規律

王建俊， 鞠斌山， 羅二輝

( 1. 中國地質大學(北京) 能源學院，北京　100083；　2. 中國石油勘探開發研究院，北京　100083 )

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低速非達西滲流動邊界移動規律

王建俊1， 鞠斌山1， 羅二輝2

( 1. 中國地質大學(北京) 能源學院，北京100083；2. 中國石油勘探開發研究院，北京100083 )

低滲透油藏非達西滲流動邊界的產生歸因于啟動壓力梯度。在考慮動邊界的基礎上，建立包含表皮效應和井筒存儲的單一、以Warren-Root模型為基礎的雙重和三重介質低速非達西滲流數學模型；并通過定義無量綱壓力得到模型的Laplace解，利用Stehfest數值反演獲得動邊界的傳播規律，對比動邊界與無限大、封閉及定壓等三類外邊界條件下的壓力及壓力導數分布特征。結果表明：對于低速非達西滲流，啟動壓力梯度越大，動邊界向外傳播越慢；在雙重介質和三重介質中，動邊界移動出現短暫的停滯，曲線上表現為水平段或平緩段；動邊界主要影響壓力及壓力導數曲線的中后期，而無限大、封閉及定壓等三類外邊界主要影響曲線的后期形態。

非達西滲流； 啟動壓力梯度； 動邊界； 單一介質； 雙重介質； 三重介質

0　引言

達西定律已廣泛應用于多孔介質的滲流力學問題，當滲流速度過快或過慢時，達西定律描述的滲流速度與壓力梯度之間的線性關系不再成立，偏離達西定律線性關系的滲流問題可以歸結為非達西滲流。低速非達西滲流是指流速較慢而導致偏離達西定律的流動，如低滲透儲層或深部弱透水層[1-2]。李凡華等[3]研究表明，當啟動壓力梯度值大于0時，壓力的傳播并非瞬時達到無窮遠，可以采用數值離散化方法計算動邊界隨時間的變化；賈振岐等[4]通過實驗證明，低滲透油藏的孔隙越小、喉道越窄、固液表面的分子作用力越強，啟動壓力越高；程時清等[5]對低速非達西動邊界問題進行積分求解；閆棟棟等[6]通過氣泡法巖心測試表明流度越低，啟動壓力梯度越高；計秉玉等[7]運用穩態逐次逼近方法，求解定流量和定流壓條件下的非達西滲流模型；王曉冬等[8]采用數理方法，求解包含啟動壓力梯度和動邊界的非線性不定常滲流數學模型；王軍磊等[9]利用疊加原理，求解考慮啟動壓力梯度的七點井網穩態壓力方程，表明啟動壓力梯度越大，有效動用程度越低。

當儲層中存在溶洞、裂縫時，滲流通道不再是單一的孔隙介質，而是形成雙重介質和三重介質。多重介質中低速非達西滲流問題更加復雜。姜瑞忠等[10]利用油藏工程方法，研究裂縫存在時形成的優勢滲流通道。針對雙重介質，羅二輝、程林松、Xu Jianchun等考慮啟動壓力梯度，得到非達西滲流的特征[11-13]。羅二輝等[14]利用解析方法，得到三重介質中壓力分布，并分析敏感因素。由于低速非達西滲流具有高度非線性，難以獲得解析解，目前還沒有針對不同介質中動邊界的移動規律的研究。在考慮動邊界的基礎上，基于啟動壓力梯度的非達西滲流，筆者建立包含表皮效應和井筒存儲的單一、以Warren-Root模型為基礎的雙重[15]和三重介質[16]低速非達西滲流有效井徑數學模型；利用Laplace變換和Stehfest數值反演獲得壓力分布的解析解表達式，分析不同介質類型中啟動壓力梯度對動邊界傳播規律的影響，并對比動邊界與無限大、封閉及定壓等三類外邊界條件下的壓力及壓力導數的變化動態特征。

1　低速非達西滲流數學模型

1.1假定條件

(1)平面徑向流動，儲層厚度為h；(2)介質分別為單一、雙重和三重孔隙介質且各向同性，外邊界為無限大、封閉、定壓、動邊界等四類；(3)儲層流體和巖石微可壓縮；(4)動邊界條件下符合低速非達西滲流，啟動壓力梯度為G；(5)考慮表皮效應和井筒存儲，不考慮重力和毛管力。

1.2參數無量綱化

無量綱化可以使滲流方程變得簡潔整齊，便于分析和求解。對滲流方程中參數進行無量綱化，包括壓力、時間等，其中啟動壓力梯度的影響體現在孔隙介質壓力與裂縫系統壓力上。

其中:pi為原始地層壓力；pd為單一介質中孔隙介質壓力，pdD為對應的無量綱形式；pf為裂縫系統壓力，pfD為對應的無量綱形式；pv為溶洞系統壓力，pvD為對應的無量綱形式；pm為基質系統壓力，pmD為對應的無量綱形式；pw為井底流動壓力；kd為單一介質滲透率；kf為裂縫系統滲透率；km為基質系統滲透率；r為距井中心的距離，rD為對應的無量綱形式；rw為井筒半徑；rf為壓力擾動邊界，rfD為對應的無量綱形式；μ為地下原油黏度；B為原油體積系數；t為生產時間，tD為對應的無量綱形式；q為油井產量；φ為單一介質儲層孔隙度；φf為裂縫系統孔隙度；φm為基質系統孔隙度；φv為溶洞系統孔隙度；ct為單一介質地層壓縮系數；cm為基質系統壓縮系數；cf為裂縫系統壓縮系數；cv為溶洞系統壓縮系數；C為井筒存儲系數，CD為對應的無量綱形式；S為井底附近表皮因子；GD為G的無量綱形式。

1.3滲流控制方程

根據連續性方程、運動方程和狀態方程，建立低速非達西滲流微分方程的無量綱表達形式。

對于單一介質滲流微分方程(只存在孔隙介質系統)為

(1)

對于雙重介質滲流微分方程(存在裂縫和基質系統)，其中裂縫系統的滲流方程為

(2)

基質系統的滲流方程為

(3)

式(2-3)中：λm為基質竄流系數；ωf為裂縫彈性儲容比；ωm為基質彈性儲容比。

對于三重介質滲流微分方程(存在裂縫、溶洞和基質系統)，其中裂縫系統的滲流方程為

(4)

溶洞系統的滲流方程為

(5)

基質系統的滲流方程為

(6)

式(4-6)中：λv為溶洞竄流系數；ωv為溶洞彈性儲容比。

1.4定解條件

滲流控制方程必須在一定的定解條件下才能求得特定解，定解條件包括初始條件和邊界條件。

(1)初始條件為

(7)

(2)邊界條件分為內邊界條件和外邊界條件。其中，內邊界定產，外邊界分為4種，無量綱表達。

內邊界定產條件為

(8)

對于外邊界條件，無限大外邊界條件為

(9)

封閉外邊界條件為

(10)

定壓外邊界條件為

(11)

動邊界條件為

(12)

(13)

2　有限井徑Laplace解

對式(1-13)作Laplace變換(tD/CD→u，u為Laplace變換量)。

滲流控制方程式(1-6)統一轉化為

(14)

對定解條件進行轉化，內邊界條件為

(15)

外邊界條件分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式(14-20)中：

根據式(15-20)，求解滲流控制方程式(14)，得到相應的Laplace空間壓力分布解。

無限大外邊界Laplace解為

(21)

封閉外邊界Laplace解為

(22)

定壓外邊界Laplace解為

(23)

動邊界Laplace解為

(24)

利用貝塞爾函數相應的Wronskians關系式，將式(24)代入式(20)，得到動邊界傳播方程為

(25)

式(21-25)中：I0(x)、I1(x)分別為0階、1階第一類變型貝塞爾函數；K0(x)、K1(x)分別為0階、1階第二類變型貝塞爾函數。

對前三類邊界條件，直接應用Stehfest數值反演式(21-23)，求得實空間解。動邊界條件下的計算過程：首先利用Newton迭代法，在Laplace域中計算動邊界傳播方程式(25)；再利用Stehfest數值反演方法計算動邊界條件下的解析式(24)，獲得實空間下任意時刻低滲透儲層無量綱壓力和壓力導數曲線。

3　壓力及壓力導數曲線

低滲儲層非達西滲流動邊界條件對壓力分布的變化產生影響，由式(21-24)得到無限大、封閉、定壓及動邊界條件下壓力及壓力導數的分布特征，并分析動邊界條件下特征與其他三種邊界條件下的不同。

不同介質系統中，四種外邊界條件下壓力及壓力導數的分布特征有明顯的差異性(見圖1-3)。由圖1-3可以看出，三種介質中，無限大、封閉及定壓等三類外邊界效應主要影響晚期流動，其中無限大外邊界壓力導數晚期為一斜率等于0的水平線；封閉外邊界出現上翹；定壓外邊界出現下掉。動邊界對中期流動也具有一定影響，在井筒存儲和表皮效應流動段后的某一個時間點，壓力導數曲線出現緩慢抬升，且最終上翹程度比封閉邊界的要小。低滲透儲層中啟動壓力梯度的存在使滲流過程中阻力增加，即動邊界的影響介于無限大和封閉邊界的影響之間，若簡單地將低滲透油藏中的動邊界簡化成無限大或封閉邊界，則導致壓力及壓力導數特征分析中產生誤差。

圖1　四類外邊界對單一介質壓力及壓力導數曲線的影響Fig.1 Distribution of pressure and pressure derivate in single-porosity media with four different types of boundaries

圖2　四類外邊界對雙重介質壓力及壓力導數曲線的影響Fig.2 Distribution of pressure and pressure derivate in dual-porosity media with four different types of boundaries

與單一介質相比，雙重介質中，壓力導數曲線存在一個“凹子”，下凹表明基質與裂縫之間流體交換的典型特征，且在下凹后，動邊界作用下的壓力導數曲線逐漸上翹(見圖2)，與其他三種外邊界條件下的特征有顯著不同。三重介質中，壓力導數曲線上有兩個“凹子”，符合三重介質的典型特征，即第一個“凹子”表示三重介質溶洞對裂縫的補給；第二個“凹子”表示基質系統對裂縫系統的供液，與其他三種外邊界條件相比，動邊界作用下的壓力導數曲線第二個“凹子”的下凹程度較小；在第二個下凹后，動邊界作用下的壓力導數曲線逐漸上翹，但上翹幅度低于封閉外邊界壓力導數曲線的(見圖3)。

4　動邊界移動曲線

根據動邊界傳播方程式(25)，得到單一介質、雙重介質及三重介質中不同啟動壓力梯度下的動邊界傳播規律(見圖4-6)。由圖4-6可以看出，啟動壓力梯度越大，壓力擾動邊界越小，即動邊界移動越慢；同時說明動邊界的存在使得地層能量消耗增加，啟動壓力梯度越大，能量消耗越大。

圖3　四類外邊界對三重介質壓力及壓力導數曲線的影響Fig.3 Distribution of pressure and pressure derivate in triple-porosity media with four different types of boundaries

圖4　不同啟動壓力梯度下單一介質動邊界移動規律Fig.4 The movement of dynamic boundary in single-porosity media with different threshold pressure gradient

與單一介質相比，在中期階段，雙重介質中壓力擾動邊界隨時間的變化曲線出現斜率為0的水平段(見圖5)，在這一水平段時間里，動邊界停止移動，即出現停滯現象。原因在于基質向裂縫進行供液，當供液結束后，動邊界繼續移動。對比雙重介質壓力與壓力導數分布特征曲線(見圖2)，在中期階段tD/CD≈102時，壓力導數曲線出現下凹，即基質向裂縫供液，證實動邊界移動規律的正確性。

三重介質中，在中期階段，動邊界移動曲線上出現兩個相對平緩段(見圖6)。第一個平緩段斜率為0，表明此時間段動邊界停止移動；而第二個平緩段比第一個平緩段陡一些，表明此時間段動邊界的移動相當緩慢。原因是溶洞系統向裂縫供液導致第一個平緩段的產生，第二個平緩段的產生源自基質向裂縫的擬穩態竄流，而且溶洞中的流體比基質中的流體更容易流入裂縫，即供液能力不同，導致兩個平緩段的斜率不同。對比三重介質壓力與壓力導數分布特征曲線(見圖3)，壓力導數曲線出現兩個下凹，驗證動邊界移動規律的可靠性。

圖5　不同啟動壓力梯度下雙重介質動邊界移動規律Fig.5 The movement of dynamic boundary in dual-porosity media with different threshold pressure gradient

圖6　不同啟動壓力梯度下三重介質動邊界移動規律Fig.6 The movement of dynamic boundary in triple-porosity media with different threshold pressure gradient

5　結論

(1)考慮動邊界效應，定義包含啟動壓力梯度的無量綱壓力，建立考慮表皮效應和井筒存儲的三種不同介質類型的非達西滲流數學模型。采用Laplace變換和Newton迭代法求解動邊界方程和壓力控制方程。

(2)與無限大、封閉及定壓三類外邊界相比，低滲儲層中非達西滲流動邊界條件下的壓力及壓力導數分布特征具有明顯差異。動邊界作用下，無量綱壓力及壓力導數曲線在中后期上翹，說明在低滲透儲層開發過程中需要相對較大的能量。

(3)計算得出單一、雙重和三重介質中的動邊界移動規律，隨啟動壓力梯度的增加，動邊界向外移動傳播速度減緩。在雙重介質和三重介質動邊界移動曲線上出現水平段或者平緩段，表明了動邊界的移動具有停滯性，而不存在啟動壓力梯度的中高滲流儲層中不會出現此現象。

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2015-11-13；編輯：劉麗麗

國家科技重大專項(2011ZX05016-006)；中央高校基本科研業務費專項資金項目(35832015034)

王建俊(1986-)，女，博士研究生，主要從事油氣藏工程與滲流機理方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.02.009

TE312

A

2095-4107(2016)02-0071-07