一類帶有參數的分數階差分方程邊值問題正解的存在性和不存在性

葛　琦， 侯成敏

( 延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉　133002 )

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一類帶有參數的分數階差分方程邊值問題正解的存在性和不存在性

葛琦， 侯成敏

( 延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉133002 )

研究一類帶有參數的分數階差分方程正解的存在性和不存在性。首先,分析該方程的格林函數的一些性質;然后,利用Banach空間錐上的不動點指數定理和Krasnosel'skii不動點定理,證明當參數屬于不同范圍時,該方程正解的存在性;最后,利用反證法,證明當參數屬于不同范圍時,該方程正解的不存在性。

Green函數； 不動點指數定理； 不動點定理； 不存在性

0　引言

近年來,隨著分數階差分方程理論研究的深入,關于分數階差分方程解的存在性研究取得很大進展[1-17]。大多數文獻在研究帶有參數的分數階差分方程邊值問題時,只討論正解的存在性[13,15-16],而關于其正解的不存在性的研究相對較少[17]。如2001年，Goodrich C S[13]研究成對的離散分數階邊值問題

正解的存在性,但未討論正解的不存在性,其中,t∈[0,b]N0,1<νi≤2,λi>0,ai:R→(0,∞),Φi,Ψi:Rb+3→R是給定的泛函,fi:[0,+∞]×[0,+∞)?[0,+∞)是連續函數,i=1,2。

Kang Shugui等[16]于2014年研究階數在(1,2]內的分數階差分方程

正解的存在性,其中,1<ν≤2,t∈[0,b]N0，參數λ>0,f:[0,+∞)→[0,+∞)是連續函數,Φ,Ψ:Rb+3→R是給定的線性泛函,h:[ν-1,ν+b-1]Nν-1→[0,∞)。利用Krasnosel'kii不動點定理建立正參數λ屬于不同區間時,方程存在一個正解和至少存在2個正解的充分條件,但對于正解的不存在性,文獻沒有討論。

Han Zhenlai等[17]于2014年研究階數在(1,2]內的分數階差分方程

正解的存在性和不存在性,其中,1<ν≤2,t∈[0,b+1]N,λ是參數,f:[ν-1,ν+b]Nν-1×R→(0,+∞)是連續函數。也是利用Krasnosel'kii不動點定理,建立參數屬于不同區間時,方程至少存在一個正解的充分條件,再利用反證法建立方程不存在正解的充分條件。

由于研究分數階差分方程邊值問題正解不存在性的文獻相對較少，并且對于帶有參數的分數階差分方程,研究參數λ屬于不同區間時,正解的存在性和不存在性具有一定的實際意義。筆者研究階數在(2,3]內的分數階差分方程

(1)

其中,2<ν≤3,0≤α,β<1,ν-β>2,參數λ>0,η∈[0,T-1]N0且滿足下列條件：

(D1)f:[0,+∞)→[0,+∞)是連續函數;

(D2)g:[ν-1,T+ν-1]Nν-1→[0,+∞)，且不恒為0。

首先將分別利用不動點指數定理和Krasnosel'skii不動點定理,建立當參數屬于不同區間時,分數階差分方程式(1)至少存在一個正解或2個正解的充分條件;再利用反證法建立方程式(1) 正解不存在的充分條件。

記Nα∶={a,a+1,a+2,…},[a,b]N0∶={a,a+1,a+2,…b}(b-a∈N1)。

1　預備知識

定義1[15]對于ν>0,函數f的ν階分數和定義,有

對于N∈N,0≤N-1<ν≤N,函數f的ν階分數差分定義有Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t)(t∈Na+N-ν)。

引理1[15]設N∈N,0≤N-1<ν≤N,那么Δ-νΔνy(t)+C1tν-1+C2tν-2+…+CNtν-N(Ci∈R,1≤i≤N)。

(A1)‖Sw‖≤‖w‖,w∈P∩?Ω1;‖Sw‖≥‖w‖,w∈P∩?Ω2;

(A2)‖Sw‖≥‖w‖,w∈P∩?Ω1;‖Sw‖≤‖w‖,w∈P∩?Ω2。

關于分數階差分理論的相關基本概念和性質見文獻[7-16]。

2　Green函數及其性質

定理1設2<ν≤3,0≤α,β<1,ν-β>2,η∈[0,T-1]N0,h(t+ν-1)∶[ν-1,T+ν-1]Nν-1→[0,+∞),則與方程式(1)有相同邊值條件的方程

(2)

的唯一解是

(3)

這里記

(4)

(5)

證明由引理1有

由邊值條件x(ν-3)=0得出C3=0。由于

則由邊值條件[Δβx(t)]|t=ν-β-2=0,得出C2=0。再由邊值條件x(T+ν)=αx(η+ν),得

由此知式(3)成立。

證明當0≤max{η+1,t-ν+1}≤s≤T時,記G(t,s)=g1(t,s); 當0≤η+1≤s

當0≤s

由G(t,s)的定義知,對于(t,s)∈[ν-1,T+ν-1]Nν-1×[0,T]，有

當0≤η+1≤t-ν+1≤s≤T時,g1(t,s)>ρφ(s)顯然成立。所以性質成立。

注1由定理2.2知,方程式(2)有解x(t)≥0,t∈[ν-3,T+ν]Nν-3。

3　正解的存在性

由定理1知,求方程式(1)的解,等價于求方程

的解。先定義Banach空間B,即

并且范數為‖x‖=max|x(t)|,t∈[ν-3,T+ν-1]Nν-3。

定義B上的錐P0和P,即

定義算子A:B→B,即

(6)

x是方程式(1)的解,當且僅當x是算子A的不動點。由于算子A是離散的有限集上的和算子,所以A是平凡完全連續算子。

引理6假設條件(D1)和(D2)成立,那么對于?x∈P0有Ax∈P,特別,算子A是錐P到P上的映射。

證明對于?x∈P0,由定理2.1和條件(D1),有(Ax)(t)≥0(t∈[ν-1,T+ν-1]Nν-1)。由定理2.2的知‖Ax‖。所以,對于?x∈P有Ax∈P成立。

為了方便,記

(7)

定理3假設條件(D1)和(D2)成立,且f∞>0,f0<∞,N/f∞

證明對于?λ∈(N/f∞,M/f0),由f00,當0

對于?x∈P∩?Ω1,當0<μ≤1,‖x‖=R時,有μAx≠x。

(8)

產生矛盾。因此，根據引理4有

(9)

注2如果f∞=∞,那么記N/f∞=0;如果f0=0,那么記M/f0=∞。定理3包含N/f∞=0,M/f0=∞的情形。

定理4假設條件(D1)和(D2)成立,且f0>0,f∞<∞,N/f0

由類似于定理3的證明可得,對于?x∈P∩?Ω3,當0<μ≤1,‖x‖=R3時,有μAx≠x。因此，算子滿足引理4的條件,根據引理4有

(10)

另一方面,由N/f0<λ及f0的定義,存在常數R4(00使得(N+ε4)/λ

(11)

注3如果f0=∞,那么記N/f0=0;如果f∞=0,那么記M/f∞=∞。定理4包含N/f0=0、M/f∞=∞的情形。

注4由式(7)知，如果f∞N2>f0N1成立，那么當λ∈(1/(f∞N2)、1/(f0N1))時，定理3成立；如果f0N2>f∞N1成立，那么當λ∈(1/(f0N2),1/(f∞N1))時，定理4成立。

定理5假設條件(D1)和(D2)成立,且存在2個不同的正數r1、r2，使得

那么方程式(1)有一個解x∈P,且滿足min{r1,r2}≤‖x‖≤max{r1,r2}。

證明設Ω5={x∈P0:‖x‖

另外，設Ω6={x∈P0:‖x‖

由引理5知方程式(1)有一個正解x∈P,且滿足min{r1,r2}≤‖x‖≤max{r1,r2}。

記

(12)

根據條件(D1)和(H1),有0<λ1≤+∞和0≤λ2<+∞。

定理6假設條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=+∞和f∞=+∞,那么對于?λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有2個正解。

因此有

(13)

(14)

另外,由條件f0=+∞和f∞=+∞知,存在常數n1、n2(0

(15)

(16)

由式(13)和式(15)、式(14)和式(16)及定理5知，對于?λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有2個正解。

推論1假設條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=+∞或f∞=+∞,那么對于?λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有一個正解。

定理7假設條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=0和f∞=0,那么對于?λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有2個正解。

(17)

(18)

另外,由條件f0=0知,存在常數d3(0

(19)

(20)

由式(17)和式(19)、式(18)和式(20)及定理5知,對于?λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有2個正解。

推論2假設條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=0或f∞=0,那么對于?λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有一個正解。

4　正解的不存在性

首先建立方程式(1)不存在正解的充分條件。

定理8假設條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0<+∞和f∞<+∞,那么存在λ0>0,使得對于?λ∈(0,λ0)，方程式(1)不存在正解。

證明由于f0<+∞和f∞<+∞,那么存在正數l1,l2,r3和r4,使得r3

產生矛盾,所以方程式(1)不存在正解。

定理9假設條件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0>0和f∞>0,那么存在λ0>0,使得對于?λ∈(λ0,+∞),方程式(1)不存在正解。

證明由于f0>0和f∞>0,那么存在正數l3、l4、r5和r6,使得r5

產生矛盾,所以方程式(1)不存在正解。

5　結束語

利用Banach空間錐上的不動點指數定理和Krasnosel'skii不動點定理,研究一類帶有參數的分數階差分方程正解的存在性,利用反證法研究該方程正解的不存在性。分別建立當參數屬于不同區間時,該方程存在正解和不存在正解的充分條件。

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2015-12-07；編輯：關開澄

國家自然科學基金項目(11161049)；吉林省教育廳“十二五”科技項目(吉教科合字[2015]第36號)

葛琦(1975-),女,碩士,副教授,主要從事微分方程理論及應用方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.02.015

O175.6

A

2095-4107(2016)02-0112-09