板球系統(tǒng)PID控制響應(yīng)的多項(xiàng)式響應(yīng)面建模研究

曾乘，柳強(qiáng)

（遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

板球系統(tǒng)PID控制響應(yīng)的多項(xiàng)式響應(yīng)面建模研究

曾乘，柳強(qiáng)

（遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

板球系統(tǒng)作為典型的非線性、多變量控制對(duì)象，常用來(lái)檢驗(yàn)控制策略的控制效果。文中基于板球系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以PID控制策略為例研究控制參數(shù)對(duì)控制效果的影響及其模型關(guān)系。首先，分別對(duì)控制參數(shù)P、I和P、D對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣；其次，應(yīng)用三階多項(xiàng)式響應(yīng)面法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，建立多項(xiàng)式響應(yīng)面模型解析式，并用Matlab軟件對(duì)模型進(jìn)行可視化。最后的計(jì)算結(jié)果表明，所建模型精度較高，為整定優(yōu)化控制參數(shù)奠定了建模基礎(chǔ)。

板球系統(tǒng)；PID控制；多項(xiàng)式響應(yīng)面；數(shù)學(xué)建模

隨著現(xiàn)如今位置伺服系統(tǒng)中定點(diǎn)控制與運(yùn)動(dòng)軌跡控制對(duì)控制領(lǐng)域的發(fā)展起著越來(lái)越重要的作用，而板球系統(tǒng)的目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)平板上小球的定點(diǎn)控制與運(yùn)動(dòng)軌跡控制。為了更加精準(zhǔn)和快速的達(dá)到控制要求，針對(duì)板球平衡系統(tǒng)控制參數(shù)的整定優(yōu)化問(wèn)題展開研究。基于一個(gè)控制性能較好的板球平衡控制系統(tǒng)（固高科技GPB2001）上，對(duì)系統(tǒng)輸入控制參數(shù)與輸出穩(wěn)定誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，使用三階多項(xiàng)式響應(yīng)面法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，并用matlab［1］軟件對(duì)擬合函數(shù)進(jìn)行圖形分析，分別建立了板球系統(tǒng)的P、I參數(shù)和P、D參數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。為參數(shù)的整定優(yōu)化問(wèn)題提供了模型支持。

1　板球系統(tǒng)簡(jiǎn)介

圖1　板球系統(tǒng)

板球系統(tǒng)［2］是一個(gè)多變量、非線性控制對(duì)象，其控制目地是一個(gè)自由滾動(dòng)的小球?qū)崿F(xiàn)定點(diǎn)控制或運(yùn)動(dòng)軌跡控制。采用角度編碼器反饋和攝像頭視覺(jué)反饋相結(jié)合的傳感方式得到小球的當(dāng)前位置信息，由此為根據(jù)進(jìn)行控制，通過(guò)改變P、I、D控制參數(shù)值來(lái)控制電機(jī)帶動(dòng)平板來(lái)控制小球的實(shí)際位置和運(yùn)動(dòng)軌跡。采用的板球系統(tǒng)（固高科技GPB2001）實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖1所示。

2　多項(xiàng)式響應(yīng)面法

多項(xiàng)式響應(yīng)面法［3-4］是一種將數(shù)理統(tǒng)計(jì)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的一種優(yōu)化方法。它以數(shù)據(jù)分析或試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，對(duì)計(jì)算空間內(nèi)的計(jì)算點(diǎn)的集合進(jìn)行連續(xù)的求值試驗(yàn)，構(gòu)造目標(biāo)和約束的全局逼近。

在多項(xiàng)式響應(yīng)面法中，不含交叉項(xiàng)的二階多項(xiàng)式響應(yīng)面比較常用，但其精度不高，所以在這里我們?nèi)〔缓徊骓?xiàng)的三階多項(xiàng)式響應(yīng)面。其需要的樣本數(shù)量m≥2n+1，n為問(wèn)題維數(shù)。

其中，a=［a0，a1，a2…an，a11a22…ann，a111，a222…annn］T為響應(yīng)面系數(shù)向量。求解向量a，為了確定a中的個(gè)2n+1系數(shù)，可選擇m（m≥2n+1）個(gè)抽樣點(diǎn)x（j）（j=1，2…m），得到m個(gè)響應(yīng)值組成的列向量g=［g（x（1）），g（x（2））…，g（x（2））］T。

系數(shù)向量可由下式求得：

其中，

式（2）即可得到多項(xiàng)式系數(shù)a。

3　基于多項(xiàng)式響應(yīng)面的建模

3.1控制參數(shù)與穩(wěn)定誤差的數(shù)據(jù)采集

基于固高科技GPB2001板球平衡系統(tǒng)，采用P、I、D參數(shù)控制系統(tǒng)［5］，設(shè)定目標(biāo)點(diǎn)為（60，60）。由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備運(yùn)行及數(shù)據(jù)讀取過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定誤差，但不影響本文的研究思路。數(shù)據(jù)采樣界面如圖2所示。

圖2　數(shù)據(jù)采樣圖

將參數(shù)D設(shè)為常數(shù)不變，采用均勻取樣法對(duì)參數(shù)P、I取若干組數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取其中20組數(shù)據(jù)運(yùn)用多項(xiàng)式響應(yīng)面法進(jìn)行擬合［6］，擬合數(shù)據(jù)如表1所示。

將參數(shù)I設(shè)為常數(shù)不變，采用均勻取樣法對(duì)參數(shù)P、D取若干組數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取其中20組數(shù)據(jù)運(yùn)用多項(xiàng)式響應(yīng)面法進(jìn)行擬合，擬合數(shù)據(jù)如表2所示。

3.2數(shù)學(xué)建模

1）P、I參數(shù)與穩(wěn)定誤差建模

取表1中P為x1，I為x2，E為g。將數(shù)據(jù)代入式（2）通過(guò)matlab的矩陣計(jì)算［7］得到多項(xiàng)式系數(shù)為：

表1　P，I參數(shù)與誤差數(shù)據(jù)表

表2　P，D參數(shù)與誤差數(shù)據(jù)表

進(jìn)而得出模型的多項(xiàng)式為：

其中：z為穩(wěn)定誤差E，x1與x2分別為控制參數(shù)P、I。

應(yīng)用matlab程序?qū)⑸鲜瞿Ｐ涂梢暬S圖形如圖3所示。

圖3　P、I參數(shù)與穩(wěn)定誤差擬合多項(xiàng)式的三維圖形

抽取5組未參與建模［8］的P，I數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，代入到多項(xiàng)式（3）中，驗(yàn)證結(jié)果如表3所示，可以看出計(jì)算值與實(shí)際值誤差較小，說(shuō)明模型精度較高。

表3　P，I驗(yàn)證數(shù)據(jù)表

2）P、D參數(shù)與穩(wěn)定誤差建模

取表2中P為x1，D為x2，E為g。將數(shù)據(jù)代入式（2）通過(guò)matlab的矩陣計(jì)算得到多項(xiàng)式系數(shù)為：

進(jìn)而得出模型的多項(xiàng)式為：

其中：z為穩(wěn)定誤差E，x1與x2分別為控制參數(shù)P、D。

應(yīng)用matlab程序?qū)⑸鲜瞿Ｐ涂梢暬鐖D4所示。

抽取5組未參與建模的P，D數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，代入多項(xiàng)式（4）中，驗(yàn)證結(jié)果如表4所示，可以看出計(jì)算值與實(shí)際值誤差［9］較小，說(shuō)明模型精度較高。

4　結(jié)　論

使用了多項(xiàng)式響應(yīng)面法對(duì)系統(tǒng)控制參數(shù)與穩(wěn)定誤差進(jìn)行建模，得到控制參數(shù)與穩(wěn)定誤差擬合度較高的建模函數(shù)，通過(guò)matlab軟件［10］的可視化及分析可以看出當(dāng)控制參數(shù)P、I 或P、D對(duì)控制效果有較大影響。由于所建立的模型給出了解析式，因此可為后續(xù)應(yīng)用優(yōu)化方法如粒子群算法等對(duì)控制器［11］參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)提供了模型支持。此外，此建模思路具有較好的普適性，只需將系統(tǒng)輸入?yún)?shù)設(shè)置為其他先進(jìn)控制方法的相關(guān)參數(shù)即可。

圖4　P、D參數(shù)與穩(wěn)定誤差擬合多項(xiàng)式的三維圖形

表4　P，D驗(yàn)證數(shù)據(jù)表

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Research on polynomial response surface modeling for ball and plate system based on PID control response

ZENG Cheng，LIU Qiang
（School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun 113001，China）

As a typical nonlinear and multivariable controlled object，ball and plate system is commonly used to test the control strategies.Based on experimental platform of the ball and plate system，the effect of control parameters on the control result and its relationship of model with PID control strategy are studied.Firstly，the data which respectively reflects the effect of the control parameters P，I and P，D on the stability of the system error are sampled；Subsequently，a third order polynomial response surface method is used to establish mathematic model and implement visualization by using Matlab software.The final computation results show that the model is satisfactory，which provides the further support for optimizing control parameters.

ball and plate system；PID control；polynomial response surface；mathematical modeling

TN0

A

1674－6236（2016）16-0028-03

2015-08-30稿件編號(hào)：201508168

曾 乘（1995—），男，湖南邵陽(yáng)人。研究方向：數(shù)據(jù)采集與建模等。