諧波齒輪傳動的齒形設計

莊劍毅，梁桂轉

（廣州市昊志機電股份有限公司，廣東廣州510000）

諧波齒輪傳動的齒形設計

莊劍毅，梁桂轉

（廣州市昊志機電股份有限公司，廣東廣州510000）

基于曲線映射理論，闡述諧波齒輪傳動非干涉且大范圍嚙合齒形的設計方法。先根據柔輪中線上點的運動軌跡，確定近似齒形；然后考慮柔輪齒傾斜和運動軌跡改變的情況，對近似齒形進行適當修正，得到最終齒形。

諧波齒輪；齒形設計；曲線映射

諧波減速器具有體積小、傳動比大、效率高、精度高等特點，并且作為核心零部件而廣泛應用于工業機器人和精密定位系統中。為保證卓越的傳動性能，諧波齒輪在角度傳動精度、強度、剛度等方面具有極高要求，而要實現這些高性能要求，齒形設計至關重要。本文闡述文獻［1］所披露的一種應用于諧波齒輪傳動的非干涉且大范圍嚙合齒形的設計方法。

1　曲線映射理論

如圖1所示，柔輪中線上點的運動軌跡為曲線a0b0，c0是a0b0上的任意一點。剛輪的上齒面曲線a1b1由a0b0進行幾何映射（即比例縮放）得到，縮放比例為0.5.a1b1以a1為中心旋轉180°，即為柔輪上齒面曲線a2b2.同時，c0在a1b1與a2b2上的對應幾何映射點分別為c1與c2.

當中線上的點由點a0運動至點c0，柔輪上齒面a2c2b2則運動至a2'c2'b2'.由于曲線幾何映射的特殊性質，柔輪上齒面曲線的點c2'與剛輪上齒面曲線的點c1相互重合并且相切。這樣，柔輪在整個運動過程中均與剛輪保持接觸而又不干涉，齒輪的嚙合性能進而得以大幅度提升。

圖1　曲線映射原理示意圖

2　近似齒形的設計

當諧波齒輪裝置采用基于余弦凸輪的波發生器，柔輪中線上點的運動規律如下［2］：

其中，ω為徑向位移，υ為周向位移，m為中線模數，θ為柔輪非變形端之轉角。

假設柔輪、剛輪均為齒條，則柔輪中線上點相對剛輪的運動軌跡如下：

根據曲線幾何映射理論，并經適當的坐標轉換，便得到近似設計的上齒面齒形曲線如下：

其中，mg為齒輪模數，τ為齒厚變化系數。

但是，實際中柔輪與剛輪均為圓柱齒輪而不是齒條，柔輪中線上點相對剛輪的運動軌跡與假設的有所變化，同時，柔輪齒在嚙合過程中存在齒廓傾斜現象。因此，還需對近似設計的上齒面齒形曲線進行修正。

3　齒形修正

齒形的修正包括柔輪齒傾斜的修正與運動軌跡改變的修正。在修正齒形之前，需清楚柔輪與剛輪之間的坐標關系。

如圖2所示，設有一固定坐標系OXY與波發生器固聯，Y軸與波發生器長軸相重合，原點O位于波發生器中心上。兩動坐標系OFXFYF和OCXCYC分別與柔輪和剛輪固聯。YF軸與柔輪齒的對稱軸線相重合，原點OF位于柔輪中線上，而YC軸與剛輪齒槽的對稱軸線相重合，原點OC位于剛輪的回轉中心上。

圖2　柔輪齒與剛輪齒的坐標關系

當柔輪非變形端旋轉θ角，得到以下坐標關系等式［3］：

YC軸相對Y軸的轉角為：Φ1=（ZF/ZC）·θ

矢徑OOF（記為ρ）相對Y軸的轉角為：

Φ2=θ-0.5·m·sin2θ/rn

YF軸相對矢徑ρ的轉角為：

μ=arctan｛2·m·sin2θ/（rn+ω）｝

YF軸相對YC軸的轉角，即柔輪齒的傾斜角為：

Φ=γ+μ

其中，ZF為柔輪齒數，ZC為剛輪齒數，rn為變形前柔輪中線的半徑，γ=Φ2-Φ1.

設柔輪齒傾斜修正項為g1，則有［4］：

g1=h·Φ

h=0.5·t+mg·（ha*+c*）+f

f=0.5·m·［1-cos2θ］-0.5·tanθ

·｛mg·［0.25π-（±τ）］-0.25m·（2θ-sin2θ）｝

其中，t為柔輪的輪緣厚度，ha*為齒頂高系數，c*為頂隙系數。

設運動軌跡改變的修正項為g2，則有［4］：g2=｛0.5·m·［2θ-sin2θ］-xN｝

+0.5·tanθ·｛yN-m［1-cos2θ］｝xN=（rn+m·cos2θ）·sinγ

yN=（rn+m）-（rn+m·cos2θ）·cosγ

4　最終齒形

根據修正項g1與g2對近似設計的上齒面齒形曲線方程（3）和（4）進行修正便得到最終的上齒面齒形曲線，曲線方程如下：

x=mg［0.25π-（±τ）］

-0.25m·（2θ-sin2θ）-0.5（g1-g2）y=0.5m·（1-cos2θ）

下齒面齒形曲線則在保證不產生干涉的前提下，可根據工藝便利性，選用任意的曲線。

5　齒形驗證

當取m=0.5，ZF=200，Zc=202，t=1，ha*=0.8，c*=0.25，τ=0.2，根據上述設計方法與相關曲線方程式，得到的柔輪齒廓與剛輪齒廓分別為圖3所示的曲線f與c.同時，圖3展示了柔輪齒嚙入剛輪齒的過程，整個嚙合過程柔輪齒均與剛輪齒保持接觸并且沒有干涉。也就是說，采用本文所設計齒形能夠在不產生干涉的前提下獲得大范圍嚙合。

圖3　柔輪齒與剛輪齒運動嚙合示意圖

因此，采用本文齒形的諧波齒輪在工作時，同時嚙合的齒數非常多，可以多達總齒數的30%，相比之下，傳統漸開線齒形的諧波齒輪在受力的情況下，同時嚙合的齒數也不會超過總齒數的15%.同時嚙合齒數的增加，能夠直接大幅度提升諧波齒輪在剛性、傳動精度、輸出轉矩等各方面的性能，提升幅度在30%以上。

6　結束語

諧波齒輪非干涉且大范圍嚙合齒形的設計方法是基于曲線映射理論的；先根據柔輪中線上點的運動軌跡，確定近似齒形；然后考慮柔輪齒傾斜和運動軌跡改變的情況，對近似齒形進行適當修正，得到最終齒形。該齒形增加了同時嚙合的齒數，進而大幅度提升諧波齒輪在剛性、傳動精度、輸出轉矩等各方面的性能。另外，本文所述為理想情況下的齒形設計，實際中齒輪制造必然會存在誤差，因此，還需根據實際的加工精度水平對齒形做進一步修正與優化。

［1］Shoichi Ishikawa，Kanagawa-ken.Strain Wave Gearing Having a Non-Interfering Wide Mesh Range Tooth Profile: US：5918508［P］.1999-06-06.

［2］M.H.伊萬諾夫，沈允文，李克美.諧波齒輪傳動［M］.北京:國防工業出版社，1987:30-31.

［3］沈允文，葉慶泰.諧波齒輪傳動的理論和設計［M］.北京:機械工業出版社，1985:68-71.

［4］湯秀清，莊劍毅.一種采用非干涉且大范圍嚙合齒廓的諧波齒輪裝置:中國：CN104819267A［P］.2015-08-05.

Tooth Profile Design of Harmonic Gear Drive

ZUANG Jian-yi，LIANG Gui-zhuan
（Guangzhou Hao Chi Electrical Limited by Share Ltd.，Guangzhou Guangdong 510000，China）

Base on curve mapping theory，a design method was presented for harmonic gear having a noninterfering wide range tooth profile.According to themovement locus of the tooth of flexspline，approximate tooth profile was achieved.Then taking account of tooth inclination and change in tooth movement locus，approximate tooth profile was corrected and final tooth profile was obtained.

harmonic gear；tooth profile design；curvemapping

TH132.43

A

1672-545X（2016）05-0075-02

2016-02-12

莊劍毅（1985-），男，廣東廣州人，研究生，工程師，研究方向：機器人用精密減速器設計。