帶有非線性擾動的不確定時滯系統魯棒預測控制

俞華軍

（中海油氣（泰州）石化有限公司 江蘇 泰州 225321）

帶有非線性擾動的不確定時滯系統魯棒預測控制

俞華軍

（中海油氣（泰州）石化有限公司 江蘇 泰州 225321）

針對一類具有非線性擾動不確定時滯系統，研究了使閉環系統漸近穩定且滾動時域性能指標在線最小化的魯棒預測控制器設計問題。基于預測控制滾動優化原理，運用Lyapunov穩定性理論和線性不等式方法，將無窮時域“min-max”優化問題轉化為凸優化問題，給出了系統穩定的充分條件。優化問題的可行性保證了算法的魯棒穩定性。最后通過仿真驗證所提方法的有效性。

魯棒預測控制；非線性；不確定性；線性矩陣不等式（LMIs）；時滯

為了控制系統達到良好的跟蹤性能，在每一采樣時刻，通過滾動優化的方式實時處理控制量和狀態量的約束問題，這就是預測控制的原理。工業過程控制中的模型、內部和外部擾動且不可避免。然而，MPC是一種基于對目標函數在有限時域內進行在線優化的算法，因此當控制系統存在模型不確定性，出現內部和外部擾動時，MPC的控制系統的溫度性難得到保證［1］。

魯棒預測控制是采用預測控制滾動優化思想處理模型的，使受控系統在滿足可行性條件下達到漸近穩定的方法［2］。它能夠有效處理模型不確定和擾動問題，彌補了經典預測控制設計沒有考慮模型不確定性和擾動的不足［3］。目前，關于不確定時滯系統的魯棒預測控制進行了大量的研究工作并取得了許多研究成果。文獻［4］和文獻［5］對時滯系統魯棒預測控制進一步研究，該文獻具有一定的保守性，主要由于是魯棒預測控制在整個預測時域采用相同的狀態反饋律，在考慮問題是不夠全面，有一定局限性。在文獻［5］的基礎上，文獻［6］是在狀態和輸入不確定時滯系統中用魯棒預測控制滾動優化思想，將無窮時域優化問題通過近似求解，從而得到一種設計魯棒預測控制器的可行方法。在實際工業過程控制中，各種時滯和擾動問題是普遍存在的，它們往往是導致系統不穩定。在上述文獻中，都沒有考慮非線性干擾對系統的影響。為此，本文在前人研究工作基礎上，提出了一種適合于帶有非線性擾動的不確定時滯系統的魯棒預測控制方法，通過在每個采樣周期在線求解無窮時域 “min-max”優化問題，運用Lyapunov穩定性理論和線性不等式方法，給出了狀態反饋控制器存在的充分條件。在此基礎上，分析閉環時滯系統的 漸近穩定性。最后通過仿真驗證了所提出方法的可行性。

1　問題描述

考慮以下一類具有狀態時滯及非線性干擾的不確定時滯系統

其中x（t）∈Rn，u（t）∈Rm分別表示系統的狀態向量和輸入向量，τ∈R+為未知有界時滯，滿足 τ≤τ*，τ*為已知常數，φ（t）為可微的初值函數向量，A，Ad，B是適當維度的常矩陣，Δ（A），ΔAd（t）表示參數不確定性矩陣，并具有以下形式：

其中M，Ea，Ed為適當維度的常矩陣，F（t）∈Ri×j為未知的實值有界函數，且滿足F（t）TF（t）≤I，f（x，x（t），x（t-τ））為有界非線性擾動，且滿足有界條件：

其中β0≥0，β1≥0為常數。對任意常數，。

對于系統（1），采用與文獻［7］相類似的指標：

魯棒預測控制融合對不確定性的處理方法和魯棒控制滾動優化思想，在每一采樣時刻實施控制作用。采用狀態反饋控制結構如下：

在t∈［kT，（k+1）T］周期內實施狀態反饋控制，通過以下閉環系統得到（k+1）T時刻的可測狀態：

文中的主要是針對帶有擾動不確定時滯系統（1），設計狀態反饋魯棒預測控制器，通過在每一采樣時刻，求解優化問題（4），確定出一個狀態反饋控制律，使得閉環系統在滿足可行性條件下達到漸近穩定。

引理1設D、F、E為具有適當維數的實矩陣，且有F（x）F（t）T≤I，則對任意標量ε＞0，以下不等式成立：DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1EET。

引理2假設矩陣Y，D，E具有適當的維數，且Y是對稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT＜0，對所有滿足F（t）F（t）T≤I的矩陣F（t），當且僅當存在一個常數ε＞0，使得Y+εDDT+ε-1EET＜0。

2　魯棒預測控制器設計

針對一個帶有擾動不確定時滯系統（1），為了求解優化問題（4），選取以下Lyapunov函數：

其中P1＞0，P2＞0，R1＞0，Z＞0在每一采樣時刻kT，假設V（x （t））滿足以下條件：

為保證性能指標（4）為有限值，假設 x（∞，kT）=0，那么V（x（∞，kT））=0。將式（8）從0到T積分，得：

并當T→∞時，由假設條件知xT（kT+T，kT）P1x（kT+T，kT）→0

由此可得：

顯然，V（x（kT））就是Jk的上確界。

定理 1對于具有擾動的不確定時滯系統（1）和性能指標（4），采用狀態反饋控制律K=YX-1，使系統漸近穩定的充分條件是存在變量W0＞0，ε1、ε2＞0，及γ，X，X1，W0，W1，W2，W3，M1，M2，M3，Y滿足以下形式的LMI優化問題：

*代表相應的對稱塊矩陣

證明為了簡化作如下定義：

而二次型函數積分項式（9）的第一部分可轉化為：

假設存在矩陣變量M1，滿足tr（VT1W1-1V1）＜tr（M1），則根據Schur補定理得式（12）成立，其中P2=W1-1。同理可得二次型函數積分項式（9）的第二部分可轉化為

假設存在矩陣變量M2，滿足tr（VT2W2-1V2）＜tr（M2）由Schu補定理得式（13）成立，其中R1=W2-1。同理假設存在M3，滿足t （VT3W3-1V3）＜tr（M3）由Schur補定理得式（14）成立，其中z=W-13。從而可通過最小化γ+tr（M1）+tr（M2）+tr（M3）來保證式（9）給出的性能指標上界最小化。對式（7）求導并代入式（4），

并由式（3）和引理1，可將性能指標轉化為：

當時Π＜0，保證了V（x（kT））的單調遞減性。由引理2知上式成立等價于存在一個常數ε2＞0，使得

根據補定理，式 （17）可等價于線性矩陣不等式（18）：

3　仿真實例

考慮不確定時滯系統（1），采用如下參數形式：

圖1和圖2分別為時滯無關魯棒控制算法的狀態響應曲線和控制作用曲線，圖3和圖4分別為基于狀態反饋算法的狀態響應曲線和控制作用曲線。從仿真結果可以看到，魯棒控制算法處理非線性擾動時狀態和控制作用都具有震蕩和超調，而算法對非線性干擾有較好的抑制作用，明顯優越于魯棒控制算法，由圖3和圖4知，當時滯參數變化時，仍然具有較快的收斂速度。

圖1　系統狀態響應曲線圖

4　結　論

文中采用線性矩陣不等式方法，提出了具有非線性擾動不確定時滯系統算法。基于預測控制的滾動優化原理，通過在每個采樣時刻在線求解相應的具有線性矩陣不等式約束的非線性規劃問題，保證性能指標在線最小化。利用Lyapunov穩定性理論，證明了閉環系統是漸近穩定的。仿真實例驗證了此方法的有效性。

圖2　控制輸入曲線圖

圖3　系統狀態響應曲線

圖4　控制輸入曲線

［1］Chisci L，Rossiter J A，Zappa G.Systems with persistent disturbances：predictive control with restricted constraints［J］. Automatica，2001，37（7）：1019-1028.

［2］Ding B C，Xi Y G，Li S Y.A synthesis approach of on-line constrained robust model predictive control［J］.Automatica，2004，40（1）：163-167.

［3］Ding B，Huang B.Constrained robust model predictive control for time-delay systems with poly topic description［J］. International Journal of Control，2007，80（4）：509-22.

［4］陳秋霞，俞立.不確定離散時滯系統的輸出反饋魯棒預測控制［J］.控制理論與應用，2007，3（24）：401-406.

［5］Han C Y，Liu X H，Zang H S.Robust model predictive control for continuous uncertain systems with state delays［J］. Control Theory&Applications，2008，6（2）：189-194.

［6］劉曉華，王利杰.帶有狀態和輸入時滯的不確定廣義系統的魯棒預測控制［J］.控制理論與應用，2010，4（27）：527-532.

［7］Wang Z D，Huang B，Unbehauen H.Robust reliable control for a class of uncertain nonlinear state-delayed systems［J］. Automatica，1999，35（12）：955-963.

Robust predictive control of uncertain time-delay systems with nonlinear disturbance

YU Hua-jun
（CNOOC（Taizhou）Petrochemical Co.，LTD，Taizhou 225321，China）

The design problem of robust state feedback model predictive controllers is considered which guarantees that the closed-loop system is asymptotically stable and an on-line receding horizon guaranteed cost is minimized for a class of uncertain time-delay systems with nonlinear disturbance.Based on predictive control principle of receding optimization，the infinite time domain"min-max"optimization problems are converted into convex programming problems by means of Lyapunov stable theory and linear matrix inequalities（LMIs）technique；and the sufficient conditions for the robust stability of the system are given.The feasibility of the above optimization problem guarantees the robust stability of the system.Finally，the simulation results illustrate the effectiveness of the proposed methods.

robust predictive control；nonlinear；uncertainty；Linear matrix inequalities（LMIs）；time-delay

TN495

A

1674－6236（2016）06-0190-04

2015-03-30稿件編號：201503447

俞華軍（1983—），男，浙江紹興人，碩士，助理工程師。研究方向：預測控制、非線性控制、汽輪機控制。