變位非正交面齒輪副小輪齒向修形輪齒接觸分析

周鎮宇　唐進元　丁　撼

中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室,長沙,410083

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變位非正交面齒輪副小輪齒向修形輪齒接觸分析

周鎮宇唐進元丁撼

中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室,長沙,410083

建立了變位非正交面齒輪的加工坐標系和嚙合坐標系，推導了變位小輪及變位非正交面齒輪的齒面方程，計算得到了面齒輪數值齒面，分析了變位對非正交面齒輪齒寬的影響。在變位的基礎上研究了對小輪進行齒向鼓形修形，而面齒輪不修形的修形方式。分別對未變位、變位、變位加小輪齒向修形的三種非正交面齒輪傳動形式進行考慮安裝誤差的輪齒接觸分析。研究表明：隨著變位系數增大，非正交面齒輪最小內半徑、最大外半徑及極限齒寬均減小；變位不影響非正交面齒輪副的接觸規律；小輪齒向修形能降低接觸軌跡對安裝誤差的敏感性，會引起幅值較小的直線型傳動誤差。

非正交面齒輪；變位；齒向修形；輪齒接觸分析

0　引言

面齒輪傳動是一種由圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的新型齒輪傳動方式，其中錐齒輪齒面與普通圓錐齒輪齒面有所不同，是采用齒形為漸開線的圓柱插齒刀經過展成運動包絡得到的[1]。面齒輪傳動因具有獨特的分流特性，在國外已成功應用于直升機分流、匯流傳動中[2-3]。面齒輪傳動可實現相交軸間的運動傳遞，當其兩軸線間的夾角γ=90°時，稱為正交面齒輪傳動，當γ≠90°，稱為非正交面齒輪傳動。根據插齒加工原理，在面齒輪插齒加工過程中，將會產生內端根切及外端齒頂變尖的現象，這使得面齒輪的齒寬大小受到限制，從而極大影響面齒輪的承載能力[4-9]。而變位與修形是改善齒輪傳動性能，提高齒輪承載能力的有效方法，因此有必要研究面齒輪傳動的變位與修形[10-11],而且從目前的文獻來看，研究對象基本為正交面齒輪副，而對非正交面齒輪副變位與修形的研究尚未見報道。

本文推導了變位小輪及變位非正交面齒輪的齒面方程，并在變位的基礎上對小輪進行了齒向修形，研究了變位對非正交面齒輪齒寬的影響，分別對未變位、變位、變位加小輪齒向修形的非正交面齒輪傳動進行了考慮安裝誤差的輪齒接觸分析，對分析結果進行了對比研究[12-15]。

1　非正交面齒輪變位原理

面齒輪采用插齒刀加工，為了加工出變位的面齒輪齒形，需采用變位的插齒刀，在保證中心距不變的條件下，若采用的是正變位的插齒刀，則加工出來的是相應變位量的負變位面齒輪；反之，若采用的是負變位的插齒刀，則加工出來的是相應變位量的正變位面齒輪。圖1所示為采用變位插齒刀加工變位面齒輪的示意圖，其中，原點為O2、Os、Om的坐標系分別為與被加工齒輪固結的坐標系(S2)、與變位插齒刀固結的坐標系(Ss)、機床坐標系(Sm)。而變位的插齒刀齒面及嚙合小輪的齒面是采用齒條刀具通過改變中心距包絡得到的，圖2a所示為其虛擬加工坐標系，其中原點為O1、Of的坐標系分別為與齒條刀具固結的坐標系(S1)及機架剛性固結的坐標系Sf。

圖1　變位非正交面齒輪加工

2　變位小輪及變位插齒刀齒面方程

2.1齒條刀具方程

變位小輪及變位插齒刀的齒面是由齒條齒面展成得到的，齒條刀具齒廓線為直線，如圖2b所示，其齒廓線可用下式表示于坐標系S1中：

(a)變位小輪與插齒刀虛擬加工坐標系　　　(b)齒條刀具輪廓圖2　變位小輪及變位插齒刀加工坐標系

(1)

其中，α為壓力角；u為變參數，用于確定齒廓上流動點的位置(對于點M，u>0；對于點M*，u<0)。齒條齒面的單位法線矢量為

n1=(cosα,-sinα,0)

(2)

2.2變位小輪及變位插齒刀齒面方程

I為瞬時回轉中心，x為變位系數，當x=0時即代表無變位。m為模數，φ為齒輪轉角，齒條刀具的位移s與齒輪轉角φ具有關系：s=rφ。

由于變位小輪及變位插齒刀齒面推導過程是一致的，所以下面僅以變位插齒刀為例推導其齒面方程。

變位插齒刀的齒面方程可以表示為

r2=M21r1=M2fMf1r1

(3)

(4)

為了方便推導面齒輪齒面方程和MATLAB建模，將變位插齒刀的齒廓漸開線表示在圖3所示的坐標系Ss中，其中虛線表示變位后的漸開線齒廓。通過坐標變換及參數代換，可得變位插齒刀齒面方程為

(5)

(6)

式中，rbs為插齒刀基圓半徑；us為標記在zs方向的齒面參數；θs為漸開線參數；θos為用來確定插齒刀在基圓上齒槽寬的參數；rs為插齒刀的分度圓半徑；Ns為插齒刀齒數。

圖3　插齒刀漸開線齒廓

2.3含齒向修形的變位小齒輪齒面方程

變位小輪齒面方程與變位插齒刀齒面方程具有相同的推導過程，且具有相同的表達形式，其齒面方程為

(7)

式中，u1為標記在z1方向的齒面參數；θ1為變位小齒輪的漸開線參數；rb1為變位小齒輪基圓半徑；θo1為用來確定變位小齒輪在基圓上齒槽寬的參數。

現對變位小輪采用等半徑圓弧鼓形修形，修形齒面由原來的小輪齒面上任意點沿著其內法線方向偏移一定距離(修形量)而得。圖4中虛線表示的齒面為修形后的齒面。圖5所示為齒向修形齒廓。圖中Δc為最大鼓形量，Rg是鼓形半徑，b 為齒寬，u為齒寬參數，cβ為齒廓上任一點的修形量。

圖4　齒向修形后的小輪齒面

圖5　齒向修形齒廓圖

由圖5可得以下幾何關系式：

(8)

(9)

由式(8)和式(9)可知，當給定齒寬b以及最大修形量Δc后，即可求得鼓形半徑Rg和齒廓上任意點的鼓形量cβ關于齒寬參數u的函數。

當變位小輪齒面點沿著其單位法矢負方向偏移cβ時，其在橫軸和縱軸的偏移分量分別為

(10)

則參照未修形時的齒面方程，易得修形后的齒面方程為

r1(u1,θ1)=

(11)

3　變位非正交面齒輪齒面方程

面齒輪的齒面可用表示在坐標系S2中的插齒刀齒面Σs的曲面族的包絡來確定。為了推導面齒輪齒面Σ2，使用圖6所示的坐標系。其中Ss和S2分別是隨插齒刀和面齒輪轉動的坐標系；Sm和Sp是與機架剛性固結的輔助坐標系。軸線zs和z2所夾的角度γm=180°-γ為面齒輪傳動的軸交角。

變位非正交面齒輪的齒面方程在坐標系S2中表示為

(12)

式中,f(us,θs,φs)用來表示嚙合方程；v(s2)為相對速度；M2s為轉換矩陣。

(a)插齒刀旋轉坐標系

(b)插齒刀與面齒輪坐標系圖6　面齒輪加工坐標系

由于在加工過程中，面齒輪內端易發生根切現象，必須限制插齒刀的齒面Σs。Σs上的界限線L根據以下方程確定:

(13)

(14)

(15)

(16)

界限線L與插齒刀頂圓柱的交點就是根切的界限點，求出該點坐標即可確定面齒輪最小內半徑R1。

根據變尖點坐標只有齒寬方向坐標值不等于零(在Sg坐標系下)，其余兩坐標軸方向的坐標值均等于零，編寫MATLAB程序解非線性方程即可解得面齒輪最大外半徑R2。則面齒輪極限齒寬為

b=R2-R1

(17)

4　變位對非正交面齒輪齒寬的影響

為了分析變位對非正交面齒輪齒寬的影響，采用表1中算例1的齒輪參數，在區間[-0.3，0.3]內均勻選取50個數值作為變位值，編寫MATLAB程序計算內外徑和極限齒寬，得到圖7所示的規律圖。從圖7可見，隨著非正交面齒輪變位系數由負到正不斷增大，其最大外徑有所減小，最小內徑只有輕微的減小，從圖中難以看出變化，可見正變位對避免根切的作用是很有限的，而正變位引起的最大外徑的減小能使面齒輪的整體尺寸減小，質量減輕，符合航空齒輪的設計理念；且正變位能使非正交面齒輪的齒厚增加，這能明顯提高其承載能力。但隨著變位量的增大，面齒輪的極限齒寬有所減小，不利于面齒輪的承載能力，但其減小的幅度并不大。

圖7　非正交面齒輪內外徑及極限齒寬

5　非正交面齒輪傳動齒面接觸分析

齒面接觸分析的算法基于描述兩齒面Σ1和Σ2的連續接觸方程。采用的坐標系如圖8所示。其中S1和S2分別隨小輪和面齒輪一起轉動，Sf和Se分別為對應小齒輪和面齒輪的固定坐標系，Sq、Sd和Se是為模擬面齒輪的安裝誤差而引入的坐標系。ΔE、B和Bcotγ用來確定原點Oq相對于原點Of的位置。ΔE是小齒輪和面齒輪兩軸線相錯時兩軸線間的最短距離。采用Se相對于Sd的位置模擬面齒輪的軸向位移Δq，Sd相對于Sq的方向模擬相錯角γf=180°-γ+Δγ的安裝情況，Δγ是軸交角誤差。

圖8　變位面齒輪嚙合坐標系

選定坐標系Sf分析Σ1和Σ2的切觸，其切觸方程為

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

6　算例分析

非正交面齒輪傳動基本設計參數見表1。

表1　非正交面齒輪傳動基本設計參數

下面以表1參數為基本設計參數，分別取非正交面齒輪變位系數為x=0.2、x=0、x=-0.2，以及在x=0.2的基礎上取修形量Δc=0.02 mm、Δc=0.05 mm，以這5種情況為例進行TCA仿真分析，仿真結果見圖9～圖13。

1. ΔE=0　2. ΔE=0.4 mm　3. ΔE=-0.4 mm(a)含軸相錯誤差

1. Δq=0　2. Δq=0.15 mm　3. Δq=-0.15 mm(b)含軸向位移誤差

1. Δγ=0　2. Δγ=0.04 rad　3. Δγ=-0.04 rad(c)含軸交角誤差圖9　含安裝誤差的變位前后接觸軌跡

1. Δc=0　2. Δc=0.02 mm　3. Δc=0.05 mm圖10　標準安裝下修形前后接觸軌跡

1. Δq=0，Δc=0　2. Δq=0.15 mm, Δc=03. Δq=0.15 mm，Δc=0.02 mm　4. Δq=0.15 mm,Δc=0.05 mm(a)修形前后軸向位移誤差對接觸軌跡的影響

1. Δγ=0, Δc=0　2. Δγ=0.04 rad, Δc=03. Δγ=0.04 rad, Δc=0.02 mm　4. Δγ=0.04 rad,Δc=0.05 mm(b)修形前后軸交角誤差對接觸軌跡的影響

1. ΔE=0, Δc=0　2. ΔE=0.4 mm, Δc=03. ΔE=0.4 mm, Δc=0.02 mm　4. ΔE=0.4 mm,Δc=0.05 mm(c)修形前后軸相錯誤差對接觸軌跡的影響圖11　修形前后安裝誤差對接觸軌跡的影響

由圖9分析可知,安裝誤差會引起接觸軌跡的左右移動，而變位前后接觸軌跡一致，即變位對接觸軌跡的形狀不產生影響，且變位不改變安裝誤差對接觸軌跡的影響規律及影響程度。由圖10可知，同樣在標準安裝的情況下，當含有小輪齒向修形時，接觸軌跡會往面齒輪齒寬中心位置靠近，且修形量越大，接觸軌跡越靠近齒寬中心位置。圖11表征的是含小輪齒向修形時各項安裝誤差對接觸軌跡的影響。由圖11分析可知,當不含小輪齒向修形時，安裝誤差對接觸軌跡的移動影響顯著，而當對小輪采用齒向修形后，接觸軌跡的移動量明顯減小，且修形量越大，軌跡的移動量越小，而修形后接觸軌跡的形狀依然是基本垂直于面齒輪齒頂線的一條直線?？梢姳疚奶岢龅膶π↓X輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形的方法能顯著降低接觸軌跡對安裝誤差的敏感性，但不改變接觸軌跡的形狀。

如圖12所示，不含修形的情況下，當含變位或不含變位時，其傳動誤差均為零，且安裝誤差不會引起傳動誤差，即變位和安裝誤差均不會引起傳動誤差。而對小輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形后傳動誤差曲線為向下傾斜的直線，且在安裝誤差相同的情況下，最大修形量越大，傳動誤差的幅值越大，如圖13所示,其中虛線為Δq=0.2mm，修形量Δc=0.02mm時的傳動誤差，實線為Δq=0.2mm，修形量Δc=0.05mm時的傳動誤差，實線幅值大于虛線幅值。

圖12　不含修形時非正交面齒輪副傳動誤差

1. Δq=0.2 mm, Δc=0.02 mm　2. Δq=0.2 mm, Δc=0.05 mm圖13　含齒向修形時非正交面齒輪副傳動誤差

7　結論

(1)變位對非正交面齒輪內外徑會產生較小影響，隨著變位系數增大，非正交面齒輪最小內半徑減小，最大外半徑減小且減小程度大于最小內半徑，所以極限齒寬有所減小。

(2)變位不影響非正交面齒輪副的接觸規律，即變位后接觸軌跡的形狀不變，依然是基本垂直于非正交面齒輪齒頂線的直線，這也與正交面齒輪傳動接觸特性保持一致，且變位后各項安裝誤差對接觸軌跡的影響規律和影響程度均不變。

(3)對小齒輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形能顯著降低接觸軌跡對安裝誤差的敏感性，且最大修形量越大，接觸軌跡對安裝誤差的敏感性越低，此種修形方式使得接觸軌跡往非正交面齒輪齒寬中心位置靠近，但接觸軌跡的形狀并未改變，依然是基本垂直于非正交面齒輪齒頂線的直線。

(4)對小輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形后傳動誤差曲線為向下傾斜的直線，且在安裝誤差相同的情況下，修形量越大，傳動誤差的幅值越大。

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(編輯王艷麗)

Tooth Contact Analysis of Profile-shifted Non-orthogonal Face Gear Drive with Longitudinal Modified Pinion

Zhou ZhenyuTang JinyuanDing Han

State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing,Central South University, Changsha, 410083

The coordinate systems for the processing and meshing of the non-orthogonal face gear drive with longitudinal modified pinion use were established. The tooth surface equations of the profile-shifted pinion and the profile-shifted non-orthogonal face gear were deduced; simultaneously the numerical tooth surface of the face gear was calculated. The impacts of profile-shifting on tooth width of the non-orthogonal face gear were analyzed. A kind of modification mode of the face gear drive is studied,where the pinion is longitudinal modified based on considering profile-shifting, while the tooth surface of the face gear is not modified. The tooth contact analysis considering the misalignment errors is conducted for the ordinary non-orthogonal face gear drive, the profile-shifted non-orthogonal face gear drive and the profile-shifted non-orthogonal face gear drive with longitudinal modified pinion respectively. The results show that: the minimum inner radius of the non-orthogonal face gear reduces, the maximum outer radius of the non-orthogonal face gear reduces, and the limit tooth width decreases along with the increasing of the profile-shifting coefficient; profile-shifting has no impact on the contact law of the non-orthogonal face gear drive; a longitudinal modified pinion can reduce the sensitivity of contact path to the misalignment errors and will induce a type of linear transmission errors with low amplitude.

non-orthogonal face gear; profile-shifting; longitudinal modification; tooth contact analysis(TCA)

2015-12-03

國家自然科學基金資助項目(51535012, 51305462, 51275530)；中南大學研究生創新項目(2016zzts301)

TH132.41

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.003

周鎮宇，男，1991年生。中南大學機電工程學院碩士研究生。主要研究方向為齒輪傳動及數字化制造。唐進元(通信作者)，男，1962年生。中南大學機電工程學院教授。丁撼，男，1987年生。中南大學機電工程學院博士研究生。