數控磨床可靠性建模及評估研究*

范晉偉　王鴻亮　張蘭清　劉　超

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

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數控磨床可靠性建模及評估研究*

范晉偉王鴻亮張蘭清劉超

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

以北京第二機床廠生產的MKS系列數控磨床為研究對象，使用采集的故障數據進行無故障間隔時間分布建模，利用最小二乘法進行了參數估計，經過擬合檢驗和擬合優度檢驗確定這些數據的無故障間隔時間趨近于威布爾分布。計算了該類數控磨床的可靠性評價指標：平均故障間隔時間、平均維修時間以及可用度。取得的研究成果得到了廠家的認可和應用，對數控磨床可靠性的研究和提升具有重大的意義。

無故障間隔時間;建模;參數估計;擬合檢驗;可靠性評估

我國是數控機床生產和消費大國，但從近年的數控機床的進出口情況來看，我國數控機床的進口量占居首位，而出口量卻不盡人意，在國內市場和國際市場的占有率較低，主要原因是我國的數控機床的可靠性較低，價格也不占優勢。在當今市場經濟時代，要想獲得較好的市場效益，產品的可靠性必須要高。目前國內外對機床可靠性的研究主要有：Kerr等人采用計算機圖像處理技術對機床的刀具磨損進行在線監測，評估了刀具剩余壽命[1]。加拿大的Liu等人針對機床加工條件各不相同的情況，建立了刀具加速故障時間模型，用最大似然法對刀具的壽命進行了可靠性評估[2]。意大利學者Ronald利用模糊方法建立復雜系統的可靠性模型[3]。國內張英芝等人在機床的可靠性方面做了很多研究，用三參數威布爾分布模型對數控機床可靠性進行研究[4]，申桂香通過賦權的方法對數控機床的可靠性進行評價[5]。在機床可靠性的研究方面，對數控車床和加工中心研究較多，而數控磨床由于種類繁多，結構上與其他機床差異較大，缺乏可靠性基礎數據等原因，研究較少。數控磨床的故障規律和可靠性水平等均有待研究和分析[6]。

1　無故障間隔時間分布模型的建立

以北京第二機床廠生產的MKS系列數控磨床為研究對象，利用從現場采集的故障數據來統計設備運行的無故障工作時間和維修時間。通過為期一年半的時間來觀察6臺數控磨床，共收集到165條故障數據，以這些故障數據進行建模。

1.1無故障間隔時間分布散點圖的繪制

利用經驗分布函數法[7]進行無故障間隔時間分布散點圖的繪制。將無故障間隔時間觀測值由小到大排序為：t1≤t2≤…≤tn,當故障數量較小時，為了減小誤差，常用中位秩近似計算，分布函數F(ti)可表示為：

(1)

其中：i為故障數據的標號(i=1,2,…,n);n為故障數據的總數。

利用采集到的數據，分別計算它們的無故障間隔時間，并利用公式(1)計算出每一個無故障間隔時間對應的值。以ti為橫坐標，F(ti)為縱坐標，繪制無故障間隔時間分布的散點圖如圖1所示。

1.2無故障時間間隔分布密度函數散點圖的繪制

為了更好地判斷數據所屬類型分布，需要進一步繪制無故障間隔時間的概率密度函數散點圖。

采用等時間間隔頻次法[8]將采集到的數據進行分組，分組區間的經驗公式為：

K=1+3.322lognf

(2)

其中：K為分組數；nf為故障數據的總數。

每組概率密度觀測值的計算公式為：

(3)

其中:ni為每組故障間隔工作實踐中的故障頻數；n為故障總數；Δti為組距。

將采集到的故障數據分組如表1所示。

表1故障數據分組

序號區間范圍Δti/h分組中值/h頻數/個頻率積累頻率概率密度觀測值10～5002501050.6360.6360.0012722500～1000750240.1450.7810.0002931000～15001250180.1090.890.00021841500～20001750100.0610.9510.00012252000～2500225040.0240.9750.00004862500～3000275020.0130.9880.00002673000～3500325010.0060.9940.00001283500～4000375010.00610.000012

1.3利用最小二乘法進行參數估計

通過上述無故障間隔時間分布函數散點圖和無故障間隔時間分布密度函數散點圖的繪制，無故障間隔時間趨于服從威布爾分布或指數分布，并對此進行假設。現分別以威布爾分布和指數分布進行參數估計[9]。

考慮到最小二乘法在參數估計中應用較廣，而且最小二乘法是一種對分布參數高效且無偏的估計法。最小二乘法簡便、計算高效并可用于簡單線性、多元線性和非線性模型，而且很多的非線性模型都可以通過簡單的變換轉換成為線性模型，這都為最小二乘法的應用提供了方便。

最小二乘法的基本思想是：假設有n個觀測值(xi,yi)(i=1,2,…,n),如果x、y之間存在線性關系，可以用直線來擬合x、y之間的關系為：

y=ax+b

(4)

其中，參數a、b的值為：

(5)

1.3.1無故障間隔時間的威布爾分布

威布爾分布的函數表達式為：

(6)

經計算得出：m=0.838 6、η=517.241 26。

1.3.2無故障間隔時間的指數分布

指數分布的函數表達式為：

(7)

1.4兩種函數分布的擬合檢驗

求出假設函數分布的模型后，為驗證假設是否成立需進行擬合檢驗。使用χ2檢驗法分別對這兩種分布進行擬合。

χ2檢驗的原理是計算出理論頻數與實際頻數之間的差異，然后將接受檢驗的統計量χ2觀測值與標準臨界值進行比較，如果滿足公式(8)則假設正確，反之，假設不正確。

(8)

其中：n為樣本數量；k為分組數；m為位置參數的個數；α為顯著性水平；vi為第i分組的實際頻數；pi為第i分組理論頻率。

1.4.1威布爾分布的擬合檢驗

對無故障間隔時間的威布爾分布進行擬合圖的繪制，如圖3所示。

1.4.2指數分布的擬合檢驗

對無故障間隔時間的指數分布進行擬合圖的繪制，如圖4所示。

通過χ2檢驗，無故障間隔時間的兩種函數分布假設均合理。

1.5擬合優度的檢驗

為確定哪種分布更貼近于實際分布，還需進行擬合優度的檢驗。擬合優度[10]一般用R表示，其公式為：

(9)

對擬合優度值進行比較,可知Rw>Re，所以無故障間隔時間分布更符合威布爾分布。

2　可靠性評估指標的計算

2.1平均故障間隔時間(MTBF)的計算

平均故障間隔時間MTBF(meantimebetweenfailure)是衡量數控磨床可靠性的一個重要指標。由上述可知，平均無故障間隔時間的分布類型更符合威布爾分布，威布爾分布的概率密度函數為：

平均故障間隔時間MTBF的計算公式為：

(10)

利用公式(10)可計算出數控磨床平均故障間隔時間的點估計值MTBF=567.57 h。

考慮到點估計往往是一個確定的數值,而沒有給出估計精度。區間估計彌補了點估計的不足,給出一個區間估計范圍。對MTBF進行區間估計[11]。

(1)參數m的區間估計

其中：q=r/n

c=2.146 28-1.361 119×q

當自由度較大時，查χ2分布表不方便，可用整體分布近似，按公式(11)計算χ2分布的分位點：

(11)

其中：up為標準正態分布的p分位點。

(2)參數η的區間估計

其中：A4=0.49q-0.1343+0.622q-1

A5=0.2445(1.78-q)(2.25+q)

A6=0.029-1.083ln(1.325q)

A3=-A6x2

x=N1-α/2

因此，在置信度為1-α時，MTBF的雙側置信區間為：

(12)

利用公式(12)可以計算出MTBF的區間估計為[370.253 8，597.239 5]h。

2.2平均修復時間(MTTR)的計算

數控磨床屬于可維修產品，產品的維修性直接影響到產品在使用過程中利用率，平均修復時間是反映數控磨床維修性的特征值，是指故障排除的難易程度。因此，在做可靠性評估時，維修性也是一個十分重要的指標。平均修復時間指的是故障發生時所用維修時間的平均值，即MTTR(mean time to repair)。

平均修復時間的計算公式為：

其中：N為測試的產品總數；ni為第i個測試產品的維修次數；τij為第i個產品第j次維修所用的時間。

通過采集的這6臺數控磨床的故障數據可計算出平均修復時間為：

2.3可用度

可用度[12]的計算公式為:

通過計算可得這批數控磨床的可用度為0.0031 4。

3　結語

利用現場采集到的故障數據，對無故障間隔時間分布進行建模。通過無故障間隔時間分布函數散點圖和密度函數散點圖的繪制，可知無故障間隔時間分布與威布爾分布和指數分布擬合較好，并假設無故障間隔時間分布服從威布爾分布和指數分布。利用最小二

乘法對兩種分布函數的參數進行了估計，通過擬合檢驗驗證了兩種假設均正確，為進一步確定哪種分布更貼近于實際分布，又進行了擬合優度的檢驗，最后得出威布爾分布擬合的更好。

最后對這批數控磨床可靠性指標進行了計算，得到平均故障間隔時間為567.574 h，平均修復時間為1.78 h，固有可用度為0.003 14。通過這些指標較直觀的了解這批數控磨床的可靠性水平，對數控磨床可靠性的研究和提升具有重大的意義。

[1]Kerr D,Pengilley J,Garwood R. Assessment and visualization of machine tool wea using computer vision[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2006,28(7-8):781-791.

[2]Liu H,Makis V.Cutting-tool reliability assessment in variable machining conditions[J].IEEE Transactions on Reliability,1996,45(4):573-581.

[3]Ronald R Y. A fuzzy measure approach to systems reliability modeling[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2014,22(5):1139-1150.

[4]張英芝,申桂香,吳甦,等.隨機截尾數控機床三參數威布爾分布模型[J].吉林大學學報：工學版,2009,39(2):378-381.

[5]申桂香,張英芝,薛玉霞,等.基于熵權法的數控機床可靠性綜合評價[J].吉林大學學報：工學版,2009,39(5):1208-1211.

[6]劉勇軍.基于多學科設計優化的數控磨床可靠性設計技術研究[D].北京：北京工業大學，2015.

[7]張海波，賈亞洲,周廣文.數控系統故障間隔時間分布模型的研究[J].哈爾濱工業大學學報,2005,37(2):198-200.

[8]王桂萍，賈亞洲.MTBF分布模型的案例分析[J].吉林工程技術師范學院學報,2005,21(3):20-24.

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[10]張世強.曲線回歸的擬合優度指標的探討[J].中國衛生統計,2002,19(1):9-11.

[11]趙宇，楊軍，馬小兵.可靠性數據分析教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2009：104-106.

[12]賽義德.可靠性工程[M].2版.北京：電子工業出版社，2013:137-140.

(編輯李靜)

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Research on reliability modeling and evaluation of CNC grinding machine

FAN Jinwei, WANG Hongliang, ZHANG Lanqing，LIU Chao

(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124,CHN)

MKS series CNC grinding machine of Beijing the second machine tool plant production as the research object, using the failure data of acquisition for distribution of time between trouble-free to establish model, and using least square method to estimate parameters. Knowing the data of distribution of time between trouble-free is to converge with the Weibull distribution after fitting test and goodness of fit test. Calculate the reliability evaluation index of the CNC grinding machines: MTBF, MTTR and availability. Research results have been recognized and applied by the manufacturers. For research and promotion of CNC grinding machine reliability is of great significance.

mean time between failre; establish model; parameter estimation; fit test; reliability evaluation

TH596

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.06.016

范晉偉，男，1965年生，教授，博士生導師，主要研究方向：數控磨床可靠性與超精密加工，已發表論文100余篇。

2015-12-22)

160632

* 國家科技重大專項(2013ZX04011013) ; 國家自然科學基金項目(51275014)