磁懸浮球系統的自適應反演滑模控制

鄭建英，于占東

（渤海大學 遼寧 錦州 121013）

磁懸浮球系統的自適應反演滑模控制

鄭建英，于占東

（渤海大學 遼寧 錦州 121013）

磁懸浮球系統是一種典型的開環不穩定系統，為了實現磁懸浮球系統的精確控制，而且使系統更具有實際意義，設計了一種自適應反演滑模控制器。在實際控制系統中，不確定性及外加干擾是未知的，本文基于實際應用，利用該系統的線性化模型，來設計此控制器。實驗結果表明：所設計的自適應反演滑模控制器與普通滑模控制器相比，能減小系統的抖振，能較好的實現小球的穩定懸浮并具有良好的動態跟蹤性能，與自適應滑模控制器相比，能更好的在實踐中應用。

磁懸浮球系統；滑模控制器；自適應；反演

磁懸浮系統具有非接觸、無摩擦、速度快、壽命長的優點，所以磁懸浮技術在實際中取得了廣泛的應用。磁懸浮系統為非線性開環不穩定系統，對其控制方法的研究非常具有典型意義［1］。磁懸浮球系統作為研究磁懸浮特性，掌握其相應建模與控制方法的研究對象，在學習與研究中得到了廣泛應用［2］。由于磁懸浮系統的非線性以及外部干擾引起的不確定性，很難建立準確的系統模型，因此，對于系統的非線性部分，采用非線性系統線性化的方法達不到想要的效果。現階段，磁懸浮系統的非線性控制方法的研究得到了廣泛的研究，如自適應控制、魯棒控制等，都在一定程度上對磁懸浮系統的非線性部分有相應的控制作用［3］。

此外，滑模變結構控制算法也是一種有效的控制方法，它最大的優點是對系統參數波動和外擾動具有良好的魯棒性，文獻［4］中體現了這一點。但一般傳統滑模變結構控制具有不連續性的缺點，導致其在實際控制中有嚴重的抖振，如何減小控制系統所引起的抖振，是目前研究的重點課題。針對此種問題的出現，文獻［5］中將模糊控制與滑模控制結合應用于磁懸浮球系統中，有效地降低了抖振。文獻［6］中采用的二階動態滑模控制方法，文獻［7］提出的趨近律滑模控制方法，文獻［8］的神經網絡滑模控制方法，都在一定程度上減少了系統的抖振情況，但是都沒有考慮系統的不確定性及外加干擾。文中設計的自適應反演滑模控制器，考慮了實際控制中的情況，能更好地使磁懸浮球系統應用于實踐中。文中將自適應反演滑模控制律應用于磁懸浮球系統的仿真分析與實時控制，控制器實現容易，并能確保系統的穩定性與動態性能。實驗結果表明該方法具有較好的動態跟蹤性能，并能有效的降低滑模控制給系統產生的抖振。

1　磁懸浮球系統的建模與分析

1.1磁懸浮球系統的工作原理

磁懸浮球系統結構如圖1所示，主要包括電磁鐵、傳感器、控制部分、驅動部分、小球等。

系統的工作原理：首先采用位置傳感器檢測出小球位置的變化，然后通過AD轉換器將模擬的位置信號轉換為數字信號傳給自適應反演滑模控制器，控制器根據已經設定好的控制律輸出相應信號，信號經過 H橋驅動電路，改變線圈中的電流，進而改變小球所受的電磁力。最終使小球回到平衡位置。系統采用閉環控制，就能實時地改變電磁力的大小，保證小球處于平衡位置，從而使小球穩定的懸浮。

圖1　磁懸浮球系統的系統結構圖Fig．1　The structure diagram of the system

1.2磁懸浮球系統的數學模型

研究圖1所示的磁懸浮球系統，在只考慮氣隙磁通均勻，忽略鐵心磁阻、漏磁及渦流損耗等情況下，小球受到的力可表述為

此外，對系統進行機理分析，可得系統的電磁力方程：

電學方程：

邊界方程：

其中F為電磁吸力，i為線圈電流，m為小球的質量，g為重力加速度，L為線圈電感，R為線圈電阻，A為鐵芯面積，N為線圈匝數，空氣磁導率μ0=4π×10-7H/m。U（t）為電磁鐵線圈繞組中的電壓，x為小球的高度，此外，i0和x0分別為系統平衡時線圈電流和小球的高度。

由式（2）可知，此系統是非線性的。將其在平衡位置處進行線性化，即將式（2）進行泰勒展開并忽略二階項，可得小球的運動方程為

選取狀態變量x1=x，x2=x，則磁懸浮球系統的狀態空間數學模型為

1.3磁懸浮球模型的數值化

本實驗系統實際的物理參數如表1所示。

表1　磁懸浮球系統的物理參數Tab.1　The physical parameters of magnetic levitation ball system

系統的最終狀態方程為：

2　自適應反演滑模控制器的設計

考慮到實際控制中，系統參數的不確定性及存在外加干擾，可以把式（6）寫成如下形式：

假設參數不確定部分及外加干擾項變化緩慢，取

假設位置指令為xd，跟蹤誤差為e1=x1-xd，則

定義Lyapunov函數

定義x2=e2+xd-c1e1，其中c1為正的常數，e2為虛擬控制項，e2=x2-xd+c1e1，則

定義切換函數為

其中，k1＞0。

由于e1=e2-c1e1，則

由于k1+c1＞0，顯然，如果σ=0，則e1=0，e2=0且V1≤0。為此，需要進行下一步設計。

定義Lyapunov函數

則

設計自適應控制器為

其中，h和β為正的常數。

設計自適應率為

將以上兩式帶入，得

由于

其中，eT=［e1e2］。

將（23）代入，V˙3可寫為

如果保證Q為正定矩陣，有

由于

通過取h、c1和k1的值，可使|Q|＞0，從而保證Q為正定矩陣，從而保證V˙3≤0。

3　系統仿真

由式（7）和式（8）可知，A=2 000．9、B=-9．804 4。取F（t） =-3sin（0．01t），位置指令取xd=sint。取c1=100，k1=150，h=200。仿真結果為圖2至圖4。

圖2　位置和速度跟蹤Fig．2　The position and velocity tracking

圖3　控制輸入Fig．3　Control input

通過圖2可以看出，文中所設計的控制器對位置和速度跟蹤比較精確，圖4表明所設計的控制器可使輸出響應有著較小的超調量與較快的響應時間，且在穩定狀態下無穩態誤差。

圖4　控制輸出Fig．4　Control output

4　結　論

文中設計了一種磁懸浮系統的自適應反演滑模控制器。與普通的滑模控制器相比，有效地減小了系統的抖振，與魯棒反演滑模控制相比，更具有實際意義。因為魯棒反演滑模控制對于總的不確定性的上界已知的情況下設計的。然而，在實際控制中，不確定性及外加干擾通常是未知的。在接下來的工作中，將進一步減少系統的理想條件進行研究，使設計的控制器能更好的應用于實踐中。

［1］張耿．基于超導的磁懸浮列車磁懸浮系統的設計與分析［D］．長沙:國防科技技術大學，2007．

［2］俞堅才．人工心臟磁懸浮系統的開發［D］．浙江:浙江大學，2013．

［3］Elgammal A T．Fuzzy logic-based gain scheduling of Exact FeedforwardLinearizationcontrollerformagneticball levitation system［C］//Control（CONTROL），2014 UKACC International Conference on．Loughborough，UK:IEEE， 2014:531-536．

［4］Al-Muthairi N F，Zribi M．Sliding mode control of a magnetic levitation system［J］．Mathematical Problems in Engineering，2004，2004（1）:93-107．

［5］秦紅玲，李志雄，袁松．磁懸浮軸承系統的模糊滑模變結構控制研究［J］．計算機仿真，2011，28（4）:185-188．

［6］黎恒，肖伸平．磁懸浮球系統的滑模變結構魯棒控制器設計［J］．湖南工業大學學報，2014，28（1）:58-61．

［7］宋榮榮．單電磁鐵懸浮系統的指數趨近律滑模控制［J］．重慶理工大學學報，2012，26（1）:11-16．

［8］趙石鐵，高憲文，車昌杰．基于RBF神經網絡的非線性磁懸浮系統控制［J］．東北大學學報，2014，35（12）:1673-1677．

Adaptive back-stepping sliding mode control of magnetic levitation ball system

ZHENG Jian-ying，YU Zhan-dong
（Bohai University，Jinzhou 121013，China）

Magnetic levitation ball system is a typical open-loop and unstable system，in order to achieve precise control of the magnetic levitation ball system，and make the system more practical，we design an adaptive back-stepping sliding mode controller．In the actual control system，uncertainties and external disturbances are unknown，we base on the practical application of this system，use a linear model of the system，to design the controller．The results show that:compared with the normal mode controller，the design of adaptive back-stepping sliding mode controller can reduce chattering of the system，can better achieve a stable suspension of the ball and has good dynamic tracking performance，and compared to the adaptive sliding mode controller，the controller we design in this paper can better applied in practice．

magnetic levitation ball system；sliding mode control；adaptive；back-stepping

TP13

A

1674－6236（2016）02-0076-03

2015-03-15稿件編號：201503195

鄭建英（1990—），女，河北邢臺人，碩士。研究方向：復雜系統運動控制。