謀定而后動
——論解析幾何題的求解突破

葉　欣　 江用科

(北京工業大學附屬中學，北京　100022)

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謀定而后動
——論解析幾何題的求解突破

葉欣 江用科

(北京工業大學附屬中學，北京100022)

解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想．我們在教學中，要教給學生分析問題的基本方法：首先要明確題目中的幾何問題是什么，然后分析幾何要素，思考如何進行轉化，最后再用坐標法進行推理、求解．

解析幾何數形結合轉化與化歸思想

解析幾何是高中數學的重要內容之一，在高考中占有重要地位．由于解析幾何解答題綜合性強，計算量大，因此是學生比較犯怵的一個考點，也是高考中拉開學生分數的題目，更是高三總復習中教師特別關注的一個專題．以北京高考為例，每年數學高考題的第19題基本都是有關解析幾何的題目，命題也主要以直線與圓錐曲線的位置關系為背景．在高三總復習的過程中，筆者發現學生并不理解解析幾何的本質，只是按照套路做題，有些學生甚至連圖都不畫，直接將直線方程與圓錐曲線方程聯立起來，消元得到一元二次方程，再利用根與系數的關系，列出等式，然后尋找有用的條件進行分析，如果遇到稍微復雜的題就只能碰碰運氣． 怎樣改變這種現狀呢？筆者就這個問題展開了深刻的思考，并在高三總復習的教學中進行了多種嘗試．通過引導學生對題目的分析，讓學生逐步理解解析幾何的本質，從而體會數形結合思想；引導學生合理設計解題思路，體會轉化和化歸思想，進而輕松解題．

一、分析幾何要素，進行數與形的轉化

【案例分析】學生見到此題時，通常會設出直線l的方程，將其與橢圓方程聯立，再利用P、Q兩點關于原點對稱這一特征，表示出P、Q兩點的坐標．進而表示出|PF2|、|QF2|的長度，最終求出△PF2Q的面積．依照這個思路，求解的過程非常復雜，只有少部分學生能得出最終結果．

【解題過程】解：設橢圓的左焦點為F1，因為直線l過原點與橢圓交于點P,Q，由對稱性可知，四邊形PF1QF2是平行四邊形，所以△PF2Q的面積等于△PF1F2的面積．

二、分析幾何要素，進行多角度的轉化

(Ⅰ)若直線l的方程為x+2y-1=0，求△OCD外接圓的方程；

(Ⅱ)判斷是否存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

解法一：假設存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點．

由題意，設直線l的方程為y=kx+m(km≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，

所以Δ=16k2-8m2+8>0，

(*)

由C，D是線段MN的兩個三等分點，得線段MN的中點與線段CD的中點重合．

由C，D是線段MN的兩個三等分點，得|MN|=3|CD|．

驗證知(*)成立．

【教師引導與解題過程二】既然我們可以利用熟悉的中點解決問題，那是否可以將三等分點直接轉化為中點呢？實際上C，D是線段MN的兩個三等分點等價于|MD|=|DC|=|CN|，等價于C是DN的中點，且D是MC的中點，這樣利用中點坐標公式就可以直接求解．

解法二：假設存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點．

由題意，設直線l的方程為y=kx+m(km≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，

所以Δ=16k2-8m2+8>0，

(*)

解法三：假設存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點．

下同解法二．

【教師引導與解題過程四】上述三種解法都是先設出直線l的方程，進而表示出C，D的坐標，再將幾何條件轉化為代數問題，進行求解．求解本題是否還可以轉變一下思路呢？抓住C，D是坐標軸上的點，M，N是橢圓上的點這兩個條件，先設出C，D的坐標，再利用前面解法中轉化好的幾何條件表示出M，N的坐標，將其代入橢圓方程進行求解．

解法四：假設存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點．

由C，D是線段MN的兩個三等分點，得C是DN的中點，且D是MC的中點，則M(-c，2d)，N(2c，-d)．

【案例總結】在高考中，解析幾何的解答題常與三角函數、向量、函數、不等式等內容綜合在一起考查，難度確實很大，如果我們能多花一些時間分析題目中的幾何問題，合理轉化題中涉及的幾何要素，先確定可行的解題方案，再動筆進行計算，就能輕松攻克解析幾何難關．

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準(實驗) [S]． 北京：人民教育出版社，2003．

[2] 章建躍． 人教A版高中數學課標教材中的解析幾何[J]． 中學數學教學參考，2007(10)．

[3] 王先進． 高三數學復習要抓實三個環節[J]． 中學數學月刊，2013(10)．

[4] 張躍紅． 合理設計追求高效[J]． 數學通報，2013(10)．

(責任編輯：李珺)