基于快速終端滑模自抗擾的船舶曲線航跡跟蹤控制

秦朝宇，李　偉，寧　君 ，孫　建（大連海事大學 航海學院，遼寧　大連 116026）

基于快速終端滑模自抗擾的船舶曲線航跡跟蹤控制

秦朝宇，李偉，寧君 ，孫建
（大連海事大學 航海學院，遼寧大連 116026）

針對欠驅動船舶的曲線航跡跟蹤問題，首先采用自抗擾控制技術，通過擴張狀態觀測器實時估計和補償系統的內部和外界擾動，將非線性快速終端滑模引入誤差反饋控制環節，并采用冪指數趨近律，設計出快速終端滑模-自抗擾控制律，提高系統的收斂速度和誤差跟蹤精度，減小系統的抖振；然后對野本船舶模型簡化變形，構造降維方程，將航跡跟蹤問題轉化為航向鎮定問題。Simulink 仿真結果表明，控制器能夠實現船舶對期望曲線航跡的快速、精確跟蹤，具有良好控制效果。

欠驅動船舶；冪指數趨近律；快速終端滑模；自抗擾控制；曲線航跡跟蹤

0　引　言

為了達到安全航行及節省能源的目的，需要設計出有效的控制器使船舶按照期望的航線航行。但由于船舶是典型的欠驅動系統，缺少橫向推動裝置，因此僅僅依靠基于向量的控制方法難以有效解決欠驅動船舶的航跡跟蹤控制問題［1］。同時，考慮到船舶的非線性、大時滯、大慣性等特點，很難設計出完全基于精確數學模型的控制器，因此，有必要進一步對船舶航跡跟蹤控制進行探索和研究。

目前，國內外學者對船舶運動控制進行了大量的研究。文獻［2］將重定義輸出和 Backstepping 方法引入控制器，提出全局 k 指數穩定及狀態反饋航跡直線跟蹤控制律，但忽略了橫漂對船舶運動造成的影響，難以實現曲線跟蹤控制；文獻［3］和采用 2 個級聯子系統構造出船舶航跡誤差跟蹤系統，通過 Backstepping 技術和 Lyapunov 方法對變換后的系統設計出船舶航跡跟蹤控制律，但它是基于精確數學模型設計的控制器，局限性大，調參難度較大；文獻［4 - 5］設計的船舶航跡跟蹤自適應控制律對模型參數不確定及外界干擾具有較強的魯棒性，但由于調參個數較多，計算復雜，難于工程實現；文獻［6］采用反饋線性化方法建立模型等價式，將其解耦為 2 個線性系統，設計出動態反饋控制律，確保跟蹤誤差穩定，實現了存在干擾下的船舶航跡跟蹤控制；文獻［7］將非線性滑模迭代和增量反饋結合，設計出可應用與船舶直線和曲線控制的非線性反饋控制律，克服了對精確數學模型的依賴，但多次對函數求微分增大了計算量，給工程應用帶來很大阻礙。

本文利用自抗擾控制器（ADRC）中的擴張狀態觀測器（ESO）模塊對船舶內部不確定擾動和外界干擾進行實時估計，使得系統不需要依賴于精確的船舶數學模型；將快速終端滑模（FTSM）切換面引入非線性狀態反饋（NLSEF）中，結合冪指數趨近律，設計出快速終端滑模自抗擾（FTSM-ADRC）控制律，在保證自抗擾控制器優點的前提下提高系統狀態的收斂速度，改善系統抖振，減少可調參數，易于工程實現。

1　船舶運動數學模型

考慮受到恒定風、浪和流的外界干擾，以及舵機特性的欠驅動水面船舶的運動數學模型如下：

式中：x，y 分別為以大地坐標系為參考的船舶縱向位置和橫向位置；u，v 分別為船舶對地前進速度和橫向速度；φ，r 分別為船舶的船首向和轉首速率；f（r）為船舶內部轉首速率造成的擾動，取，a 為已知常數，T 為船舶的追隨性指數；ω（t）為風、浪和流對船舶造成的外界干擾；δ 為控制輸入，即舵角；b 為控制增益，，K 為船舶的旋回性指數。

本文將船舶模型與舵機系統組成串聯系統，船舶考慮舵機特性，可用以下方程表示：

2　FTSM-ADRC 控制器設計

2.1自抗擾控制結構和算法

韓京清于 20 世紀 80 年代末提出了自抗擾控制技術，至今已被應用到電力系統、化工過程等其他領域，取得了顯著的社會和經濟效益。

自抗擾控制器包括，跟蹤微分器（TD）、擴張狀態觀測器（E S O）和非線性誤差反饋控制律（NLSEF）3 部分，其核心部分是ESO，主要用于實時估計系統內部和外界干擾。本文主要對 NLSEF 進行改進，引入快速終端滑模面（FTSM），在冪指數趨近律的作用下，設計出有效的控制律。

針對 2 階非線性系統，參考文獻［10］，可得到跟蹤微分器的離散形式：

其中：h，r 分別為系統的積分步長和快速因子；σ 為輸入信號，σ1，σ2分別為 σ 的跟蹤信號和跟蹤微分信號，即；為最優綜合函數。

針對 2 階非線性系統：

根據參考文獻［11-12］可以得到系統（3）的線性擴張狀態觀測器（LESO）如下：

2.2FTSM-NLSEF 設計滑模變結構控制出現于 20 世紀 60 年代，通過設計滑模切換面，使得系統的狀態變量沿著滑模面滑動，當系統受到參數攝動和外界干擾時，能夠保持不變。正是這種特性使得其受到眾多學者的重視。

針對 2 階不確定非線性系統，傳統終端滑（TSM）設計的切換面為，其中 x1，x2為系統狀態，β ＞ 0，p 和 q（p ＞ q）為正奇數，將控制律設計為：

為克服傳統 TSM 帶來的奇異問題及其收斂速度問題，本文引入快速終端滑模面（FTSM），不僅克服了傳統滑模的奇異問題，也提高了系統的收斂速度。

式中：α ＞ 0；β ＞ 0；1 ＜ v ＜ 2；x1；x2為系統的狀態變量，且。

結合船舶欠驅動系統（1），將船舶實際船首向和期望船首向的差值 φe，即船首向誤差作為系統的狀態變量，變形轉化為全驅動系統：

式中：f（r）為系統的內部不確定擾動；ω（t）為外界風、浪和流的干擾；φd為期望船首向；φ 為船舶實際船首向。

因此，可設計關于船舶船首向角誤差 e 的 FTSM：

式中參數與式（6）相同。

對式（8）求導：

采用取冪指數趨近律，保證系統能以較大的速度趨近于滑動模態，并可有效減小系統抖振：

則有：

整理得：

通過擴張狀態觀測器實時估計出船舶內部不確定擾動和外界干擾時，即，在 NLSEF 模塊補償，得到最終控制律：

對于 FTSM-NLSEF 控制律，引入快速終端滑模，可提高系統的收斂速度，減少原始自抗擾控制器的可調參數；采用冪指數趨近律減小了系統達到平衡狀態時的抖振。本文考慮了舵機（SE）特性。圖 1 為考慮舵機特性后的快速終端滑模船舶曲線航跡跟蹤控制器結構圖。

圖 1　FTSM-ADRC 控制器結構圖Fig. 1　FTSM-ADRC controller structure chart

3　船舶曲線航跡跟蹤控制方法

對于航行中的船舶，在大地坐標系下，假設其初始位置為 p（x，y），其中 x，y 分別為船舶的縱向和橫向位移，在受到風、浪和流的影響時，船首向和計劃航跡向之間會形成一個風流壓差角。為了使船舶沿著固定的曲線航跡行駛，構造期望船首向角方程，在確保船舶縱向和橫向位置偏差和趨于 0 時，得到一個期望船首向 φd，通過 FTSM-ADRC 控制器，使得船舶實際航向 φ 跟蹤 φd，從而實現跟蹤目的。

［14］，構造期望船首向角方程如下：

證明：

討論：

證明完畢。

由上述證明可知，當船舶偏航時，在期望船首向方程的作用下，將船舶航跡跟蹤控制問題轉化為航向鎮定問題，縱向和橫向航跡偏差收斂于 0，船舶可以沿著期望的曲線航跡航行。

4　Simulink 仿真

以大連海事大學教學實習船“育龍”輪為對象，通過 Simulink 進行仿真實驗。船舶參數為：船長 126 m，型寬 20.8 m，型深 11.4 m，平均吃水 8.8 m。船舶模型初始狀態和控制器參數如下：船舶模型參數 K = 0.478，T = 216，a = 30，ω（t）=0.001，v=0.5，b=K/T；TD 模塊中參數 r = 30，h = 0.05；ESO 模塊中參數 η0= 5；控制律中參數 β = 0.01，v = 5/3，α = 0.02，J = 0.01，δESO= 0.000 001，期望船首向角方程參數 a0= 0.003，a1= 2.5，a2= 0.001。初始條件設置為：前進速度 u = 7 m/s，v = 0，3 m/s，船舶初始位置在原點，計劃航跡為，即振幅200 m，當船舶縱向前進 5 000 m 時，完成 1 個周期。仿真結果如圖 2 ～ 圖 5 所示：

分析傳統線性滑模和采用了冪指數趨近律的快速終端滑模的船首向誤差如圖 6 所示，發現后者誤差更小，提高了控制精度。

圖 2　橫向位置Fig. 2　Horizontal positions

圖 3　舵角Fig. 3　Rudder angle

圖 4　船首向角Fig. 4　Heading angle

圖 5　船位Fig. 5　Position of vessel

圖 6　船首向角誤差Fig. 6　Heading angle error

5　結　語

為了簡化船舶控制系統并改善其性能，在自抗擾控制器的非線性誤差狀態反饋模塊引入快速終端滑模，確保誤差較大時能快速趨于平衡狀態，提高了系統狀態的收斂速度，減少了可調參數；結合冪指數趨近律，減小了滑模的固有抖振，改善了系統性能。根據仿真圖像，當船舶受到恒定外界干擾時，在 FTSMADRC 控制律的作用下，船舶能跟蹤期望曲線軌跡，控制器效果良好，具有較強的魯棒性。

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Active disturbance rejection control for curve-path tracking of ship based fast terminal sliding mode

QIN Chao-yu，LI Wei，NING Jun，SUN Jian
（Navigation College，Dalian Maritime University，Dalian 116026，China）

This paper adopts extended states observer in active disturbance rejection controller to estimate and compensate the internal and external disturbances in real time ，which is specific to curve-path tracking problem of underactuated surface vessel. Nonsingular fast terminal sliding mode combined with power exponential reaching law are introduced to nonsingular state error feedback to design FTSM-ADRC control law，which improve the convergence speed and steady-state tracking accuracy of the system and reduce the chattering. Finally，designing a dimension reduction equation，the complicated path following is changed to the simple heading stabilization. Simulation results verify that the controller can follow an expected curve-path fast and accurately，and with good effect.

underactuated vessel；power exponential reaching law；fast terminal sliding mode；active disturbance rejection control；curve-path tracking

U664.82

A

1672 - 7619（2016）08 - 0057 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2016.08.012

2016 - 03 - 02；

2016 - 06 - 03

國家自然科學基金資助項目（51179019）；遼寧省教育廳重點實驗室項目（LZ2015006）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（3132014022）

秦朝宇（1991 - ），男，碩士研究生，研究方向為交通信息工程及船舶自動化控制。