具有小世界鄰域結構的教與學優化算法*

王培崇，馬　玥，耿明月，汪慎文

1.河北地質大學 信息工程學院，石家莊 0500312.中國礦業大學 信息與機電學院，北京 1000833.重慶郵電大學 計算機學院，重慶 400065

具有小世界鄰域結構的教與學優化算法*

王培崇1,2+，馬玥1，耿明月3，汪慎文1

1.河北地質大學 信息工程學院，石家莊 050031
2.中國礦業大學 信息與機電學院，北京 100083
3.重慶郵電大學 計算機學院，重慶 400065

教與學優化（teaching-learning-based optimization，TLBO）算法是近年來提出的一種通過模擬“教”與“學”行為的群體智能算法。為了克服教與學優化算法容易早熟，解精度較低，后期收斂速度慢等弱點，提出了一種改進的教與學優化算法，并命名為S-TLBO（small world neighborhood TLBO）。該算法采用小世界網絡作為其種群的空間結構關系，種群中的個體被看作是網絡上的節點。在算法的“教”階段，學生基于概率向教師個體進行學習，而在“學”階段，學生則在自己的鄰居節點中隨機選擇較為優秀的個體進行學習。為了提高加強算法的勘探新解和開采能力，引入教師個體執行反向學習算法。在多個經典的測試函數上的實驗結果表明，所提出的改進算法具有較高的全局收斂性和解精度，適合于求解較高維度的多模態函數優化問題。

教與學優化（TLBO）；小世界網絡；鄰域結構；反向學習（OBL）

1　引言

Rao提出的教與學優化（teaching-learning-based optimization，TLBO）[1-4]算法是群體智能算法的典型代表之一，該算法的靈感來源于生活中自然班級的教和學行為。通過模擬教師的教學和學生相互之間的學習實現種群的進化。教與學優化算法具有參數少，求解速度較快，設計思想簡單，容易實現等特點，受到了眾多研究者的關注。

為了提高算法的求解能力，克服該算法在后期收斂速度慢，容易陷入局部最優的問題，文獻[4]引入了局部學習和自學習機制，使學生不僅可以向其鄰居進行學習，而且還能夠進行自學習。Rao等人[5]為了進一步提高算法的求解能力，在TLBO中利用精英個體替換部分劣質解，并刪掉了重復的學生個體，該算法被命名為精英教與學優化（elitist TLBO，ETLBO）算法。實驗表明該算法具有較快的收斂速度，但是魯棒性稍差。于坤杰等人[6]在ETLBO算法的基礎上進一步提出了精英反饋機制教與學優化算法，每次迭代之后劣質個體向精英個體反饋其本身狀態變化情況，并根據變化情況進行修正。仿真實驗結果表明，該算法具有較高的精度和魯棒性。為了使算法的后期種群多樣性得以較好地維持，Rajasekhar等人[7]提出了相對精英教與學優化（oppositedelitistTLBO，OETLBO）算法，學生個體不僅僅向教師個體進行學習，還增加了學生個體向相對精英個體的學習，避免了學生個體過早聚集于教師個體周圍，從而使算法在后期能夠較好保持種群的多樣性，但是算法的精度較標準TLBO算法提高較少。文獻[8]提出了改進的多教師自適應教學TLBO算法，該算法中允許設置多個教師個體，教師的教學因子被修改為自適應變化，隨著迭代次數的變化呈現線性變化。此外，該算法還為學生個體增加了自我學習機制，以加快算法的收斂。但是，該教學因子設置為簡單的線性變化，缺少科學性。教與學優化算法已經被應用于諸多領域，并取得了較好的效果，其中主要包括Realistic flow shop rescheduling[4]、數據聚類問題[9]、派送問題中的參數優化[10]、PID控制器優化[11]、二次指派問題[12]等。

相關研究發現，標準TLBO算法存在著諸如解精度較低，容易早熟，后期收斂速度慢等弱點[5]。為了克服算法的這些弱點，改善其求解能力，本文提出了一種引入小世界鄰域結構的教與學優化（small world neighborhood TLBO，S-TLBO）算法，個體的鄰居基于小世界網絡技術定義，學生基于概率機制向教師學習，并向自己的鄰居進行學習。

2　標準教與學優化算法

算法1 TLBO算法

不失一般性，以最小化minf(x1,x2,…,xn)問題為研究實例。

輸入：種群規模N，最大迭代次數n。

輸出：最佳個體Xbest(t)。

步驟1設置算法的相關參數。

步驟2初始迭代次數t=0，并在解空間內隨機產生初始種群。

步驟3計算種群中所有個體的適應度，從中選擇適應度最優的個體將其設為教師Xtea(t)。

步驟4教師對學生實施教學。

步驟5學生之間進行互相學習。

步驟6算法滿足終止條件，輸出最佳個體Xbest(t)，終止算法；否則，轉步驟3。

說明：學生個體通過步驟4、步驟5產生新的子狀態，并通過優勝劣汰的方式對自身的狀態進行更新。

算法的詳細資料請參考文獻[1-2]。

3　小世界鄰域教與學優化算法

現實生活中，人與人之間通過各種連接構成一個復雜的網絡，而鄰居往往對個體的學習進化等有較大的影響。借鑒此思想，考慮小世界網絡介于隨機網絡與結構化網絡中間，因此將TLBO種群設置為小世界網絡結構鄰域。

3.1相關定義

因為教與學優化算法中種群內個體之間的學習具有雙向性，所以本文采用無向圖定義小世界網絡。

定義1[13]設圖G=(V,E)表示一個小世界網絡，其中V={v1,v2,…,v3}為節點集，E={e1,e2,…,en}為邊集合。

定義2[13]設存在任意兩個節點vi,vj∈V，如果存在∈E，則稱vi、vj互為鄰居，記N(vi)={vj|vi的鄰居}為第i個節點的鄰居節點。

3.2小世界網絡構造

在本算法中，個體之間通過相互間的小世界鄰域結構進行信息交互，因此在種群初始化過程中首先要構建小世界網絡。借助相應的建模方法獲得小世界網絡。

算法2小世界網絡生成算法

輸入：n個節點，節點的重聯概率p和k=2，迭代次數t。

輸出：小世界網絡。

步驟1將n個節點中的每一個連接到直接鄰居，和鄰居的鄰居生成一個k-規則網絡，該網絡的鏈路數目是m=2n條。

步驟2對于每一個鏈路，u=1,2,…,m，基于概率p重聯鏈路u。

步驟3產生隨機數r，如果r

3.3教師“教”行為的改進

TLBO算法中教師為種群的最佳個體，該個體通過其教行為，提高其他個體的狀態，以加速算法的收斂。但是在該步驟中，學生個體在被“教”之后，采用優勝劣汰的機制更新自身的狀態，往往也容易使種群陷入局部最優。因此修改為學生個體以一定的概率向教師進行學習，概率計算公式為：

式中，f為種群的適應度均值；p0∈(0,1)。從該公式中可以看出，狀態越是優秀的個體向教師學習的概率越高，狀態越差的個體，向教師學習的概率越低，這樣可以使優秀的學生個體協助教師的搜索，而且也能夠緩解種群多樣性下降的速度。學習公式為：

其中，α=round(1+rand(0,1))是教學因子，round函數為四舍五入，rand()產生指定范圍內的隨機值。學生向教師學習之后，應用所產生的子狀態直接更新學生狀態。

3.4小世界鄰域下學生的“學”行為

小世界理論認為，網絡中的某個節點只需要通過6個節點即可與其他節點發生聯系。基于此理論，將學生的“學”行為修改如下：

設Xi(t)為當前個體，其直接鄰居集合為N(Xi(t))，Xi(t)則向自己鄰居集合內最優的個體進行學習。如果Xi(t)的鄰居僅有一個，且是當前教師個體Xtea(t)，則從Xtea(t)的鄰居中隨機選擇兩個個體，并擇優進行學習，依次類推。通過式（3）產生新狀態，采用優勝劣汰的方式更新Xi(t)：

其中，Xr1(t)為被選出學習的個體。

如果Xi′(t)無法使Xi(t)得到更新，則應用Xi′(t)隨機更新Xi(t)鄰居中比Xi′(t)劣質的某一個個體。

3.5教師的自我提高

Tizhoosh[14]提出了反向學習（opposition based learning，OBL）的概念，并給出了反向學習的算法描述。作者隨后的研究報告指出反向解較當前解更為靠近最優解，該幾率幾乎是50%。現實生活中，教師通常會通過自學習機制，提升自身水平，而在標準TLBO算法中，教師個體則缺少自我學習和提高。考慮到反向學習具有較好的勘探未知解的能力，故令教師個體執行反向學習。

定義3[14]反向解：設在區間[a,b]上存在一個實數x，則x的反向數定義為x′=a+b-x。鑒于此，假設在R域上存在某N維點X=(x1,x2,…,xi,…,xN)，并且 xi∈[ai,bi]，則定義 X′=(x1′,x2′,…,xi′,…,xN′)為 X的反向點。其中，xi′=k×(ai+bi)-xi，k為[0,1]之間分布均勻的隨機數，稱作一般化系數。

定義4基于反向解的優化：設待優化問題為minf(x)，存在某個可行解 X及其反向解 X′，若f(X′)

算法3 OBL算法

輸入：Xi(t)，所在區間為[a,b]，迭代次數itermax。

輸出：Xi(t)。

步驟1迭代次數t=0。

步驟2依據定義1，在迭代次數內經過多次迭代生成反向解種群POP(t)。

步驟3在Xi(t)和POP(t)中選擇最優的個體替換Xi(t)，輸出并結束算法。

按照如下方法使用動態邊界。設個體Xij的搜索空間 j維的固定邊界為[aj,bj]，相應的 j維的動態邊界定義為min(aij),max(aij)。在一個N維空間中，Xbest= (x1,x2,…,xi,…,xN)，其反向解定義為xi′=k×(ai+bi)-xi,xi∈[min(aij),max(aij)],k∈[0,1]，為服從均勻分布的隨機數。

3.6算法實現

算法4小世界鄰域教與學優化（S-TLBO）算法

輸入：種群POP(0)，迭代次數n。

輸出：最優個體Xbest(t)。

步驟1初始化算法的參數，在解空間內隨機產生初始種群POP(0)，迭代計數器t=0。

步驟2應用算法2構建小世界網絡。

步驟3選擇班級種群內的最優個體設為教師Xtea(t)。

步驟4計算班級的平均分Xmean(t)，平均適應度f，計算教師對學生個體執行“教”的概率，并依據式（2）對學生執行“教”行為。

步驟5個體Xi(t)依據3.4節執行“學”行為。

步驟6如果教師的狀態長時間得不到更新，則教師個體執行OBL算法。

步驟7算法滿足結束條件，則輸出Xbest(t)，結束算法；否則轉步驟3。

在S-TLBO算法中，整體種群組成了一個小世界網絡，個體之間的“學”行為是向自己的鄰居（或鄰居的鄰居等）進行學習，使這種學習具有了一定的目的性和偏好，加速了算法的收斂，同時也保證了一定程度上的隨機性。

4　仿真實驗與分析

4.1非約束函數上的測試

為了驗證算法的有效性，將S-TLBO算法應用C語言編碼，并在VC6下編譯執行，選擇AFSA（artificial fish swarm algorithm）[15]、TLBO算法以及兩個經典的改進TLBO算法（ITLBO[2]、ETLBO[5]）參與對比。AFSA算法的視野范圍visual=4，移動步長step= 1.2，擁擠度因子delta=0.3，嘗試次數try_number=5。所有算法的種群均設置為30，其他參數參考相關文獻進行設置。用于測試的9個Benchmark函數列于表1，包括了多個單峰和多峰函數。實驗中將待優化函數設為50維和200維，f1~f6的迭代次數是1 000次，f7~f9的迭代次數為5 000次，分別測試算法在高維和低維度函數上的尋優效果。將5個算法獨立運行30次，分別取平均值M，收斂成功的次數N，解方差D，求解結果分別列于表2和表3。

Table 1　Testing functions表1 測試函數列表

首先分析當函數是50維時的表現。f1是一個單峰函數，只有一個全局最優值，比較容易優化。由表2中的數據可以看出，AFSA算法的解精度和解方差均比較差，且收斂成功的次數為0，而本文提出的S-TLBO算法的表現則是5個算法中最優的，其不僅解精度最高，解方差也最小，成功收斂的次數也是最高的。在 f2函數上，S-TLBO算法在解的均值上的表現仍然相對其他參與對比的算法優秀，但是其解方差要低于ETLBO和ITLBO兩個算法，優于AFSA算法。在 f3函數上，S-TLBO算法仍然保持了較高的精度和收斂成功率，并且解的方差也要優于其他4個算法。f4函數是一個難以優化的多峰函數，S-TLBO算法的表現較ETLBO稍差，但是仍然要優于AFSA和TLBO兩個算法，與ITLBO算法基本相當。在 f5函數的測試上，S-TLBO算法表現出了較高的解精度和解方差。f6仍然是一個多峰函數，主要用于測試算法逃脫局部最優約束的能力，從表中所列數據可以看出，在此函數上，S-TLBO算法表現得較好，是全部5個算法中表現最優的。f7、f8、f9均是多峰函數，3個函數在其解空間內均存在多個局部極值，對算法逃脫局部極值約束的能力要求較高，尤其是 f9函數，在距離最優解3.14距離處存在無窮個局部極值，且強烈震蕩。在 f7函數上，所有5個算法的成功率均為0，但是從解精度看，TLBO相關的4個算法的精度還是較AFSA算法高，最好的是ETLBO算法，其次是S-TLBO算法，在解精度的指標上，S-TLBO算法是最好的。在 f8函數上，TLBO及其改進算法表現得幾乎是一致的，解精度相當接近，說明TLBO算法本身的求解機制非常適合求解該函數，優化后解的改進效果不明顯，S-TLBO算法的表現也一般。在 f9函數上，S-TLBO算法的優越性得以體現，其解精度和解方差明顯優于其他4個算法，在迭代次數內已經非常接近最優值，考慮到 f9具有強烈震蕩性，說明S-TLBO算法能夠非常好地擺脫該函數的局部最優約束和震蕩的影響。

其次，分析函數維度增加到200時5個算法的表現。從表3所列數據可以看出，在維度增加到比較高的200時，幾乎所有算法的求解能力均有所下降，在f1、f3、f4函數上，S-TLBO算法并沒有表現最好，解精度較ITLBO或ETLBO算法略低，基本在一個數量級。在 f2、f5、f6函數上的解精度則是最好的。在f2、f3、f4、f5函數上的方差最好，在 f1函數上的方差劣于ITLBO，在 f6函數上的方差劣于ETLBO。在f7函數上，S-TLBO算法的解精度、解方差均是最優的。因為 f8、f9函數的維度是固定的，測試數據基本沒有變化。

分別對比5個算法達到指定收斂精度時的迭代次數和時間。函數為50維時 f1~f6的精度為0.01，f7~f9的精度為10，200維時 f1~f9的精度為0.1，數據列于表4和表5。表中的“—”表示該算法在所設定迭代次數內沒有達到指定的收斂精度，D=200時因為AFSA難以在設定迭代次數（10 000）內達到指定要求，所以不再對比AFSA。從表4所列數據可以看出，S-TLBO算法在9個函數上達到設定的精度，所需的迭代次數是最小的，但是時間卻不是最小的。這是因為S-TLBO算法中增加了生成復雜網絡的操作，同時也調整了教師的教行為，所以較其他相關算法的運行時間多一些。而AFSA、TLBO算法在3個多峰函數上沒有收斂到指定的精度。當維度為200時，TLBO算法在 f4、f5、f9函數上沒有達到設定精度。其他3個算法的迭代次數與消耗時間均有所增加，但S-TLBO算法所需迭代次數仍然較少，在時間上雖然不是最少，但是與其他兩個算法基本相差無幾。

Table 2　Comparison of mean,convergence number and variance for unconstrained benchmark functions(Dim=50)表2　在非約束函數上算法的求解均值、成功收斂次數和方差（Dim=50）

Table 3　Comparison of mean,convergence number and variance results for unconstrained benchmark functions(Dim=200)表3　在非約束函數上算法的求解均值、成功收斂次數和方差（Dim=200）

為了更為形象地對比算法的收斂性能，繪制了全部參與對比實驗的5個算法的收斂曲線圖。限于篇幅，僅列出其中的 f1~f6函數圖。收斂圖使用的數據是取算法30次實驗中最好一次和最差一次的平均值，函數維度為50。6個收斂圖分別如圖1~圖6所示。從收斂曲線可以看出，S-TLBO算法的收斂曲線是很平滑的，而且下降速度非常快，在所有的6個函數上明顯優于AFSA和標準TLBO算法，對比ETLBO 和ITLBO算法也可以看出S-TLBO算法明顯具有一定的優勢。

4.2約束函數的測試

為了對比得更加全面，繼續選擇文獻[6]中的5個約束函數進行測試（本文分別對應 f10~f14）。參與測試算法的參數設置與3.1節相同，4個算法各自獨立運行30次，取最優值、平均值和解方差進行對比，實驗結果列于表6。由表6中所列實驗結果可以看出，S-TLBO算法在求解約束函數的實驗中表現優秀，f10、f12兩個函數找到了最優解，在其他3個函數上找到的最優解、平均值和解方差也均是4個算法中最優的，比標準的TLBO算法有了非常大的提高。

Table 4　Interation number and cost time(Dim=50)表4　算法的平均迭代次數和時間（Dim=50）

Table 5　Interation number and cost time(Dim=200)表5　算法的平均迭代次數和時間（Dim=200）

Fig.1　Convergence curves of algorithms inf1圖1　f1函數上的收斂曲線

Fig.2　Convergence curves of algorithms inf2圖2　f2函數上的收斂曲線

Fig.3　Convergence curves of algorithms inf3圖3　f3函數上的收斂曲線

Fig.4　Convergence curves of algorithms inf4圖4　f4函數上的收斂曲線

Fig.5　Convergence curves of algorithms inf5圖5　f5函數上的收斂曲線

Fig.6　Convergence curves of algorithms inf6圖6　f6函數上的收斂曲線

Table 6　Results of constrained benchmark functions表6　在約束函數上的測試結果比較

綜合以上實驗結果與分析可以看到，雖然S-TLBO算法在某些函數上的性能指標不是最佳的，但是無論是對低維函數還是高維函數，S-TLBO算法整體的表現都是非常穩定的，在約束函數的測試中，也明顯優于其他算法。

5　結束語

本文提出了一種鄰域為小世界網絡結構的改進教與學優化算法。基于WS算法將種群進行了小世界網絡構建。在教學階段中，學生基于概率向教師學習，該概率由學生個體的適應度和教師適應度計算而得，學習后應用臨時狀態直接更新原狀態。在互相學習過程中，學生在自己的直接鄰居節點或間接鄰居節點中隨機選擇個體進行學習。為了提高最佳個體的勘探新解和開采能力，引入了教師個體的反向學習。在多個約束函數和非約束函數上的實驗表明，本文算法的求解能力較標準TLBO算法有了較大幅度的提高，適合求解較高維度連續函數的優化問題。鄰域結構是影響群體智能算法效率的重要因素之一，將進一步深入研究不同鄰域結構下TLBO的求解能力。同時，研究其與經典演化算法的相互結合模式，拓展其應用領域，亦是重要的研究方向。

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[15]王培崇.群體智能算法及其應用[M].北京:電子工業出版社,2015.

WANG Peichong was born in 1972.He received the Ph.D.degree from China University of Mining and Technology (Beijing)in 2010.Now he is an associate professor at College of Information Engineering,Hebei GEO University, and the member of CCF.His research interests include evolutionary computation,machine learning and pattern recognization,etc.He has published more than 30 papers in domestic and international journals and conferences.

王培崇（1972—），男，河北辛集人，2010年于中國礦業大學（北京）計算機應用技術專業獲得博士學位，現為河北地質大學信息工程學院副教授，CCF會員，主要研究領域為進化計算，機器學習，模式識別等。發表學術論文30余篇。

MAYue was born in 1993.She is an M.S.candidate at Hebei GEO University.Her research interests include artificial intelligence and machine learning,etc.

馬玥（1993—），女，山東濰坊人，河北地質大學碩士研究生，主要研究領域為人工智能，機器學習等。

GENG Mingyue was born in 1994.She is an M.S.candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications,and the student member of CCF.Her research interest is digital image processing.

WANG Shenwen was born in 1979.He received the Ph.D.degree from Wuhan University in 2014.Now he is an associate professor at College of Information Engineering,Hebei GEO University.His research interests include evolutionary computation and machine learning,etc.

汪慎文（1979—），男，湖北紅安人，2014年于武漢大學計算機學院獲得博士學位，現為河北地質大學信息工程學院副教授，主要研究領域為演化計算，機器學習等。

New Teaching-Learning-Based Optimization with Neighborhood Structure Based on Small World?

WANG Peichong1,2+,MAYue1,GENG Mingyue3,WANG Shenwen1
1.College of Information Engineering,Hebei GEO University,Shijiazhuang 050031,China
2.College of Mechanical Electronic and Information Engineering,China University of Mining and Technology,Beijing 100083,China
3.College of Computer,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China
+Corresponding author:E-mail:wpeichong@126.com

WANG Peichong,MA Yue,GENG Mingyue,et al.New teaching-learning-based optimization with neighborhood structure based on small world.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(9)：1341-1350.

Teaching-learning-based optimization(TLBO)is a recently proposed swarm intelligent algorithm that simulates the process of teaching and learning.Concerning the problems that TLBO is easy to premature,low solution precision,slow convergence speed of weakness,this paper proposes an improved TLBO named S-TLBO(small world neighborhood TLBO).S-TLBO adopts small world network as its spatial structure,and individuals of S-TLBO is looked as the nodes of network.In teaching phase,student individuals learn from teacher individual based on probability,and they learn from their neighbor nodes which are better in learning phase.The best in dividual exe-cutes opposition based learning(OBL)algorithm to exploiting and exploring.Some experiments are conducted on many classical testing functions,the results show that the improved algorithm has superior global convergence and higher precision,especially fits for solving multimode and high dimension function optimization problems.

2016-04,Accepted 2016-06.

teaching-learning-based optimization(TLBO);small world network;neighborhood structure;opposition based learning(OBL)

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61402481(國家自然科學基金);the Natural Science Foundation of Hebei Province under Grant No.F2015403046(河北省自然科學基金);the Key Research Plan of Hebei Province under Grant No. 15210710(河北省重點研發計劃).

CNKI網絡優先出版:2016-06-02,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160602.1144.010.html

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